2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D． 米
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·马边模拟）当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60°
C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2018·重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（ +1） B．20（ ﹣1）
C．200 D．300
二、填空题
13．（2018·滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB= ．
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
16．（2017九上·宁波期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1： （i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）为给人们的生活带来方便，新乡市人民政府于2017年8月17日召开第73次常务会议，研究通过了《新乡市人民政府关于发展互联网租赁自行车的意见》，共享单车的租赁在我市正方兴未艾．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7．）
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=120m，山坡坡度i=1：2，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度．（测角仪高度忽略不计，结果保留根号形式）
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， ≈1.4）
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）
25．（2017·东丽模拟）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为 = =3，
故答案为：A．
【分析】由锐角三角函数可得∠A的正切值=，将BC和AC的值代入计算即可求解。
2．【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： 观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2 ，AD=2，CD=1，AC= ，
A、∴sinα=cosα= ，故A不符合题意，
B、tanC= =2，故B不符合题意，
D、tanα=1，故D不符合题意，
C、∵sinβ= = ，cosβ= ，
∴sinβ≠cosβ，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】观图图象可知△ADB是等腰直角三角形，从而可得BD、AD、AB、AD、CD，再利用锐角三角函数一一计算即可。
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 如图，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= =2+ ．
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将AB和BC用含AC的代数式表示，因为AB=BD，所以CD也可用含AC的代数式表示，在直角三角形ACD中，tan∠DAC=可求解。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB sinα=300sinα米．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中，根据sinα=即可求解。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，AB= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故答案为：B．
【分析】由图知，sinα=，则AB=；在Rt△ACD中，sinβ= ，则AD= ，所以AB：AD可求解。
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°=，cos30°=，
∴30°＜∠A＜60°．
故选B．
【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴ = ，即 = ，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF= =4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为 = =3，
故答案为：B．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ACF，于是可得比例式求得CF的值；Rt△ACF中，用勾股定理可求得AF的值，所以石坝的坡度=，代入计算即可求解。
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα= ，
∴AB= = ．
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，根据tanα= 可求解。
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，由网格的特征用勾股定理可求得AB=BC和AC的长，再根据勾股定理的逆定理可证得△ABC为等腰直角三角形，由锐角三角函数值可求得tan∠BAC的值。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵ = = ，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°= ，
∴0.45= ，
∴AB=21.7（米），
故答案为：A．
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，根据坡度的定义得出，设CN=4k，DN=3k，根据勾股定理建立方程，求解得出k的值，从而得出CN，DN的长，由题意知四边形BMNC是矩形，根据矩形的性质得出BM=CN=8，BC=MN=20，故EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，根据正切函数的定义，由tan24°=，即可求出AB的长。
11．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE= = ，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC= = =20 m，
∴AB=BC sin60°=20 × =30m．
故答案为：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF=DC=20，所以AB=20+10=30，
故答案为：B．
【分析】在Rt△CDE中，sin∠DCE=，由特殊角的三角函数值可得∠DCE的度数，结合已知条件易证∠ABC=30°，∠DCB=90°．在直角三角形BDC中，由锐角三角函数可得BC= ，则AB=BC sin60°可求解。
12．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解： 作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD tan∠ABD=200
（米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200
（米）．
则平均速度是
=20（
+1）米/秒．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，根据tan∠ABD=
可求得AD的值，同理可得同理，CD=BD，所以AC=AD+AD，则 这时段动车的平均速度=AC
10可求解。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA= ，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x，
则sinB= .
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义由tanA= ，设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
14．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： 方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴ ，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，
∴ =2，
∴ ，
∴ ，
∵NL=LM，
∴ ，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】平移CD到C′D′交AB于O′，作BE⊥O′D′于点E，由平移的性质可得tan∠BOD=tan∠BO′D′，根据锐角三角函数即可求解。
15．【答案】6.2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
【分析】在Rt△ABC中，根据sin∠BAC=即可求解。
16．【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1： =tanC， ∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD的坡长为12米，
故答案为：12.
