山西省阳泉市2023-2024学年高三上学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

阳泉市2023～2024学年度
第一学期期末教学质量监测试题
高三数学
注意事项：
1.本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题的答题卡交回.
5.试题满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）已知集合，集合，若，则的取值范围为
A. B. C. D.
（2）已知复数满足，则
A. B. C.1 D.
（3）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于
A. B. C.1 D.
（4）若），且，则
A. B. C. D.
（5）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
（6）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则
A. B. C. D.
（7）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还.其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了
A.192里 B.148里 C.132里 D.124里
（8）已知函数是定义在上的偶函数，当时，（是自然对数的底数），则不等式的解集为
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，完全选对得满分，漏选得2分，错选得0分.
（9）已知函数，则
A.图象的一条对称轴方程为
B.图象的一个对称中心为
C.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象
D.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
（10）将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则
A.戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B.诗集相邻的不同放法有种
C.四大名著互不相邻的不同放法有种 D.四大名著不放在两端的不同放法有种
（11）已知，是双曲线的上、下焦点，是该双曲线的一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆过点，则下列说法正确的有
A.双曲线的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为
C.点的横坐标为 D.的面积为
（12）如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是
A.翻折到某个位置，使得
B.翻折到某个位置，使得平面
C.四棱锥体积的最大值为
D.点在某个球面上运动
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
（13）已知，，若，则 ▲ .
（14）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试，已知这位同学的物理、化学、政治科目考试成绩是等级的概率分别为，，，这三科考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个等级的概率是 ▲ .
（15）等差数列的前项和为，若，，则 ▲ .
（16）已知函数.若存在实数，，使在上的值域为，请写出一个符合条件的的值 ▲ .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17）（本小题满分10分）
中，角，，的对边分别是，，，.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若点为边的中点，且，求的最大值.
（18）（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，点在函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点为的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，，若点到平面的距离为，求二面角的大小.
（20）（本小题满分12分）
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（Ⅰ）求第2次投篮的人是乙的概率；
（Ⅱ）求第i次投篮的人是甲的概率；
（Ⅲ）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值.
（22）（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对任意的，都有，求的取值范围.
阳泉市2023～2024学年度
第一学期期末教学质量监测试题
高三数学参考答案和评分标准
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A C A D D C A B
二.多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
选项 CD ABC AD ACD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
（13） （14）
（15） （16）内的任意一个值均可
四、解答题（本大题共6个小题，共70分）
（17）解：
（Ⅰ）由，得，
即又由余弦定理，
可得，
又，； （5分）
（Ⅱ）是边的中点，
，
那么，
又，
，当且仅当时等号成立，
，所以的最大值是4. （10分）
（18）解：
（Ⅰ）由题意知：点均在二次函数的图象上，
故
当时，，
当时，，
当时，，也适合上式.
. （6分）
（Ⅱ），
. （12分）
（19）解：
（Ⅰ）连接交于点，连接
为矩形，所以为的中点，又为的中点，
.
平面，平面.
平面 （5分）
（Ⅱ）平面，为矩形，，，两两垂直.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设，
平面
，为矩形，，，故平面，，设到平面的距离为，则有
得
，，
，，
设平面的法向量为
，
得，同理，得平面的法向量为
设二面角的平面角为，
，
即二面角的平面角为. （12分）
20.解：
（Ⅰ）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
（4分）
（Ⅱ）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，. （8分）
（Ⅲ），，
∴当时，，
故. （12分）
（21）解：
（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为，
∵椭圆经过点且短轴长为2，所以，，
∴椭圆的标准方程为. （4分）
（Ⅱ）由已知得直线的方程为，
设，，将直线代入，
得，解得或，
得，，线段的中点坐标，
线段的中垂线的方程为，
得，得
设点
，
∵当时，取得最小值. （12分）
（22）解：
（Ⅰ）函数的定义域为，令，则，
∴当时，，当时，，
的最小值为，
当时，，，
成立. （6分）
（Ⅱ），即，
当时，有恒成立，
令，
∴当时，，
故在上恒成立.
在上单调递增.
故时，对任意的，都有成立. （12分）
（以上答案仅供参考.如有不同解法酌情给分）