2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=8x2+1 B． y=8x+1 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、符合二次函数的一般形式，是二次函数，符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、自变量x在分母中，不是二次函数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫二次函数，根据这个定义依次做出判断即可。
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数 同步训练）二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=2x（x﹣3）
=2x2﹣6x．
所以二次项系数与一次项系数的和=2+（﹣6）=﹣4．
故答案为：D
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后直接得出二次项系数与一次项系数，再根据有理数加法法则算出答案。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如果y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据二次函数的定义，a﹣1≠0，即a≠1．
故选B．
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）若函数 是二次函数，则m的值一定是（ ）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵此函数是二次函数，
∴ ，
解得m=0．
故答案为：B．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫二次函数，根据这个定义可得从中求出符合条件的m的值即可。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B． y= C． y= D．y=
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B． y=2x2
C． y=﹣ x2 D．y= x2
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，根据题意求出抛物线的图形上一个点的坐标，然后代入解析式即可求出。
7．（2016九上·临洮期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
【分析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
10．（北师大版数学九年级下册第二章第四节《二次函数的应用》同步练习）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（ ）
A．y=(60+2x)(40+2x) B．y=(60+x)(40+x)
C．y=(60+2x)(40+x) D．y=(60+x)(40+2x)
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y=(60+2x)(40+2x)．
故选A．
【分析】挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．
二、填空题（共6小题）
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣ x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】2π
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s= =2π．
【分析】根据二次函数的性质可得 C1 、 C2 的图像关于x轴对称，利用对称性可得阴影部分的面积=半圆的面积，求出半圆的面积即可得出阴影部分的面积。
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
【答案】x＜﹣2或x＞8
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2或x＞8．
【分析】根据图象可知，y1的图像在y2的图象上方的自变量的x的取值范围即为所求。
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是 ．
【答案】（1，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，根据对称性，
图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），
所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．
【分析】由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，根据对称性及图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），即可求出另一个交点。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．
【答案】x2+1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．
故答案为：x2+1（答案不唯一）．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,由抛物线的开口向上可知a>0， 与y轴交于点（0，1）可知c=1，只要写出的解析式中a>0，c=1即可。
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
【答案】18
【知识点】等边三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，
∴AB=2×3=6，
∴等边△ABC的周长=3×6=18．
故答案为：18．
【分析】抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，由AB∥x轴即抛物线的对称性可求出AB的长，然后根据等边三角形三边相等即可求出等边△ABC的周长。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=
【答案】y= x﹣1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），
设x=2a①，y=a﹣1②，
① ﹣②×2，消去a得，x﹣2y=2，
即y= x﹣1．
【分析】由已知抛物线顶点式，可知顶点坐标为（2a，a﹣1），设x=2a，y=a﹣1，消去a得出即可这条直线的解析式 。
三、解答题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2=a（1﹣3）2+2，
解得a=﹣1；
（2）解：∵函数y=﹣（x﹣3）2+2的对称轴为x=3，
∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，
∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∵m＜n＜3，
∴y1＜y2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）可求a的值。（2）由 a=﹣1可知抛物线开口向下，又函数y=﹣（x﹣3）2+2的对称轴为x=3，根据对称轴左侧y随x的增大而增大即可比较 y1与y2的大小。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．
（1）平移的规律是：先向 （填“左”或“右”）平移 个单位，再向 平移 个单位．
（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．
【答案】（1）右；2；上；4
（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．
【分析】（1）先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据平移规律解答即可。（2）画抛物线应找出顶点、与x、y轴的交点等关键点来画。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）解：对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形OCDB= =6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；直角梯形；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求出a的值，即可得出抛物线的解析式。（2） 令x=0，得出y=3，即求出OC=3，根据抛物线的对称轴求出CD的长，由点A的坐标及对称轴求出B点的坐标，进而求出OB的长，然后利用梯形的面积计算公式求出结果即可。
20．（2013·梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），
∴y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过点A（0，1），
∴a（0﹣1）2+2=1，
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；
（2）解：∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图，直线l的解析式为y=x，
解方程组 ，
得 ， （不合题意舍去），
∴点P的坐标为（ ， ）；
（3）解：点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知，点C的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．
解方程组 ，
代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，
∵此点与AC距离最远，
∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，
即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．
整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，
△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m= ．
则x2﹣3x+ ﹣1=0，解之得x1=x2= ，此时y= ．
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（ ， ）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=8x2+1 B． y=8x+1 C． D．
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数 同步训练）二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如果y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．无法确定
