山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山西省朔州市怀仁市第一中学校2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 762.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-27 18:40:12 | ||
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文档简介
2023~2024学年怀仁一中高一年级上学期期末考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知且，则“”是“函数是增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等于（ ）
A. B. C. D.1
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于（ ）
A. B. C.0 D.1
6.设，则（ ）
A. B.
C. D.
7.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段孤，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则等于（ ）
A.2024 B. C.2023 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A.且
B.
C.
D.不等式的解集是
10.已知，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，下列命题正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递减
D.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为
12.已知，其中为锐角，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正数满足，则的最小值为__________.
14.若函数的定义域是，则函数的定义域是__________.
15.函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.
16.若函数对定义域内任意实数均满足，其中，则称是“等值函数”.若函数是“2等值函数”，则实数__________，函数在区间上的零点个数为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）解不等式.
19.（12分）某校要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.
（1）写出矩形的面积与角的函数关系式；
（2）当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.
20.（12分）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.
（1）请判断函数是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若是定义在上的“倒戈函数”，求实数的取值范围.
21.（12分）已知函数的一段图象过点，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，求函数的最小值.
2023~2024学年怀仁一中高一年级上学期期末考试
数学试题答案
1.A .
2.A 当时，是增函数，则是增函数；当是增函数时，或，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件.
3.C
4.A 因为函数的定义域为，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除，；又当时，，所以，排除.
5.B 在直线上取点，则，故
6.B 由，得，由，得，
即，而，所以.
7.D 因为的长度为，所以，
所以勒洛三角形的面积是.
8.B 因为的定义域为，且为偶函数，所以，即，
即，所以.又因为，即，所以.
因为，
所以
.
9.ACD 不等式的解集是对应的方程的两根为-2和，且，故，且，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，即，即，解集是，故D正确.
10.AC 对于项，因为，所以，即，故A项正确；对于B项，，故B项错误；对于C项，，故C项正确；对于D项，，又，所以不一定成立，故D项错误.
11.AC 对于A，由于，所以的图象关于点对称，故A正确；对于，故直线不是的对称轴，故B错误；对于C，由，得，故在区间上单调递减，故C正确；对于D，，由，且，得，要使在区间上恰有两个零点，则，解得，故D错误.
12.ABD 因为为锐角，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，则，A选项正确；
，
B选项正确；
，
，
两式相加并化简得选项错误；
两式相减并化简得，所以，D选项正确.
13.12 解析由，可得，则，
当且仅当时，等号成立.
14. 解析因为函数的定义域是，
所以对于有解得且，故函数的定义域是.
15.4 解析由，得，所以定点的坐标为，设，则，解得，所以，所以.
16.2506 解析是“2等值函数”，对恒成立，
，
不恒为，又.
的最小正周期为8，把视为第一个周期，
则区间包含253个周期，如图，
故函数在区间上共有（个）零点.
17.解（1）根据题意，命题，不等式恒成立，
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）根据题意，命题，使成立，
则，即，
或，
又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假，
①当真假时，解得；
②当假真时，解得.
综上，实数的取值范围为.
18.（1）证明，且的定义域为，
因为，
所以函数是奇函数.
（2）解由于为减函数，故也为减函数，
因此是奇函数且是减函数，
由不等式，
得，
所以，解得不等式的解集为或.
19.解（1）由题可知，，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
（2）.
当，即时，，
故当时，矩形的面积最大，最大面积为.
20.解（1）函数是“倒戈函数”，理由如下：
由，得，
化简得，解得
所以存在实数满足，
故函数是“倒戈函数”.
（2）因为是定义在上的“倒戈函数”，
所以关于的方程在上有解，
即在上有解，
等价于有解，
又因为，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
21.解（1）由图知，，则.
由图可得，在处取最大值，又因为函数图象经过点，故，
所以，故，
又因为，所以，
又函数经过点，故，解得.
所以函数的解析式为.
（2）由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
（3）因为，所以，
即，
又因为，所以，由，
所以.
所以，
所以.
22.解（1）在上任取，且，则，
所以，
即，所以在上单调递增，
故当时，取得最小值-3，当时，取得最大值0，
所以函数的值域为.
（2），
令.
