北师大版（2019）必修一 第五章 函数应用 章节测试题（含解析）

北师大版（2019）必修一 第五章 函数应用 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．2021年初,某地区甲,乙,丙三位经销商出售钢材的原价相同.受钢材进价普遍上涨的影响,甲,乙计划分两次提价,丙计划一次提价.设,甲第一次提价,第二次提价;乙两次均提价;丙一次性提价.各经销商提价计划实施后,钢材售价由高到低的经销商依次为( )
A.乙,甲,丙 B.甲,乙,丙 C乙,丙,甲 D.丙,甲,乙
2．已知,均为上连续不断的曲线,根据下表能判断方程有实数解的区间是( )
x -1 0 1 2 3
-0.94 -0.31 1.40 6.07 18.77
-1.32 -0.32 0.67 7.67 26.67
A. B. C. D.
3．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年,）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：,其中e为自然对数的底数,设该树栽下的时刻为0,则该种树木生长至3米高时,大约经过的时间为( )
A.2年 B.3年 C.4年 D.5年
4．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5．设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7．设函数,用二分法求方程在内的近似解的过程中,计算得,,,则下列必有方程的根的区间为( )
A. B. C. D.不能确定
8．核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量与扩增次数n满足,其中p为扩增效率,为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增10次后,数量变为原来的100倍,那么该样本的扩增效率p约为( )
(参考数据：,)
A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631
二、多项选择题
9．已知函数,若函数有四个不同的零点、、、,且,则以下结论中正确的是( )
A. B.且
C. D.方程有个不同的实数根
10．已知函数,的零点分别为,则( )
A. B. C. D.
11．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为( )
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
12．已知函数,. 记,则下列关于函数的说法正确的是( )
A.当时,
B.函数的最小值为-2
C.函数在上单调递减
D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根,则或
三、填空题
13．已知函数,若存在,使得关于x的函数有三个不同的零点,则实数t的取值范围是____________.
14．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为________.
15．函数的所有零点之和为________.
16．已知函数,若方程恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为_________________.
四、解答题
17．已知函数是偶函数
（1）求实数k的值．
（2）设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围．
18．若函数在定义域内存在实数x满足,,则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”．
（1）若函数,判断是否为上的“二阶局部奇函数”,并说明理由;
（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
（3）对于任意的实数,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,求k的取值集合．
19．已知函数,.
（1）若为偶函数,求a的值;
（2）令.若函数在上有两个不同的零点,求a的取值范围.
20．已知函数是定义域上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）若方程在上有两个不同的根,求实数m的取值范围;
（3）令,若对,都有,求实数t的取值范围.
21．某校高一年段“生态水果特色区”研究小组,经过深入调研发现:某水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).
（1）求函数的解析式;
（2）当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大 最大利润是多少 请说明理由.
22．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：
A.；B.；C..
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
参考答案
1．答案：A
解析：设提价前价格为1,
则甲提价后的价格为:,
乙提价后价格为:,
丙提价后价格为:,
因,
所以,
所以,即乙>甲>丙.
故选:A
2．答案：C
解析：令,
由,均为上连续不断的曲线,得在上连续不断的曲线,
,,
,,
,
显然,则函数有零点的区间为,
所以方程有实数解的区间是.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意可得,令,即,解得：.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为开区间的长度等于,每经这一次操作,区间长度变为原来的一半,
所以经过次操作后,区间长度变为,
令,解得,且,故所需二分区间的次数最少为6.
故选:B.
5．答案：B
解析：令,则
令,则
则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.
作出和的图像,观察交点个数,
可知使得的最短区间长度为,最长长度为,
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B.
6．答案：D
解析：当时,,故函数周期为2,画出函数图像,如图所示：
方程,即,即函数和有两个交点.
,,故,,,,.
根据图像知：.
故选：D.
