2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣ ＞0，
∵a＞0，
∴b＜0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】观察抛物线位置：开口向下，可判断a的符号；抛物线与y轴交于负半轴，可判断c的符号，对称轴在y轴的右侧，可判断a、b异号，可判断b的符号，即可得出答案。
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；当抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，交于负半轴时，则c＜0，抛物线过原点，则c=0，；对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，对称轴在y轴的左侧时，a、b同号，对称轴为y轴时，则b=0，据此可得出正确的选项。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象的开口向上可得a开口向上，由x=﹣ ＞0，可得b＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，所以B不正确．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，就可对A作出判断；对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，可对B作出判断；抛物线交于y轴的负半轴，则c＜0，可对C作出判断；抛物线与x轴有两个交点，可对D作出判断。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（ ）
A．±1 B．0 C．1 D．﹣1
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（0，0）代入y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0，解得m1=1，m2=﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m=﹣1．
故答案为：D．
【分析】抛物线经过原点则c=0且a≠0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴a （﹣2）2=4，
∴a=1．
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，就可求出a的值。
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1
C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣1．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，就可得出平移后的函数解析式。
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，就可得出平移后的函数表达式。
二、填空题（共6小题）
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ．
【答案】（3，﹣3）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【分析】根据二次函数的对称性，可得出 抛物线一定经过另一点是点（5，﹣3）关于直线x=4的对称点，求出此点的坐标。
10．（2016九上·扬州期末）如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m= ．
【答案】﹣1
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1=0，
解得m=±1，
∵函数为二次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
所以，m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】根据二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，故m2﹣1=0，解方程求出m的值，再根据二次函数的定义知m﹣1≠0，最后取其公共部分即可。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a b．（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象，
∴a=x2+2x+m=4﹣4+m=m，b=x2+2x+m=9﹣6+m=3+m，
∴a＜b．
故答案为＜．
【分析】利用二次函数的增减性，可知点（﹣2，a），（﹣3，b）在对称轴直线x=-1的左侧，即可得出a、b的大小关系。
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是 ．
【答案】﹣5或3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：y=8时，x2+2x﹣7=8，
整理得，x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5，x2=3，
所以，对应的自变量x的值是﹣5或3．
故答案为：﹣5或3．
【分析】将y=8代入函数解析式，再解一元二次方程求出x的值。
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．
【答案】y=（x+2）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x2+2顶点坐标为（0，2），
∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得新抛物线的表达式为y=（x+2）2+2．
故答案为：y=（x+2）2+2．
【分析】利用二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为 ．
【答案】y=3（x﹣2）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线解析式为y=3x2，顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x﹣2）2+2．
故答案为：y=3（x﹣2）2+2．
【分析】根据平移前后的两函数的a的值相等，由平移后的顶点坐标为（2，2）及a=3，就可得出平移后的函数解析式。
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
【答案】（1）解：把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得 a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1
（2）解：由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM= BM yP= × ×1= ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出a值，即可得出结果。
（2）利用平移后的函数解析式求出点M的坐标，再求出平移前的函数解析式，就可求出顶点P的坐标，然后求出点B的坐标及MB的长，再利用三角形的面积公式可求解。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．
（2）解：y=﹣2x2﹣3x
=y=﹣2（x+ ）2+ ，
抛物线的顶点坐标为（）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，建立三元一次方程组，求出方程组的解，就可得出函数解析式。
（2）将函数解析式通过配方转化为顶点式，就可得出此抛物线的顶点坐标。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）解：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：
a=﹣ ，b= ；
所以这个二次函数的解析式为：y=﹣ x2+ x+5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，可得出OA、OB及AB的长，再根据OC=AB，就可得出点C的坐标。
（2）将点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，建立方程组，求出a、b、c的值，就可得出函数解析式。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标是（8，9），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2+9，
把（0，1），代入得1=64a+9，解得a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣8）2+9．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】已知顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式： y=a（x﹣8）2+9，再将点（0,1）代入计算，可求出a的值，再写出函数解析式。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）解：∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC= ×1×6=3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式求出b的值，就可得出抛物线的表达式。
（2）利用函数解析式求出点A、B、C的坐标，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
【答案】解：设二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为y=2（x﹣2）2﹣2=2x2﹣8x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，﹣2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣ ， ）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= = =2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、c的方程组，求出方程组的解，就可得出抛物线的函数解析式。
（2）先将函数解析式转化为顶点式或代入顶点，得出点D的坐标，再根据对称轴与x轴交于点E，就可得出DE、OE的长，由点B的坐标得出OB、BE的长，然后在Rt△BED中，根据勾股定理求出BD的长。
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，
∴ ，
解之得：a=﹣1，b=3，
∴y=﹣x2+3x+4；
（2）解：∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得
m+1=﹣m2+3m+4，
∴m=3或m=﹣1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A、B的坐标，就可求出函数解析式。
（2）将点D的坐标代入函数解析式，求出m的值，再根据点D在第一象限，可得出符合题意的m的值，从而可得出点D的坐标，再证明△OBC是等腰直角三角形，得出∠CBA的度数， 设点D关于直线BC的对称点为点E，然后求出OE的长，就可得出点E的坐标。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（ ）
