2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
【分析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= x2 D．y=
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2
= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，根据垂直的定义及同角的余角相等，就可证得∠BAC=∠DAE，再利用AAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质，易证BC=DE，AC=AE，设BC=a，用含a的代数式分别表示出DE、DF、CF，利用勾股定理求出a，然后根据y=S四边形ABCD=S梯形ACDE，就可得出y与x的函数解析式。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】观察函数图象可知：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，图象经过（2，-2），因此设函数解析式为y=ax2，利用待定系数法就可求出结果。
4．（2016九上·临洮期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2
【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．
5．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（2））某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后产品是：20（1+x），
∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．
故选：C．
【分析】根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故答案为：D．
【分析】由两年后的利润y=两年前的利润×（1+增长率）2，代入相关数据，就可得出y与x的函数解析式。
7．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y=x2 B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x D．y=2（12﹣x）
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y=（12﹣x） x．
故答案为：C
【分析】由题意可得长方形的另一边长为12﹣x，所以根据长方形的面积y=长宽即可求解。
8．（2016九上·杭锦后旗期中）一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二年后的价格是为：
60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．
故选A．
【分析】原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），两年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 ．
【答案】y=4x2+160x+1500
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： ．
【答案】y=﹣x2+25x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，
则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故答案为y=﹣x2+25x．
【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
【答案】100（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
【分析】根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ．
【答案】S=8x﹣x2
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，
∴另一边长为8﹣x，
∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．
故答案为：S=8x﹣x2．
【分析】首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．
13．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（2））某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
【答案】a（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×（1+x），
∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．
故填空答案：a（1+x）2
【分析】利用二次函数增长率公式a(1+x)n，a表示原有的量。x为增长率，n为增长的次数
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，
故答案为：y=﹣x2+12x（0＜x＜24）．
【分析】根据题意可得y=（24﹣x）x（0＜x＜24），继而可得出y与x之间的函数关系式．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解：依题意，
得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，
是二次函数，二次项系数为a、一次项系数为2a，常数项为a．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】两年后的利润y=原来的生产利润×（1+增长率）2，就可得出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为一般形式，然后写出二次项系数、一次项系数和常数项 。
16．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
【答案】（1）解：y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
=240x2+180x+45
（2）解：由题意可列方程为
240x2+180x+45=195，
整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意镜子的宽度是x米，则镜子的长度是2x米，那么边框的价格共需（2x+2x+x+x）×30元，镜面玻璃共需2x2×120元，所以制作这面镜子的总费用y=边框的总价+镜面玻璃的总价；
（2）由题意将y=195代入（1）中的解析式即可求解。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
【答案】解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，
∴二月份的利润是100（1+x），
∴三月份的利润是100（1+x）2，
因此y=100（1+x）2．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】由题意可知：三月份的利润y=一月份的利润×（1+x增长率）2，列出y与x的函数解析式。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
【答案】解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 该公园每天的门票收入y=门票的单价×每天进园的人数，列出函数解析式即可。
19．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：如图，作△ABC的高AD．在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD= AB= x，∴S=△ABC的面积= BC AD= （12﹣x） x=﹣ x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣ x2+3x（x＞0）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】作△ABC的高AD．由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB=x，S=△ABC的面积= BC AD，将AD和BC的值代入整理即可求解。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC﹣BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB= =10．
又∵D为AB的中点，
∴CD= AB=5，
∵sinB= = ，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得： AC BC= AB CE，
6×8=10CE，
