山西省忻州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含解析）

忻州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线，直线．若，则（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．3
3．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
4．若数列满足，，则（ ）
A． B．11 C． D．
5．函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．的公差为1 B．的公差为2
C． D．
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．有2个极大值点 D．只有1个极小值点
11．已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A B C D
12．已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．物体位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系），则当时，物体的瞬时速度为______．
14．已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则______．
15．若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为______．
16．在数列与中，已知，，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最值．
18．（12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）
已知直四棱柱的底面是菱形，且，，，分别是侧棱，的中点．
（1）证明：四边形为菱形．
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）
已知正项数列满足，数列的前项和为，且，．
（1）求，的通项公式；
（2）证明：．
21．（12分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为，过作轴交双曲线于点（在第一象限），，分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点，为坐标原点，证明：．
22．（12分）
已知函数，．
（1）讨论的单调性．
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由．
高二数学试题参考答案
1．D 观察可知，该数列的一个通项公式可以为．
2．A 因为，所以，即，得或．当时，，，符合题意；当时，，，，重合．故．
3．D 当公比不为1时，等比数列的前项和满足（），所以．
4．D 因为，，所以，，，所以是周期为3的数列，故．
5．B ，当时，，当时，．所以的极大值为．
6．A 设，，则，则．因为线段中点的坐标为，所以，解得．
7．B 易知，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则所以取，得．
设直线与平面所成的角为，
所以．
8．D 由，得．
设函数，则，所以单调递增，所以，即．
因为，所以，即．
9．ACD 设的公差为，则解得则，．故选ACD．
10．ABD 由图可知，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，A，B均正确．当时，，当时，，当时，，所以的极大值点为-3，的极小值点为-1，C错误，D正确．
11．BD 因为，所以曲线，直线．当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等．A不正确．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大．B正确．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小．C不正确．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负．D正确．
12．ABD ，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，．令，则，若是方程的根，则，显然不符合题意，则解得，即的取值范围为．故选ABD．
13． ，则．
14． 设双曲线与直线交于，两点，由消去整理得，则，解得，且，，所以．由，解得，所以．
15．1 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，圆心与的距离为2，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．
16．1 因为，所以．
17．解：（1），
所以，，
则曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，，，
所以在上的最大值为16，最小值为-1．
18．解：（1）当时，，
当时，．
符合，所以的通项公式为．
（2），
则．
19．解：取的中点，连接，．因为底面是菱形且，所以，易知，，两两垂直．以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由，可得，，，，，．
（1）证明：由上可得，，
所以，，且，
所以四边形为菱形．
（2）设平面的法向量为，因为，，
所以即取，得．
又，
所以点到平面的距离．
20．（1）解：因为，且，所以，
所以，即，所以．
当时，，所以．
因为，所以，所以．
也符合上式，所以．
当时，．
因为，所以当时，，
所以当时，，即，
所以当时，数列是以为首项的常数列，
即，所以，
所以的通项公式为
（2）证明：因为，
所以，
两式相减得，所以．
因为，，所以，故．
21．（1）解：椭圆的焦距，双曲线的焦距，则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
（2）证明：由（1）可知，因为，所以直线的方程为．
联立方程组整理得，
则，则，．
，，，
则，，
故．
22．解：（1），
当时，对恒成立，单调递减．
当时，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减．
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则．
因为，所以，即，即，
因为，为正整数，所以．
当时，，
因为，，所以，这与矛盾，不符合题意．
当时，因为，，所以，
所以，得，即．
经检验，当，时，不符合题意，
当，时，符合题意，
当，时，因为，所以，
当时，，，所以．
综上，仅存在，满足条件．