广东省肇庆市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

肇庆市2023—2024学年第一学期高一年级期末教学质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上。
2.回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.下列选项中为“”的必要不充分条件的是（ ）
A.或 B.或 C.或 D.
7.函数的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，，，则的最小值为（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A.是奇函数 B.在区间上单调递增
C.为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为
10.已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数为奇函数，，若函数的图象与的图象从左到右交于点，…共11个点，则下列结论中正确的有（ ）
A.函数的图象关于点中心对称 B.函数的图象关于点中心对称
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角的终边经过点，且，则______.
14.若幂函数在上单调递增，则______.
15.已知函数则______.
16.已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数的定义域为，集合.
（1）求定义域；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
（1）化简：；
（2）已知，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数在内的单调递减区间；
（2）若，判断函数在区间内的零点的个数.
21.（本小题满分12分）
2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合。已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示：
x 5 6 12 18 24 28 30
45 46 52 58 56 52 50
（1）给出下列三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域.
（2）若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数.
22.（本小题满分12分）
对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.
肇庆市2023－2024学年第一学期高一年级期末教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D【解析】因为，，
所以，所以.故选D.
2.C【解析】“，”的否定是“，”.故选C.
3.B【解析】.故选B.
4.D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，且在上单调递减，为非奇非偶函数，是偶函数，且在上单调递增.故选D.
5.C【解析】因为，所以.故选C.
6.A【解析】或，所以A选项是“”的必要不充分条件，B选项是“”的充要条件，C，D选项是“”的充分不必要条件.故选A.
7.A【解析】因为的定义域为，又，可知函数为奇函数，故排除C选项；
当时，有，，此时，
当时，有，，此时，所以函数的图象与轴有交点，故排除B，D选项.
而A选项满足上述条件.故选A.
8.C【解析】
（当且仅当，时取等号）.故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BCD【解析】A.为非奇非偶函数，故该选项错误；
B.令，得为该函数的单调递增区间，令得，故该选项正确；
C.令，得，令，得，故为其图象的一个对称中心，故该选项正确；
D.函数的最小正周期为，故该选项正确.故选BCD.
10.AC【解析】由，得.
A.由，，得成立，该选项正确；
B.取，，，得，，此时，该选项错误；
C.由，，得，所以成立，该选项正确；
D.取，，，得，，此时，该选项错误.故选AC.
11.AB【解析】由，
得，
所以，所以.
令得.又，所以.故选AB.
12.BCD【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，A错误；
令，，得，，令，得，
所以的图象关于点中心对称，B正确；
因为，，，，，，
所以，C正确；
，D正确.故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【解析】，所以，所以.
14.【解析】由，得或.又在上单调递增，所以.
15.1【解析】，，所以.
16.【解析】在中，
令，得.令，得，令，，得.
又的定义域为，所以为偶函数.
又，
所以在上为减函数，所以在上为减函数.
又，，为偶函数，所以或，
所以的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）由题意得所以
所以或，所以或.
（2）由题意得，，
所以或所以或，
所以实数的取值范围为或.
18.解：（1）原式
（2）由，得，
所以
.
19.解：（1）当时，，所以，
所以
所以.
（2）
或1，
所以不等式的解集为.
20.解：（1）令，，得，，
所以在上的单调递减区间为.
又，所以的单调递减区间为，.
（2）由（1）知在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，，，，.
函数的零点个数，即方程的根的个数，
也就是函数与的图象的交点总个数，
所以当时函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；当时，函数无零点.
21.解：（1）由表格中的数据知，当时间增加时，先增后减，
而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：.
由，可得，解得，所以.
由解得
所以，定义域为.
（2）由（1）得
设绿色产品的日销售收入为（单位：元），
则
当，时，，
解得，所以，；
当，时，，
解得，所以，.
所以这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数为16天.
22.解：（1）由题意，若函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即.
当时，上式成立，所以存在，满足，
所以函数是“函数”.（找到其他的值也得分）
（2）因为函数为上的奇函数，
所以，所以，经检验满足条件，
所以，所以，
所以定义域为.
①当在区间上存在，满足时，
则，即.
令，则，当且仅当时取等号.
又，所以，即，
所以，
所以
②当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递减，所以.
③当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递增，所以.
综上所述，实数m的取值范围为.