河南省新乡市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题（含解析）

2023—2024学年新乡市高二期末（上）测试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线和平行，则实数（ ）
A.3 B.3或-4 C.-3 D.-3或4
2.已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
4.在直三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（ ）
A.30 B.33 C.38 D.40
6.如图所示，在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.
7.在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A. B.2 C. D.4
8.如图，椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.的公差为1 B.的公差为2
C. D.
10.已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（ ）
A.当与圆相切于点时，
B.点到圆上点的距离的最大值为5
C.点到圆上点的距离的最小值为2
D.若点在上，与圆相交于点，则
11.已知为正方体所在空间内一点，且，则（ ）
A.
B.三棱锥的体积为定值
C.存在唯一的，使得平面平面
D.存在唯一的，使得
12.已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两条直线与抛物线分别交于点，且分别为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.若恰好为的中点，则直线的斜率为
D.直线过定点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.
14.若数列满足，则__________.
15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________.
16.在首项为1的数列中，，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等差数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的最大值.
18.（12分）
如图，在三棱锥中，平面.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
20.（12分）
如图，三棱锥中，为等边三角形，为上的一个动点.
（1）证明：平面平面.
（2）当时，求二面角的余弦值.
21.（12分）
在数列中，已知.
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.
22.（12分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为.
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为，过作轴交双曲线于点（在第一象限），分别为椭圆的左 右顶点，与椭圆交于另一点为坐标原点，证明：.
2023—2024学年新乡市高二期末（上）测试数学
参考答案
1.A 因为，所以，解得.
2.D 记，因为，所以，故是平面的一个法向量.易知中的向量均不与向量平行，所以均不能作为平面的一个法向量.
3.D 当公比不为1时，等比数列的前项和满足，所以-6.
4.C 如图，建立空间直角坐标系，设，则
，所以，则，，故与所成角的余弦值为.
5.C 该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3.设该阶梯大教室共有排，则，整理得，因为，所以.故该阶梯大教室最后一排的座位数为38.
6.B 因为点在线段上，且为线段的中点，所以.
7.B 因为，所以，则点到直线的距离.
8.D 由，可设，则.由对称性知.由题可知，则.由椭圆的定义知，则.在中，，则，整理得，故的离心率为.
9.ACD 设的公差为，则解得则.故选ACD.
10.AB 对于，正确.
易知点到圆上点的距离的最大值为，点到圆上点的距离的最小值为，B正确，错误.
对于，可求出直线的方程为，点到直线的距离，所以错误.
11.AB 因为，所以在线段上.
易证得平面，由平面，得，
从而.A正确.由平面在线段上，
可得三棱锥的体积为定值.正确.因为在线段上，
所以平面平面恒成立.C不正确.以为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，设，则，则由，得，方程无解，故不存在实数，使得.D不正确.
12.ABD 设直线的方程为，
联立方程组得，则，
所以，同理可得，所以，故A正确.
因为分别为的中点，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确.
因为为的中点，所以.因为，所以.
因为，所以，所以，故C错误.
当直线的斜率存在时，，所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，过点，所以直线过定点.故D正确.
13. 由题可知，得，所以，故的焦距为.
14. 因为，所以，所以是周期为3的数列，故.
15.1 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，圆心与的距离为2，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为.
16. 由题意可得，所以，显然，由，解得或.
由题意可知，或.
当为偶数时，，
所以或
当为奇数时，，
所以或.
综上，的取值范围为.
17.解：（1）设等差数列的公差为，
依题意得
解得
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以.
令，解得，即正整数的最大值为15.
18.（1）证明：因为平面，所以.
因为，
所以，则.
又平面平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以.
设平面的法向量为，
由得令，得.
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）设圆的方程为，
所以有
解得
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
20.（1）证明：由题意知，易知.
作，垂足为，连接，易知.
设，则，由题意得，
所以，解得，故
.
在中，因为，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设点，则，
因为，
所以解得所以，
则.
设平面的法向量为，
则解得取，得.
又因为平面的一个法向量为，且二面角为锐二面角，
所以，故二面角的余弦值为.
21.解：（1）由题意可知，，即.
因为，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，即.
（2）因为，所以，且，
所以，即，所以，
所以，
所以.
22.（1）解：椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率.
（2）证明：由（1）可知，因为，所以直线的方程为.
联立方程组整理得，
则，则.
，
则，
故.