7．答案：C
解析：显然函数在上是连续不断的曲线,
由于,,所以,
由零点存在性定理可得：的零点所在区间为,
所以方程在区间内一定有根.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题意知,,即,
所以,解得.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：函数与直线的图象,如下图所示：
因为直线与函数的图象相交于四个不同的点,所以,则A正确;
因为二次函数的图象关于直线对称,则,
,则B正确;
设,因为,所以,
令,则,,
设,
因为,,所以,即函数在上单调递增,
故,即,则C正确;
令,则.
由得,则方程的解为、、、.
当时,由于,则直线与函数的图象相交一点
当时,由于,则直线与函数的图象相交一点
当时,由于,则直线与函数的图象相交不同的四点
当时,由于,则直线与函数的图象相交不同的两点
则方程有个不同的实数根,则D错误;
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：因,,
令,,得,,
因为与互为反函数,所以它们的图象关于直线对称,
因为,
所以由的图象向右向上各平移一个单位得到图象,
故函数的图象关于直线对称,即可知点A,B关于直线对称,
作出,与的大致图象,如图,
由图象可知A的横坐标为,B的横坐标为,
对于A,由上述分析得,则,
所以,故A错误;
对于B,由上述分析得,故B正确;
对于C,由,故C正确;
对于D,,
当且仅当,即时,等号成立,
显然,则,故等号不成立,
所以,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：
12．答案：BD
解析：
13．答案：
解析：,
若,则,
在为增函数,在上为增函数,在为减函数.
有三个不同的零点,
与直线有三个不同的交点,
故在有解,
整理得,即.
,,.
t的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：当时，直线段过点，，
，此时方程为.
当时，直线段过点，，，
此时方程为.即.
故答案为：.
15．答案：15
解析：解：令，.
显然与的图象都关于直线对称.
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示：
由图象知：它们的图象有6个公共点，其横坐标依次为，，，，，，
这6个点两两关于直线对称，
，则.
函数所有零点之和为15.
故答案为：15.
16．答案：
解析：当时,;当时,.
故函数的图象如下图所示：
由图可知,当时,函数与的图象有三个不同的交点.
即当时,方程恰有三个不同的实数根.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数,
因为是偶函数,
所以,
即,
即对一切恒成立,
所以;
（2）因为函数与的图象有且只有一个公共点,
所以方程有且只有一个根,
即方程有且只有一个根,
令,则方程有且只有一个正根,
当时,解得,不合题意;
当时,开口向上,且过定点,符合题意,
当时,,解得,
综上：实数a的取值范围是.
18．答案：（1）是上的“二阶局部奇函数
（2）
（3）见解析
解析：（1）由题意得,,
即,
由,可得且,得,
,．
所以,是上的“二阶局部奇函数”;
（2）由题意得,,
所以,,可得在时有解,
当时,,即;
,,可得;
,,可得.
所以,,解得.
综上所述,实数m的取值范围是;
（3）由题意得,在R上有解,
可知有解,即有解,
当时,,满足题意;
当时,对于任意的实数,,
,
由,故．
19．答案：（1）1
（2）
（1）由已知得函数为偶函数,则,即,
化简整理得,即恒成立,故.
（2）由得,
即,,
所以的两个零点为,,
因为,,且,所以,且,
解得,且.
故a的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,又是奇函数,,
,解得,.
经验证,函数满足定义域,成立,
所以.
（2）方程在上有两个不同的根,
即在上有两个不相等的实数根,
需满足,解得.
（3）有题意知,
令,
因为函数在上单调递减,在上单调递增,
函数的对称轴为,
函数在上单调递增.
当时,;当时,;
即,
又对都有恒成立,
,
即,
解得,又,
t的取值范围是.
21．答案：（1）见解析
（2）当施用肥料为3千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是390元
解析：（1）由已知,
又,
,
整理得:;
（2）当时,,
当时,;
当时,
,
当且仅当,即时,,
,的最大值为390,
故当施用肥料为3千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是390元.
22．答案：（1）模型C，理由见解析
（2）①210万元
②不会
解析：（1）模型A.，因为，所以匀速增长，
模型B.，因为，先慢后快增长，
模型C.，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以.
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且的增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.