人教B版（2019）必修一 第二章 整式与不等式 章节测试题（含解析）

人教B版（2019）必修一 第二章 整式与不等式 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
2．不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3．设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
4．若点在直线上,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．下列命题中正确的是( )
A.若,,且,则
B.若,则
C.若a,,则
D.对任意a,,,均成立.
6．不等式的解集为,则的解集为( )
A. B. C. D.
7．已知函数，若实数x，y满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8．已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若函数在上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是( )
A.2 B. C.1 D.0
10．已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是( )
A.若，则不等式的解集为R
B.若，则不等式的解集为或
C.若，则不等式的解集为或
D.若，则不等式的解集为或
11．若关于x的不等式的解集为,则的值可以是( )
A. B. C. D.
12．下列叙述正确的是( )
A.当时,
B.当时,的最小值是5
C.函数的最大值是0
D.函数在区间上单调递增,则的取值范围是
三、填空题
13．若a,b为正实数,m,,且,,则___________.
14．已知函数,对于任意不同的,,有,则实数a的取值范围为______.
15．已知关于x的不等式的解集为,且实数,,满足,,则实数m的取值范围是_______________.
16．当时,的最大值为________.
四、解答题
17．已知a,b,c均为正数,若,求证：
（1）;
（2）.
18．（1）已知a,b为正数,且满足,求的最小值;
（2）已知,求的最大值.
19．设函数.
（1）若不等式的解集为,求实数a,b的值;
（2）若,且存在,使成立,求实数a的取值范围.
20．已知,,.
（1）求最小值
（2）求的最小值.
21．某服装厂拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）.
（1）将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数;
（2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时,利润最大
22．设函数的图象与平面直角坐标系的x轴交于点,.
(1)当时,求的值;
(2)若,求实数m的取值范围,及的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：由，
又，所以，且，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为6.故选：A.
2．答案：B
解析：依题意可得,故,解得或,
所以不等式的解集为
故选:B.
3．答案：B
解析：由可得,由可得
所以“”是“”的必要而不充分条件
故选：B.
4．答案：C
解析：因为点在直线上,
所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为4,
故选：C.
5．答案：A
解析：A选项,,当且仅当时等号成立,A选项正确.
B选项,当时,,所以B选项错误.
C选项,当,时,,,所以C选项错误.
D选项,当,时,,不成立,所以D选项错误.
故选:A
6．答案：A
解析：由题意可知,关于x的方程的两根分别为2,3,则,可得,
故所求不等式为,即,解得.
故选:A.
7．答案：C
解析：由题意有，
记，，
显然关于中心对称且为R上的增函数，，，
故是关于中心对称且为R上的增函数，
得也是关于中心对称且为R上的增函数；
由于，故，可得；
记，由基本不等式，
可得，当且仅当即时，等号成立，
故的最大值为，选C.
8．答案：C
解析：由题意得对任意实数a，b以及任意实数x恒成立.由已知条件及基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则.因此实数m的取值范围是.故选C.
9．答案：AB
解析：依题意,当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即;
当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即.
故选AB.
10．答案：BCD
解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确.故选BCD.
11．答案：BC
解析：设其中,
因为不等式的解集为,
所以恒大于等于零且,
故,即①,且②,③,
由②③可得,
代入①,可得,
解得,
由知,
故,
结合选项,的值可能和,
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：对于A,当时,,
当且仅当,即时,等号成立,正确;
对于B,因为,则,所以,
当且仅当即时,等号成立,但是,所以等号取不到,
即,错误;
对于C,当时,,
当且仅当,即时,等号成立,正确;
对于D,当时,函数在单调递增,函数在上单调递增,
由单调性的性质知,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增;
当时,任取,,
当时,,则有,
当时,,则有,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以要使函数在区间上单调递增,则,所以.
综上,,正确.
故选:ACD
13．答案：3.
解析：由题意可知,a,b为正实数,m,,
所以
又
所以,
即
当且仅当(①)时,取等号,
即
所以（②）
联立①②,因为m,,所以,则,
所以,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：对于任意,,有,
不妨设,则,即,
设,则,
又,所以单调递增,则恒成立,
因为,
所以,令,
要使在恒成立,只需恒成立,即恒成立,
又,所以,即,
故答案为:
15．答案：或
解析：因为的解集为,
所以,是的两根,
所以,,
所以,则,
即,解得或.
故答案为：或.
16．答案：1
解析：因为,所以,则,
所以,当且仅当即时,等号成立,
所以的最大值为1.
故答案为:1
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）
.
（当且仅当等号成立）.
;
（2）
（当且仅当时取等号）.
18．答案：（1）9;
（2）1
解析：（1）a,b为正数,且满足,
故,
当且仅当,即,时等号成立,即的最小值为9.
（2）,
,故,则,
当且仅当,即时等号成立,
故,当且仅当时等号成立,的最大值为1.
19．答案：（1）,;
（2）或
解析：（1）因为的解集为,
所以,解得,;
（2）因为,所以,
因为存在,成立,
即存在,成立,
当时,,成立;
当时,函数图象开口向下,成立;
当时,,即,
解得或,此时,或,
综上：实数a的取值范围或.
20．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由得,即,
,则,
因为,,所以,,,
当且仅当,即时取得“=”,
所以的最小值为.
（2）令,则,,,
故由可得,整理得,
,
当且仅当,即,即时取“=”,
所以的最小值为2.
21．答案：（1）;
（2）投入3万元时,利润最大
解析：（1）由题意知：每件产品的销售价格为,
,
即;
（2）由,
当且仅当,即时取等号.
故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时,利润最大.
22 已知函数．
（1）求函数的单调区间和最大值;
（2）设函数有两个零点,证明：．
答案：（1）答案见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）函数的定义域是,.
当时,恒成立,故在上单调递增,无最大值;
当时,令,得;令,得,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,
．
（2）,
因为,为的两个零点,
所以,不妨设．
因为,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以．
又证明等价于证明,
又因为,,,在上单调递增,
因此证明原不等式等价于证明,即要证明,
即要证明,
即恒成立．
令,
则,
所以在上为减函数,
所以,
即在时恒成立,
因此不等式恒成立,
即．
22．答案：(1)-4.
(2),.
解析：（1）当,函数,令有两个根,,
所以,
故.
（2）由题意关于x方程有两个正根,
所以由韦达定理知解得;
同时,由,,得,
所以,
由于,所以,
当且仅当即,且,解得,取得“=”,
此时实数符合条件,
故,且当时,取得最小值.