A．±1 B．0 C．1 D．﹣1
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1
C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
二、填空题（共6小题）
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ．
10．（2016九上·扬州期末）如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m= ．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a b．（填“＞”“＜”或“=”）．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是 ．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.3求二次函数关系式 同步练习）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣ ＞0，
∵a＞0，
∴b＜0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】观察抛物线位置：开口向下，可判断a的符号；抛物线与y轴交于负半轴，可判断c的符号，对称轴在y轴的右侧，可判断a、b异号，可判断b的符号，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；当抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，交于负半轴时，则c＜0，抛物线过原点，则c=0，；对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，对称轴在y轴的左侧时，a、b同号，对称轴为y轴时，则b=0，据此可得出正确的选项。
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象的开口向上可得a开口向上，由x=﹣ ＞0，可得b＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，所以B不正确．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，就可对A作出判断；对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，可对B作出判断；抛物线交于y轴的负半轴，则c＜0，可对C作出判断；抛物线与x轴有两个交点，可对D作出判断。
5．【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（0，0）代入y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0，解得m1=1，m2=﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m=﹣1．
故答案为：D．
【分析】抛物线经过原点则c=0且a≠0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴a （﹣2）2=4，
∴a=1．
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，就可求出a的值。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣1．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，就可得出平移后的函数解析式。
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，就可得出平移后的函数表达式。
9．【答案】（3，﹣3）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【分析】根据二次函数的对称性，可得出 抛物线一定经过另一点是点（5，﹣3）关于直线x=4的对称点，求出此点的坐标。
10．【答案】﹣1
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1=0，
解得m=±1，
∵函数为二次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
所以，m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】根据二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，故m2﹣1=0，解方程求出m的值，再根据二次函数的定义知m﹣1≠0，最后取其公共部分即可。
11．【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象，
∴a=x2+2x+m=4﹣4+m=m，b=x2+2x+m=9﹣6+m=3+m，
∴a＜b．
故答案为＜．
【分析】利用二次函数的增减性，可知点（﹣2，a），（﹣3，b）在对称轴直线x=-1的左侧，即可得出a、b的大小关系。
12．【答案】﹣5或3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：y=8时，x2+2x﹣7=8，
整理得，x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5，x2=3，
所以，对应的自变量x的值是﹣5或3．
故答案为：﹣5或3．
【分析】将y=8代入函数解析式，再解一元二次方程求出x的值。
13．【答案】y=（x+2）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x2+2顶点坐标为（0，2），
∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得新抛物线的表达式为y=（x+2）2+2．
故答案为：y=（x+2）2+2．
【分析】利用二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
14．【答案】y=3（x﹣2）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线解析式为y=3x2，顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x﹣2）2+2．
故答案为：y=3（x﹣2）2+2．
【分析】根据平移前后的两函数的a的值相等，由平移后的顶点坐标为（2，2）及a=3，就可得出平移后的函数解析式。
15．【答案】（1）解：把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得 a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1
（2）解：由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM= BM yP= × ×1= ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出a值，即可得出结果。
（2）利用平移后的函数解析式求出点M的坐标，再求出平移前的函数解析式，就可求出顶点P的坐标，然后求出点B的坐标及MB的长，再利用三角形的面积公式可求解。
16．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．
（2）解：y=﹣2x2﹣3x
=y=﹣2（x+ ）2+ ，
抛物线的顶点坐标为（）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，建立三元一次方程组，求出方程组的解，就可得出函数解析式。
（2）将函数解析式通过配方转化为顶点式，就可得出此抛物线的顶点坐标。
17．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）解：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：
a=﹣ ，b= ；
所以这个二次函数的解析式为：y=﹣ x2+ x+5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，可得出OA、OB及AB的长，再根据OC=AB，就可得出点C的坐标。
（2）将点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，建立方程组，求出a、b、c的值，就可得出函数解析式。
18．【答案】解：∵抛物线的顶点坐标是（8，9），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2+9，
把（0，1），代入得1=64a+9，解得a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣8）2+9．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】已知顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式： y=a（x﹣8）2+9，再将点（0,1）代入计算，可求出a的值，再写出函数解析式。
19．【答案】（1）解：把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）解：∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC= ×1×6=3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式求出b的值，就可得出抛物线的表达式。
（2）利用函数解析式求出点A、B、C的坐标，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。
20．【答案】解：设二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为y=2（x﹣2）2﹣2=2x2﹣8x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，﹣2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可．
21．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣ ， ）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= = =2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、c的方程组，求出方程组的解，就可得出抛物线的函数解析式。
（2）先将函数解析式转化为顶点式或代入顶点，得出点D的坐标，再根据对称轴与x轴交于点E，就可得出DE、OE的长，由点B的坐标得出OB、BE的长，然后在Rt△BED中，根据勾股定理求出BD的长。
22．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，
∴ ，
解之得：a=﹣1，b=3，
∴y=﹣x2+3x+4；
（2）解：∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得
m+1=﹣m2+3m+4，
∴m=3或m=﹣1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点A、B的坐标，就可求出函数解析式。
（2）将点D的坐标代入函数解析式，求出m的值，再根据点D在第一象限，可得出符合题意的m的值，从而可得出点D的坐标，再证明△OBC是等腰直角三角形，得出∠CBA的度数， 设点D关于直线BC的对称点为点E，然后求出OE的长，就可得出点E的坐标。
1 / 1