解得：CE= ，
过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB= ，
∴PK=PB sinB，
∴S△PBQ= BQ×PK= BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC BC﹣ AP CE﹣ BQ BPsinB，
= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3t×（10﹣2t）× ，
= t2﹣ t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC BC﹣ AP CE﹣ BQ BPsinB，
= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× ，
=﹣ t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S= CQ PCsin∠BCD= ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴PH=8﹣1.6t，
∴S= CQ PH= CQ PH= ×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）
= t2﹣ t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S= t2﹣ t+24（0＜t≤1）
或S=﹣ t+12（1＜t≤2.5），
或S=﹣ t+12（2.5＜t≤3），
或S= t2﹣ t+48（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，
当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= ，
∴ ，
∴t=2.5，
当P在DC上时，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，
= ，
= ，或 = ，
t= ，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t= ，t=2.5，符合题意，
∴当t=2.5秒或 秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒， 秒．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分段函数；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得出AC+BC=14，再由AC-BC=2，建立方程组，求出AC、BC的值，就可求出a的值。
（2） ① 利用勾股定理求出AB，根据中点的定义求出CD， 过C作CE⊥AB于E，再利用三角形的面积公式求出CE， 过P作PK⊥BQ于K，利用锐角三角形函数的定义表示出PK，从而可得出S△PBQ= BQ BPsinB，分情况讨论： （I）当0＜t≤1时；（II）当1＜t≤2.5时；（III）当2.5＜t≤3时；（IIII）当3＜t＜4时，分别利用三角形的面积公式及相似三角形的判定和性质，就可求出S与t之间的函数关系式； ②根据题意可知，在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，分两种情况讨论： 当P在AD上时；若∠PQC=90°当P在DC上时，若∠PQC=90°，分别利用锐角三角形函数的定义，建立关于t的方程，就可求出t的值。
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（ ﹣x）m，
故x（ ﹣x）=60，
则L= +2x，（0＜x＜ ）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据长方形的周长表示出长方形的另一边，再利用长方形的面积=长×宽，就可得出L与x的函数解析式，然后求出x的取值范围。
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
【答案】解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可知：每天销售该商品获利金额y=每一件的利润×销售量，因此先根据题意求出销售量及每一件的利润，再列出y与x的函数关系式。
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一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= x2 D．y=
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
4．（2016九上·临洮期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2
5．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（2））某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2
7．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y=x2 B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x D．y=2（12﹣x）
8．（2016九上·杭锦后旗期中）一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： ．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ．
13．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（2））某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
16．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
19．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（1））已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
【分析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
2．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2
= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，根据垂直的定义及同角的余角相等，就可证得∠BAC=∠DAE，再利用AAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质，易证BC=DE，AC=AE，设BC=a，用含a的代数式分别表示出DE、DF、CF，利用勾股定理求出a，然后根据y=S四边形ABCD=S梯形ACDE，就可得出y与x的函数解析式。
3．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】观察函数图象可知：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，图象经过（2，-2），因此设函数解析式为y=ax2，利用待定系数法就可求出结果。
4．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．
5．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后产品是：20（1+x），
∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．
故选：C．
【分析】根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．
6．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故答案为：D．
【分析】由两年后的利润y=两年前的利润×（1+增长率）2，代入相关数据，就可得出y与x的函数解析式。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y=（12﹣x） x．
故答案为：C
【分析】由题意可得长方形的另一边长为12﹣x，所以根据长方形的面积y=长宽即可求解。
8．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二年后的价格是为：
60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．
故选A．
【分析】原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），两年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．
9．【答案】y=4x2+160x+1500
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
10．【答案】y=﹣x2+25x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，
