人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题（含解析）

人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若,则( )
A. B. C. D.
2．1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(,i为虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,下面四个结果中不成立的是( )
A. B. C. D.
3．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( )
A.-7 B.-11 C.-19 D.
4．设复数z满足,则( )
A. B.2 C. D.
5．已知a为实数,若复数为纯虚数,则复数z的虚部为( )
A.1 B. C. D.2
6．若复数z满足,则( )
A.i B. C.2i D.
7．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( )
A.且 B. C. D.或
8．若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.的虚部为
B.为纯虚数
C.
D.以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形
10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是( )
A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B.
C.
D.
11．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( )
A. B.
C.z的共轭复数为 D.z的虚部为-1
12．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：对于，，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B.当，，
C.当，时，
D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题
13．已知,且复数是纯虚数,则________.
14．已知i是虚数单位,设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是,,则点C对应的复数是_____________.
15．欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________．
16．已知复数,满足,,若(i为虚数单位),则___.
四、解答题
17．设虚数z满足.
（1）求证：为定值;
（2）是否存在实数k,使为实数？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
18．已知.
（1）是z的共轭复数，求的值；
（2）求的值.
19．设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.
（1）求实数的值；
（2）求的坐标；
（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
20．已知虚数，，其中i为虚数单位，，，是实系数一元二次方程的两根.
（1）求实数m，n的值；
（2）若，求的取值范围.
21．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求复数z的三角表示式；
（3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量，对应的复数（结果用代数形式表示）.
22．已知是关于x的实系数一元二次方程.
（1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值；
（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
故选：A.
2．答案：D
解析：对于A,当时,因为,所以,故选项A正确;
对于B,,
故选项B正确;
对于C,由,,
所以,得出,故选项C正确;
对于D,由C的分析得,推不出,故选项D错误.
故选:D.
3．答案：A
解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选：A.
4．答案：D
解析：因为,所以,
因此
故选：D.
5．答案：D
解析：由已知,解得,故,其虚部为2,
故选：D.
6．答案：C
解析：,则.
故选:C.
7．答案：C
解析：由复数是纯虚数,得,解得.
故选：C.
8．答案：C
解析：,
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于A，因为，所以的虚部为-2，所以A错误；对于B，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D，由已知可得，，，且，所以，所以为钝角，所以D正确.
10．答案：BCD
解析：对于A，，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由，，所以，所以，故D正确.故选BCD.
11．答案：BCD
解析：由复数，则，所以A为假命题；因为，所以B为真命题；根据共轭复数的概念，可得复数z的共轭复数，所以C为真命题；根据复数的基本概念可得复数z的虚部为-l，所以D为真命题.故选BCD.
12．答案：AC
解析：，则，则，，所以A正确；
当，时，，所以B错误；
当，时，，则，所以C正确；
当，时，，n为偶数时，设，，则，，所以当k为奇数时，为纯虚数，当k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC.
13．答案：
解析：,
又该复数为纯虚数
故,,
故答案为:
14．答案：
解析：依题意得,,,,,
四边形ABCD是平行四边形,
,故点C对应的复数为.
故答案为：.
15．答案：3
解析：,
又,
即当时,取得最大值为3,
故答案为：3.
16．答案：1
解析：设,,其中a,b,c,且满足,,则
所以,即,
所以,所以,
所以
故答案为:1.
17．答案：（1）为定值
（2）
解析：（1）依题意,设（x,,）,
代入,
得,
整理得,即,所以为定值;
（2）假设存在实数k,使得为实数,
即：
实数,,
,,故存在实数k,使为实数,此时.
18．答案：（1）0
（2）1
解析：（1）由题意知，
.
（2），
.
.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）复数在复平面内对应的向量，
复数在复平面内对应的向量，
复数在复平面内对应的向量，
.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，解得，.
（2）.
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则.
由（2）得，所以，
解得，
故点A的坐标为.
20．答案：（1），
（2）
解析：（1）由题意，，即，
故，
根据根与系数的关系有，，
即，.
（2）由（1）知，
故不妨设，.
设，z，，在复平面内对应的点分别为Z，，，
则的几何意义即为复平面内与，的距离之和为，
因为与的距离为，
所以点在线段上.
故当Z为时，取得最小值2；
当Z为或时，取得最大值.
故的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得，所以实数m的取值范围为.
（2）当时，，
所以，，
所以，所以.
（3）（代数运算）根据题意得在复平面内对应的向量，
将其顺时针旋转60°后得到向量，
则，对应的复数.
【多种解法】（3）（三角运算）根据题意得在复平面内对应的向量，
将其顺时针旋转60°后得到向量，
则.
又因为，，
所以.
22．答案：（1）或或
（2）-5，-3，-2
解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以，
因为a是方程的一个根，且，
当时，则或，
若，代入方程得，解得；
若，代入方程得，解得；
当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根，
故，又因为，即，故，
所以，解得，
又，得，
所以；
综上：或或.
（2）由韦达定理可知，，，，
所以，
因为为整数，，
所以必为的因式，则的值可能为，
则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3，
又因为是该方程的两个实根，所以，则，
所以k的所有取值为-5，-3，-2.