①当时，在上单调递增，故；
②当时，在上单调递减，故；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述，
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知且，则“”是“函数是增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等于（ ）
A. B. C. D.1
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于（ ）
A. B. C.0 D.1
6.设，则（ ）
A. B.
C. D.
7.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段孤，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则等于（ ）
A.2024 B. C.2023 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A.且
B.
C.
D.不等式的解集是
10.已知，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，下列命题正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递减
D.若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为
12.已知，其中为锐角，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正数满足，则的最小值为__________.
14.若函数的定义域是，则函数的定义域是__________.
15.函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.
16.若函数对定义域内任意实数均满足，其中，则称是“等值函数”.若函数是“2等值函数”，则实数__________，函数在区间上的零点个数为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）解不等式.
19.（12分）某校要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.
（1）写出矩形的面积与角的函数关系式；
（2）当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.
20.（12分）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.
（1）请判断函数是否为“倒戈函数”，并说明理由；
（2）若是定义在上的“倒戈函数”，求实数的取值范围.
21.（12分）已知函数的一段图象过点，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
22.（12分）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，求函数的最小值.
2023~2024学年怀仁一中高一年级上学期期末考试
数学试题答案
1.A .
2.A 当时，是增函数，则是增函数；当是增函数时，或，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件.
3.C
4.A 因为函数的定义域为，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除，；又当时，，所以，排除.
5.B 在直线上取点，则，故
6.B 由，得，由，得，
即，而，所以.
7.D 因为的长度为，所以，
所以勒洛三角形的面积是.
8.B 因为的定义域为，且为偶函数，所以，即，
即，所以.又因为，即，所以.
因为，
所以
.
9.ACD 不等式的解集是对应的方程的两根为-2和，且，故，且，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，即，即，解集是，故D正确.
10.AC 对于项，因为，所以，即，故A项正确；对于B项，，故B项错误；对于C项，，故C项正确；对于D项，，又，所以不一定成立，故D项错误.
11.AC 对于A，由于，所以的图象关于点对称，故A正确；对于，故直线不是的对称轴，故B错误；对于C，由，得，故在区间上单调递减，故C正确；对于D，，由，且，得，要使在区间上恰有两个零点，则，解得，故D错误.
12.ABD 因为为锐角，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，则，A选项正确；
，
B选项正确；
，
，
两式相加并化简得选项错误；
两式相减并化简得，所以，D选项正确.
13.12 解析由，可得，则，
当且仅当时，等号成立.
14. 解析因为函数的定义域是，
所以对于有解得且，故函数的定义域是.
15.4 解析由，得，所以定点的坐标为，设，则，解得，所以，所以.
16.2506 解析是“2等值函数”，对恒成立，
，
不恒为，又.
的最小正周期为8，把视为第一个周期，
则区间包含253个周期，如图，
故函数在区间上共有（个）零点.
17.解（1）根据题意，命题，不等式恒成立，
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）根据题意，命题，使成立，
则，即，
或，
又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假，
①当真假时，解得；
②当假真时，解得.
综上，实数的取值范围为.
18.（1）证明，且的定义域为，
因为，
所以函数是奇函数.
（2）解由于为减函数，故也为减函数，
因此是奇函数且是减函数，
由不等式，
得，
所以，解得不等式的解集为或.
19.解（1）由题可知，，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
（2）.
当，即时，，
故当时，矩形的面积最大，最大面积为.
20.解（1）函数是“倒戈函数”，理由如下：
由，得，
化简得，解得
所以存在实数满足，
故函数是“倒戈函数”.
（2）因为是定义在上的“倒戈函数”，
所以关于的方程在上有解，
即在上有解，
等价于有解，
又因为，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
21.解（1）由图知，，则.
由图可得，在处取最大值，又因为函数图象经过点，故，
所以，故，
又因为，所以，
又函数经过点，故，解得.
所以函数的解析式为.
（2）由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
（3）因为，所以，
即，
又因为，所以，由，
所以.
所以，
所以.
22.解（1）在上任取，且，则，
所以，
即，所以在上单调递增，
故当时，取得最小值-3，当时，取得最大值0，
所以函数的值域为.
（2），
令.
①当时，在上单调递增，故；
②当时，在上单调递减，故；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述，
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