则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故答案为y=﹣x2+25x．
【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
11．【答案】100（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
【分析】根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
12．【答案】S=8x﹣x2
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，
∴另一边长为8﹣x，
∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．
故答案为：S=8x﹣x2．
【分析】首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．
13．【答案】a（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×（1+x），
∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．
故填空答案：a（1+x）2
【分析】利用二次函数增长率公式a(1+x)n，a表示原有的量。x为增长率，n为增长的次数
14．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，
故答案为：y=﹣x2+12x（0＜x＜24）．
【分析】根据题意可得y=（24﹣x）x（0＜x＜24），继而可得出y与x之间的函数关系式．
15．【答案】解：依题意，
得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，
是二次函数，二次项系数为a、一次项系数为2a，常数项为a．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】两年后的利润y=原来的生产利润×（1+增长率）2，就可得出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为一般形式，然后写出二次项系数、一次项系数和常数项 。
16．【答案】（1）解：y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
=240x2+180x+45
（2）解：由题意可列方程为
240x2+180x+45=195，
整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意镜子的宽度是x米，则镜子的长度是2x米，那么边框的价格共需（2x+2x+x+x）×30元，镜面玻璃共需2x2×120元，所以制作这面镜子的总费用y=边框的总价+镜面玻璃的总价；
（2）由题意将y=195代入（1）中的解析式即可求解。
17．【答案】解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，
∴二月份的利润是100（1+x），
∴三月份的利润是100（1+x）2，
因此y=100（1+x）2．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】由题意可知：三月份的利润y=一月份的利润×（1+x增长率）2，列出y与x的函数解析式。
18．【答案】解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 该公园每天的门票收入y=门票的单价×每天进园的人数，列出函数解析式即可。
19．【答案】解：如图，作△ABC的高AD．在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD= AB= x，∴S=△ABC的面积= BC AD= （12﹣x） x=﹣ x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣ x2+3x（x＞0）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】作△ABC的高AD．由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB=x，S=△ABC的面积= BC AD，将AD和BC的值代入整理即可求解。
20．【答案】（1）解：∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC﹣BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB= =10．
又∵D为AB的中点，
∴CD= AB=5，
∵sinB= = ，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得： AC BC= AB CE，
6×8=10CE，
解得：CE= ，
过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB= ，
∴PK=PB sinB，
∴S△PBQ= BQ×PK= BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC BC﹣ AP CE﹣ BQ BPsinB，
= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3t×（10﹣2t）× ，
= t2﹣ t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC BC﹣ AP CE﹣ BQ BPsinB，
= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× ，
=﹣ t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S= CQ PCsin∠BCD= ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴PH=8﹣1.6t，
∴S= CQ PH= CQ PH= ×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）
= t2﹣ t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S= t2﹣ t+24（0＜t≤1）
或S=﹣ t+12（1＜t≤2.5），
或S=﹣ t+12（2.5＜t≤3），
或S= t2﹣ t+48（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，
当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= ，
∴ ，
∴t=2.5，
当P在DC上时，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，
= ，
= ，或 = ，
t= ，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t= ，t=2.5，符合题意，
∴当t=2.5秒或 秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒， 秒．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分段函数；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得出AC+BC=14，再由AC-BC=2，建立方程组，求出AC、BC的值，就可求出a的值。
（2） ① 利用勾股定理求出AB，根据中点的定义求出CD， 过C作CE⊥AB于E，再利用三角形的面积公式求出CE， 过P作PK⊥BQ于K，利用锐角三角形函数的定义表示出PK，从而可得出S△PBQ= BQ BPsinB，分情况讨论： （I）当0＜t≤1时；（II）当1＜t≤2.5时；（III）当2.5＜t≤3时；（IIII）当3＜t＜4时，分别利用三角形的面积公式及相似三角形的判定和性质，就可求出S与t之间的函数关系式； ②根据题意可知，在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，分两种情况讨论： 当P在AD上时；若∠PQC=90°当P在DC上时，若∠PQC=90°，分别利用锐角三角形函数的定义，建立关于t的方程，就可求出t的值。
21．【答案】解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（ ﹣x）m，
故x（ ﹣x）=60，
则L= +2x，（0＜x＜ ）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据长方形的周长表示出长方形的另一边，再利用长方形的面积=长×宽，就可得出L与x的函数解析式，然后求出x的取值范围。
22．【答案】解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可知：每天销售该商品获利金额y=每一件的利润×销售量，因此先根据题意求出销售量及每一件的利润，再列出y与x的函数关系式。
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