【分析】根据题意得到四边形AEFD是矩形，得到对边相等，根据三角函数求出DF的长，根据坡度求出背水坡CD的坡长.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= = ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在等腰直角三角形ABD中，AB=AD；在Rt△ADC中，根据tan∠CDA=tan30°= 计算即可求解。
18．【答案】1200（ ﹣1）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 由于CD∥HB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=
∴HB= =
= =1200 （米）．
∴AB=HB﹣HA
=1200 ﹣1200
=1200（ ﹣1）米
故答案为：1200（ ﹣1）
【分析】在等腰Rt△ACH中，AH=CH；在Rt△HCB，根据tan∠B= 可求得BH的值，则AB=HB﹣HA可求解。
19．【答案】解： 作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB sin45°= × = ，
在Rt△ACD中，AD= ，AC= ，
∴CD= =2 ，
∴BC=BD+CD=3 ，
∴S△ABC= BC AD= ×3 × = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由题意，
作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD 是等腰直角三角形，所以根据
sin45°=可求得BD=AD的值，
在Rt△ACD中 ，用勾股定理可求得CD的值，所以BC=BD+CD，
S△ABC= BC AD 可求解。
20．【答案】（1）解： 在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD= = =18cm
（2）解： 过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）
在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得AD的长；
（2）
过点E作EH⊥AB，垂足为H，由已知可得AE=AD+DC+CE；在直角三角形AEH中，根据sin75°=可求解。
21．【答案】（1）解： 如图，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∴2AD2=AB2=（4 ）2，
解得，AD=4．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米
（2）解： 货物MNQP不用挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD=AD=4．
在Rt△ACD中，CD= =4 （m）．
∴CB=CD﹣BD=4 ﹣4≈2.8（m）．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.8=2.2＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）
在等腰Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD的值；在Rt△ACD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AD ；
（2） 在Rt△ACD中，用勾股定理可求得CD 的长；由图可得 CB=CD﹣BD ；则 PC=PB﹣CB ；将求得的PC的值与 2米 比较大小即可判断 货物MNQP不用挪走 。
22．【答案】解： 作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，OA=120m，∠CAO=60°，
∴CO=AO tan60°=120 （米）．
设PE=x米，
∵tan∠PAB= = ，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=120 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴120+2x=120 ﹣x，
解得x=40 ﹣40（米）．
答：电视塔OC高为120 米，点P的铅直高度为（40 ﹣40）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】
作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，由图可得，在Rt△AOC中，根据tan60°=可求得CO的值；
在Rt△PCF中， 根据PF=CF可得关于PE的方程，解方程即可求解。
23．【答案】解： 如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5﹣2.5=8（m），
∴AH=BH=8（m），
在Rt△AHC中，tan65°= ，
∴CH=8×2.1≈17（m），
∴BC=CH﹣BH=17﹣8=9（m）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
作AH⊥CN于H．在等腰Rt△ABH中，AH=BH=8，在Rt△AHC中，根据tan65°=，可求得CH的值，则BC=CH﹣BH可求解。
24．【答案】（1）解： 过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150× =75（海里）．
答：B点到直线CA的距离是75海里
（2）解： ∵BD=75 海里，BH=75海里，
∴DH= =75（海里），
∵∠BAH=180°﹣∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH= = ，
∴AH=25 ，
∴AD=DH﹣AH=（75﹣25 ）（海里）．
答：执法船从A到D航行了（75﹣25 ）海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）
过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H， 由题意易求得
∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°， 所以由锐角三角函数
sin∠BCA =
可求解；
（2）在直角三角形BDH中，用勾股定理可求得 DH 的值； 在Rt△ABH中，根据tan∠BAH= 可求得AH的值， 所以 AD=DH﹣AH可求解。
25．【答案】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB cos60°= AB=6，AD=AB sin60°=6 ，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，解得： （不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，添加辅助线过点A作AD⊥CB的延长线于点D，易求得∠ABC的度数，在Rt△ABD中，由解直角三角形求出BD，AD的长度，表示出CD的长，在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程求解即可。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为 = =3，
故答案为：A．
【分析】由锐角三角函数可得∠A的正切值=，将BC和AC的值代入计算即可求解。
2．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【答案】C
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： 观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2 ，AD=2，CD=1，AC= ，
A、∴sinα=cosα= ，故A不符合题意，
B、tanC= =2，故B不符合题意，
