人教B版（2019）必修四 第十一章 立体几何初步 章节测试题（含解析）

人教B版（2019）必修四 第十一章 立体几何初步 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在梯形ABCD中,,,.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
2．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
3．正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为( )
A. B. C.2 D.
4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为，下底面内侧边长为，侧棱长为.将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为.已知大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为( )（参考数据：，，结果保留整数）
A. B. C. D.
5．已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6．如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7．如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，且EF长度的最大值为b，最小值为，则( )
A.7 B.6 C.5 D.3
8．在空间直角坐标系中,已知圆在平面xOy内,.若的面积为S,以C为顶点,圆A为底面的几何体的体积为V,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点,O为圆心）,点B为圆O上异于A,C的动点,,则下列结论正确的为( )
A. 圆锥SO的侧面积为
B.的取值范围为
C.若,E为线段AB上的动点,则
D. 过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
10．已知正方体中,O为的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线 B. A,M,O,四点共面
C.A,O,C,M四点共面 D.B,,O,M四点共面
11．在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为四边形内一点（包含边界），若平面AEC，则下列结论正确的是( )
A. B.三棱锥的体积为定值
C.线段长度的最小值为 D.的最小值是
12．如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的倍，E，F，H分别是AB，AC，BC的中点，D为PH的中点，且，则下列结论中正确的是( )
A.平面平面ABC B.平面平面PAH
C.平面平面ABC D.平面平面PBC
三、填空题
13．刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为___________.
14．已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则过,E,F三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为________.
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）
16．图1阴影部分是由长方体ABCD和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3半圆O和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖暅原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为______.
四、解答题
17．如图,在四棱锥,底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点,F为AB的中点,.
（1）求四棱锥体积;
（2）证明：平面PFC;
（3）证明：平面平面PCD.
18．在三棱锥中,底面ABC是边长为的等边三角形,点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O,且PB与底面ABC所成角为,点M为线段PO上一动点.
(1)求证：;
(2)是否存在点M,使得二面角的余弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
19．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，M为的中点，如图2：
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离.
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形；侧棱底面，.
（1）证明：平面平面；
（2）点H在棱上，当二面角的余弦值为时，求.
22．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点E满足.
（1）若，求证平面；
（2）求点C到平面的距离；
（3）若平面ABC与平面的夹角的正弦值为，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：在梯形ABCD中, ,,,
将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：
一个底面半径为,高为的圆柱减去一个底面半径为,
高为的圆锥,
几何体的表面积为：.
故选：A．
2．答案：C
解析：球O的半径为R,则,解得：,
由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,
体积最大值为.
故选：C.
3．答案：B
解析：正四面体中，取的中心为H,则平面，
故，，
其中，由勾股定理得，
故点N到平面的距离为，
又，
故，
又，，
取的中点T，连接，则，
则，
故，
设点A到平面的距离为d，
故，即，
解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：如图，平面为大米铺平后所在的平面.连接，，.分别取，的中心O，（它们分别在，上），连接，则与平面的交点必在上且为的中心.在正四棱台的对角面中，，，，，易得，分别为，的三等分点，，，
所以.又因为大米的体积约为，所以方斗内剩余的大米质量约为.故选B.
5．答案：D
解析：设该正方体外接球的半径为R，依题意，，解得，故，则，解得.
分别取棱AB，BC的中点F，G，连接，，，，
根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形，建立如图所示空间直角坐标系，，，，.
，，，
则，，
所以，，又，
所以平面，即截面为等腰梯形.
由题可知，，所以等腰梯形的高为，
故截面图形的面积为.故选D.
6．答案：C
解析：如图，取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，
由题意知，设，在直角三角形CFM中，.
在直角三角形CFN中，，即，
所以，化简得，
结合，，
解得，
所以，.
过点P作平面EFGH，连接ON，
如图，则正四棱锥的高，所以正四棱锥的体积.
故选C.
7．答案：B
解析：如图，过点F作，交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得.平面，平面，，平面平面，又平面EFG，平面，又平面平面，平面，，为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，，，，，，得，则，，故选B.
8．答案：B
解析：因为圆的方程,所以.故,
到平面的投影为,过作OA垂线交与点D,故CD是的高,,所以到直线OA的距离为d,,
故,所以.
因为圆A的底面半径为1,所以圆A底面积,又,
所以.,当时,取得最小值为,故.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对选项A：母线长,侧面积为,正确;
对选项B：中,,,则当时,
,错误;
对选项C：为等腰直角三角形,,
将放平得到,如图2所示,当,E,C三点共线时最小,F为AB中点,
连接,则,,
,正确;
对选项D：如图3,设截面为SMN,Q为MN中点,
连接OQ,SQ,设,,
则,
当,即时等号成立,D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：连接,AC,AO因为O为 的中点, 所以,
平面平面
因为平面,平面,所以点M是平面和平面的所以A,M,O三点共线, 故A正确;
因为 A,M,O三点共线, 所以A,M,O,四点共面,A,M,O,C四点共面,故BC正确;
取AC中点, 连接 交 于点E,
由题意得,,所以, 即M 为 的三等分点,
因为 O,,B不共线, O,,平面,平面 ,E为 的中点,
所以点平面 ,B,,O,M四点不共面, 故D错.