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）若函数 是二次函数，则m的值一定是（ ）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B． y= C． y= D．y=
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B． y=2x2
C． y=﹣ x2 D．y= x2
7．（2016九上·临洮期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.2根据实际问列二次函数关系式 同步练习）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1
10．（北师大版数学九年级下册第二章第四节《二次函数的应用》同步练习）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（ ）
A．y=(60+2x)(40+2x) B．y=(60+x)(40+x)
C．y=(60+2x)(40+x) D．y=(60+x)(40+2x)
二、填空题（共6小题）
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣ x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是 ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ．
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=
三、解答题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）已知抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．
（1）平移的规律是：先向 （填“左”或“右”）平移 个单位，再向 平移 个单位．
（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
20．（2013·梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、符合二次函数的一般形式，是二次函数，符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、自变量x在分母中，不是二次函数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫二次函数，根据这个定义依次做出判断即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=2x（x﹣3）
=2x2﹣6x．
所以二次项系数与一次项系数的和=2+（﹣6）=﹣4．
故答案为：D
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后直接得出二次项系数与一次项系数，再根据有理数加法法则算出答案。
3．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据二次函数的定义，a﹣1≠0，即a≠1．
故选B．
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．
4．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵此函数是二次函数，
∴ ，
解得m=0．
故答案为：B．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫二次函数，根据这个定义可得从中求出符合条件的m的值即可。
5．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
6．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，根据题意求出抛物线的图形上一个点的坐标，然后代入解析式即可求出。
7．【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．
8．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
【分析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
10．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y=(60+2x)(40+2x)．
故选A．
【分析】挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．
11．【答案】2π
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s= =2π．
【分析】根据二次函数的性质可得 C1 、 C2 的图像关于x轴对称，利用对称性可得阴影部分的面积=半圆的面积，求出半圆的面积即可得出阴影部分的面积。
12．【答案】x＜﹣2或x＞8
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2或x＞8．
【分析】根据图象可知，y1的图像在y2的图象上方的自变量的x的取值范围即为所求。
13．【答案】（1，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，根据对称性，
图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），
所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．
【分析】由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，根据对称性及图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），即可求出另一个交点。
14．【答案】x2+1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．
故答案为：x2+1（答案不唯一）．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,由抛物线的开口向上可知a>0， 与y轴交于点（0，1）可知c=1，只要写出的解析式中a>0，c=1即可。
15．【答案】18
【知识点】等边三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，
∴AB=2×3=6，
∴等边△ABC的周长=3×6=18．
故答案为：18．
【分析】抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，由AB∥x轴即抛物线的对称性可求出AB的长，然后根据等边三角形三边相等即可求出等边△ABC的周长。
16．【答案】y= x﹣1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），
设x=2a①，y=a﹣1②，
① ﹣②×2，消去a得，x﹣2y=2，
即y= x﹣1．
【分析】由已知抛物线顶点式，可知顶点坐标为（2a，a﹣1），设x=2a，y=a﹣1，消去a得出即可这条直线的解析式 。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2=a（1﹣3）2+2，
解得a=﹣1；
（2）解：∵函数y=﹣（x﹣3）2+2的对称轴为x=3，
∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，
∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∵m＜n＜3，
∴y1＜y2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）可求a的值。（2）由 a=﹣1可知抛物线开口向下，又函数y=﹣（x﹣3）2+2的对称轴为x=3，根据对称轴左侧y随x的增大而增大即可比较 y1与y2的大小。
18．【答案】（1）右；2；上；4
（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．
【分析】（1）先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据平移规律解答即可。（2）画抛物线应找出顶点、与x、y轴的交点等关键点来画。
19．【答案】（1）解：将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）解：对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形OCDB= =6．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；直角梯形；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求出a的值，即可得出抛物线的解析式。（2） 令x=0，得出y=3，即求出OC=3，根据抛物线的对称轴求出CD的长，由点A的坐标及对称轴求出B点的坐标，进而求出OB的长，然后利用梯形的面积计算公式求出结果即可。
20．【答案】（1）解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），
∴y=a（x﹣1）2+2，
∵抛物线经过点A（0，1），
∴a（0﹣1）2+2=1，
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；
（2）解：∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图，直线l的解析式为y=x，
解方程组 ，
得 ， （不合题意舍去），
∴点P的坐标为（ ， ）；
（3）解：点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知，点C的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．
解方程组 ，
代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，
∵此点与AC距离最远，
∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，
即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．
整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，
△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m= ．
则x2﹣3x+ ﹣1=0，解之得x1=x2= ，此时y= ．
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（ ， ）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
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