D、tanα=1，故D不符合题意，
C、∵sinβ= = ，cosβ= ，
∴sinβ≠cosβ，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】观图图象可知△ADB是等腰直角三角形，从而可得BD、AD、AB、AD、CD，再利用锐角三角函数一一计算即可。
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 如图，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= =2+ ．
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将AB和BC用含AC的代数式表示，因为AB=BD，所以CD也可用含AC的代数式表示，在直角三角形ACD中，tan∠DAC=可求解。
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB sinα=300sinα米．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中，根据sinα=即可求解。
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，AB= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故答案为：B．
【分析】由图知，sinα=，则AB=；在Rt△ACD中，sinβ= ，则AD= ，所以AB：AD可求解。
6．（2018·马边模拟）当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60°
C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos60°=，cos30°=，
∴30°＜∠A＜60°．
故选B．
【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
7．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴ = ，即 = ，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF= =4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为 = =3，
故答案为：B．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ACF，于是可得比例式求得CF的值；Rt△ACF中，用勾股定理可求得AF的值，所以石坝的坡度=，代入计算即可求解。
8．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα= ，
∴AB= = ．
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABC中，根据tanα= 可求解。
9．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B．
【分析】连接BC，由网格的特征用勾股定理可求得AB=BC和AC的长，再根据勾股定理的逆定理可证得△ABC为等腰直角三角形，由锐角三角函数值可求得tan∠BAC的值。
10．（2018·重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵ = = ，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°= ，
∴0.45= ，
∴AB=21.7（米），
故答案为：A．
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，根据坡度的定义得出，设CN=4k，DN=3k，根据勾股定理建立方程，求解得出k的值，从而得出CN，DN的长，由题意知四边形BMNC是矩形，根据矩形的性质得出BM=CN=8，BC=MN=20，故EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，根据正切函数的定义，由tan24°=，即可求出AB的长。
11．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE= = ，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC= = =20 m，
∴AB=BC sin60°=20 × =30m．
故答案为：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF=DC=20，所以AB=20+10=30，
故答案为：B．
【分析】在Rt△CDE中，sin∠DCE=，由特殊角的三角函数值可得∠DCE的度数，结合已知条件易证∠ABC=30°，∠DCB=90°．在直角三角形BDC中，由锐角三角函数可得BC= ，则AB=BC sin60°可求解。
12．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（ +1） B．20（ ﹣1）
C．200 D．300
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解： 作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD tan∠ABD=200
（米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200
（米）．
则平均速度是
=20（
+1）米/秒．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，根据tan∠ABD=
可求得AD的值，同理可得同理，CD=BD，所以AC=AD+AD，则 这时段动车的平均速度=AC
10可求解。
二、填空题
13．（2018·滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA= ，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x，
则sinB= .
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义由tanA= ，设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
14．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： 方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴ ，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，
∴ =2，
∴ ，
∴ ，
∵NL=LM，
∴ ，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】平移CD到C′D′交AB于O′，作BE⊥O′D′于点E，由平移的性质可得tan∠BOD=tan∠BO′D′，根据锐角三角函数即可求解。
15．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
【答案】6.2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
【分析】在Rt△ABC中，根据sin∠BAC=即可求解。
16．（2017九上·宁波期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1： （i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1： =tanC， ∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD的坡长为12米，
故答案为：12.
【分析】根据题意得到四边形AEFD是矩形，得到对边相等，根据三角函数求出DF的长，根据坡度求出背水坡CD的坡长.