故选: ABC.
11．答案：BCD
解析：取中点G，连接,,，
易知，平面AEC，平面AEC，平面AEC；
同理可得：平面AEC，又，平面，
平面平面AEC，又平面AEC，平面，
又P为四边形内一点（包含边界），.
对于A，当P在G处时，与不垂直，A错误；
对于B，为定值，P到平面的距离等于平面的距离，即，
，B正确；
对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离，
在中，，，，
设点到线段的距离为d，则，解得：，
即线段长度的最小值为，C正确；
对于D，设，，则，
（当且仅当时等号成立），
又，的最小值是，D正确.
故选：BCD.
12．答案：ABD
解析：选项A，因为H是BC的中点，在等腰三角形PBC中，，在等腰三角形ABC中，，又因为，PH，平面PAH中，所以平面PAH，因为平面ABC，所以平面平面ABC，故A正确；
选项B，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以，所以平面PAH，
因为平面PEF，所以平面平面PAH，故B正确；
选项C，由已知条件可知，O为EF的中点，则，若平面平面ABC，则平面ABC，根据正三棱锥的结构特征可知点P在底面ABC内的射影是三角形ABC的中心，同时也是AH的三等分点，而此处O为AH的中点，故C错误；
选项D，连接OD，O，D分别为AH，PH的中点，所以，因为正三棱锥的底边长为侧棱的倍，所以三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，
所以，，因为，PB，平面PBC，
所以平面PBC，所以平面PBC，又因为平面EFD，
所以平面平面PBC，故D正确；
故选：ABD.
13．答案：
解析：如图:E,F在平面ABCD内的垂足分别为Q,G,则,
H为AB的中点,则,于是,
.
点G在DA边上的垂足为P,
则.
,
,
,
所以茅草屋顶的面积为.
故答案为:
14．答案：
解析：如图延长直线EF,分别交DC,DA的延长线于点H,G,连接,,分别交,,于点I,J,连接IE,JF,则五边形为所得截面,
又正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,
所以,
平面平面,所以平面与以上两个平面的交线,
所以,,,
所以,.
在中,所以,
在中,所以.
同理可得,.
则五边形周长为.
15．答案：
解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,
即,可得尺；
根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为立方尺；
又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.
故答案为：.
16．答案：或
解析：图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分,
将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球,
将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体,可得截面都为圆环,纵截面图如下,
几何体一的截面面积为
几何体二的截面面积为,
又两几何体等高,
由祖暅原理可得两几何体的体积相等,又几何体二的体积
所以几何体一的体积,
故答案为:
17．答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）设四棱锥体积为,
正方形ABCD的面积为,
则．
（2）取PC中点G,连结EG,FG,
因为E、F分别为PD、AB的中点,
所以,,,
所以,,
所以四边形AEGF为平行四边形,
所以．
又平面PFC,平面PFC,
所以平面PFC;
（3）底面正方形ABCD,平面ABCD,
,又,,平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD,平面PAD,
所以．又,,平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD．
由（2）知,
所以平面PCD,而平面PFC,
所以平面平面PCD．
18．答案：(1)证明见解析
(2)存在,且点M为PO的中点
解析：（1）证明：连接AO,为等边三角形,O为BC的中点,则,
因为点P在底面ABC上的射影为点O,则平面ABC,
平面ABC,,
,AO、平面APO,平面APO,
平面APO,.
（2）因为平面ABC,,以点O为坐标原点,OB、AO、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为平面ABC,所以,PB与底面ABC所成的角为,
则、、,设点,其中,
,,设平面PAB的法向量为,
则,取,则,
,设平面ABM的法向量为,
则,取,则,
由已知可得,可得,
,解得,即点.
因此,当点M为PO的中点时,二面角的余弦值为.
19、
（1）答案：见解析
解析：连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，F是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）答案：
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在正方形中，，
因为，，，平面，
所以平面，
平面，，
又在直角梯形中，，，故，，
由余弦定理，所以，
在中，，，
所以，故，
因为，，平面，
所以平面.
（2）解法一：由（1）知平面，因为平面，
所以平面平面，
过点D作的垂线交于点G，
平面平面，平面，
则平面，
所以点D到平面的距离等于线段的长度，
平面，在平面内，
，
在三角形中，，
所以，
所以点D到平面的距离等于.
解法二：由（1）平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
所以，
，
设点D到平面的距离为h，
根据，由（1）可知平面，
即，，解得，
即点D到平面的距离为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连结，侧棱底面，
平面，.又底面是正方形，.
而且，，平面.平面.
又平面，平面平面.
（2）过H作交于E，过E作于F，连接.
在平面中，，，
，因为底面，平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面，又平面，，
为二面角的平面角.故，则.
设，则，，.
在中，，.
在中，，
.所以，当二面角的余弦值为时，.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）或
解析：（1）因为点是的中点，
又是的中点
所以，面，面，
所以面.
（2）在三棱柱中，面面，
所以点E到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.
又因为正方形，所以，且平面，
以M为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得法向量为，
又，
所以E到平面ABC的距离.
（3）因为，所以，
则，
设面的法向量为，
则，令，
可得法向量为，
所以，
因为平面ABC与平面所成角的正弦值为，
所以，可得，所以或.