17．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= = ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在等腰直角三角形ABD中，AB=AD；在Rt△ADC中，根据tan∠CDA=tan30°= 计算即可求解。
18．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
【答案】1200（ ﹣1）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解： 由于CD∥HB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=
∴HB= =
= =1200 （米）．
∴AB=HB﹣HA
=1200 ﹣1200
=1200（ ﹣1）米
故答案为：1200（ ﹣1）
【分析】在等腰Rt△ACH中，AH=CH；在Rt△HCB，根据tan∠B= 可求得BH的值，则AB=HB﹣HA可求解。
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
【答案】解： 作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB sin45°= × = ，
在Rt△ACD中，AD= ，AC= ，
∴CD= =2 ，
∴BC=BD+CD=3 ，
∴S△ABC= BC AD= ×3 × = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由题意，
作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD 是等腰直角三角形，所以根据
sin45°=可求得BD=AD的值，
在Rt△ACD中 ，用勾股定理可求得CD的值，所以BC=BD+CD，
S△ABC= BC AD 可求解。
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）为给人们的生活带来方便，新乡市人民政府于2017年8月17日召开第73次常务会议，研究通过了《新乡市人民政府关于发展互联网租赁自行车的意见》，共享单车的租赁在我市正方兴未艾．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】（1）解： 在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD= = =18cm
（2）解： 过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）
在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得AD的长；
（2）
过点E作EH⊥AB，垂足为H，由已知可得AE=AD+DC+CE；在直角三角形AEH中，根据sin75°=可求解。
21．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7．）
【答案】（1）解： 如图，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∴2AD2=AB2=（4 ）2，
解得，AD=4．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米
（2）解： 货物MNQP不用挪走．
理由：在Rt△ABD中，BD=AD=4．
在Rt△ACD中，CD= =4 （m）．
∴CB=CD﹣BD=4 ﹣4≈2.8（m）．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.8=2.2＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）
在等腰Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD的值；在Rt△ACD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AD ；
（2） 在Rt△ACD中，用勾股定理可求得CD 的长；由图可得 CB=CD﹣BD ；则 PC=PB﹣CB ；将求得的PC的值与 2米 比较大小即可判断 货物MNQP不用挪走 。
22．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=120m，山坡坡度i=1：2，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度．（测角仪高度忽略不计，结果保留根号形式）
【答案】解： 作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，OA=120m，∠CAO=60°，
∴CO=AO tan60°=120 （米）．
设PE=x米，
∵tan∠PAB= = ，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=120 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴120+2x=120 ﹣x，
解得x=40 ﹣40（米）．
答：电视塔OC高为120 米，点P的铅直高度为（40 ﹣40）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】
作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，由图可得，在Rt△AOC中，根据tan60°=可求得CO的值；
在Rt△PCF中， 根据PF=CF可得关于PE的方程，解方程即可求解。
23．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4， ≈1.4）
【答案】解： 如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5﹣2.5=8（m），
∴AH=BH=8（m），
在Rt△AHC中，tan65°= ，
∴CH=8×2.1≈17（m），
∴BC=CH﹣BH=17﹣8=9（m）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
作AH⊥CN于H．在等腰Rt△ABH中，AH=BH=8，在Rt△AHC中，根据tan65°=，可求得CH的值，则BC=CH﹣BH可求解。
24．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．
（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）
【答案】（1）解： 过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150× =75（海里）．
答：B点到直线CA的距离是75海里
（2）解： ∵BD=75 海里，BH=75海里，
∴DH= =75（海里），
∵∠BAH=180°﹣∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH= = ，
∴AH=25 ，
∴AD=DH﹣AH=（75﹣25 ）（海里）．
答：执法船从A到D航行了（75﹣25 ）海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）
过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H， 由题意易求得
∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°， 所以由锐角三角函数
sin∠BCA =
可求解；
（2）在直角三角形BDH中，用勾股定理可求得 DH 的值； 在Rt△ABH中，根据tan∠BAH= 可求得AH的值， 所以 AD=DH﹣AH可求解。
25．（2017·东丽模拟）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【答案】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB cos60°= AB=6，AD=AB sin60°=6 ，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，解得： （不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，添加辅助线过点A作AD⊥CB的延长线于点D，易求得∠ABC的度数，在Rt△ABD中，由解直角三角形求出BD，AD的长度，表示出CD的长，在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程求解即可。
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