湘教版八年级数学上册 2.3.2等腰三角形的判定 同步练习
一、选择题
1．下列推理中，错误的是( )
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60 B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80 D．有两个角为100°、120°
5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
6．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
7．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6 cm，则CD的长等于 ．
8．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地C处.则B、C两地的距离为
9．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
三、解答题
10．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
11．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是12，则BC的长是多少？
12．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】 A正确；B重复且条件不足；C可以得到三个角都是60°，正确； D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到.故选B.
【分析】本题容易出错的是看到B选项中，既有边相等，又有角相等，就判断正确.此题不难，但是容易出错.
2．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵这个三角形是轴对称图形
∴一定有两个角相等
∴这是一个等腰三角形
∵有一个内角是60°
∴根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得
这是一个等边三角形
【分析】本题思路的关键是利用轴对称的性质，得到两个锐角相等，从而得到等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法得到结论.
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、△CEF、△AEB、△ADC，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺序计算等腰三角形的个数即可。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故答案为：C.
【分析】根据四个选项中，两个角的度数，可设其为底角，顶角，检验三角形的内角和是否为180°即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，
∴MB=MO，NC=NO，
∴MN=MO+NO=MB+NC．
∵AB=4，AC=6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．
故答案为：D.
【分析】因为OB为∠ABC的平分线，即可求得∠ABO=∠OBC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠MOB=∠OBC，即MO=MB，同理可以证明ON=NC。所以三角形AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC求得周长即可。
6．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3.
【分析】根据题意AB=AC，即可求得三角形ABC为等腰三角形；根据∠ABC=∠C，即可求得∠ABC=∠C=72°，因为BD为∠ABC的角平分线，即可得到∠ABD=∠DBC=36°，可求得三角形ABD为等腰三角形；在三角形BDC中，根据三角形内角和为180°，即可求得∠BDC=∠C，即三角形BDC为等腰三角形。
7．【答案】6cm
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】根据OC为∠AOB的角平分线，可得∠AOC=∠BOC；因为CD∥OB，由两直线平行，内错角相等，即可求得∠DCO=∠COB，即可证明∠DOC=∠DCO，即DO=DC，即可求得CD的长度。
8．【答案】200米
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，
所以∠C＝30°，
所以∠BAC＝∠C，
所以BC＝AB＝200.
故答案为：200米。
【分析】在三角形ABC中，根据题意，可求得∠A=30°，∠ABC=120°，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠C=30°，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=BC=200。
9．【答案】80°或50°或20°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°.
【分析】根据题意可得，三角形ABC为等腰三角形，所以共有以下几种情况：①当∠A为顶角时，可求得底角∠B=50°；②当∠B为顶角时，可求得顶角∠B=20°；③当∠A和∠B均为底角时，即可求得底角∠B=80°。
10．【答案】解：△BDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，
∴∠B=∠BED=∠BDE，
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】因为三角形ABC为等边三角形，即可得到∠A=∠C=60°；根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BED=∠BDE=60°，即可证明三角形BED为等边三角形。
11．【答案】解：∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD，
∵∠EAC=∠C，
∴AE=CE．
∵AD+DE+DE=12，
∴BC=BD+DE+EC=12
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】在三角形ABD中，根据∠BAD=∠B，即可得到BD=DA，同理可得，AE=EC。所以三角形ADE的周长=AD+DE+AE=BC，即可求出BC的长度。
12．【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∠C=∠CAD=70°
又∵∠BAC=70°，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=BC
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=180-∠BAC-∠C=180°-70°-70°=40°.
（2）解：延长线段DE怡好过点B，DE⊥AC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠PAB，∠DAE=∠C；在直角三角形ADE中，根据∠D的度数，即可求得∠DAE，根据平角等于180°，即可得到∠PAB，继而得出∠B。根据三角形的内角和为180°，即可得出三角形ABC的三个内角的度数，从而判断出形状。
（2）延长线段DE怡好过点B，则根据题目条件，可知BD⊥AC；因为△ABC为等腰三角形，BE⊥AC，所以根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD为∠B的平分线。
1 / 1湘教版八年级数学上册 2.3.2等腰三角形的判定 同步练习
一、选择题
1．下列推理中，错误的是( )
A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】 A正确；B重复且条件不足；C可以得到三个角都是60°，正确； D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到.故选B.
【分析】本题容易出错的是看到B选项中，既有边相等，又有角相等，就判断正确.此题不难，但是容易出错.
2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵这个三角形是轴对称图形
∴一定有两个角相等
∴这是一个等腰三角形
∵有一个内角是60°
∴根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得
这是一个等边三角形
【分析】本题思路的关键是利用轴对称的性质，得到两个锐角相等，从而得到等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法得到结论.
3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、△CEF、△AEB、△ADC，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺序计算等腰三角形的个数即可。
4．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60 B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80 D．有两个角为100°、120°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故答案为：C.
【分析】根据四个选项中，两个角的度数，可设其为底角，顶角，检验三角形的内角和是否为180°即可。
5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，
∴MB=MO，NC=NO，
∴MN=MO+NO=MB+NC．
∵AB=4，AC=6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．
故答案为：D.
【分析】因为OB为∠ABC的平分线，即可求得∠ABO=∠OBC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠MOB=∠OBC，即MO=MB，同理可以证明ON=NC。所以三角形AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC求得周长即可。
二、填空题
6．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3.
【分析】根据题意AB=AC，即可求得三角形ABC为等腰三角形；根据∠ABC=∠C，即可求得∠ABC=∠C=72°，因为BD为∠ABC的角平分线，即可得到∠ABD=∠DBC=36°，可求得三角形ABD为等腰三角形；在三角形BDC中，根据三角形内角和为180°，即可求得∠BDC=∠C，即三角形BDC为等腰三角形。
7．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6 cm，则CD的长等于 ．
【答案】6cm
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】根据OC为∠AOB的角平分线，可得∠AOC=∠BOC；因为CD∥OB，由两直线平行，内错角相等，即可求得∠DCO=∠COB，即可证明∠DOC=∠DCO，即DO=DC，即可求得CD的长度。
8．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地C处.则B、C两地的距离为
【答案】200米
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，
所以∠C＝30°，
所以∠BAC＝∠C，
所以BC＝AB＝200.
故答案为：200米。
【分析】在三角形ABC中，根据题意，可求得∠A=30°，∠ABC=120°，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠C=30°，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=BC=200。
9．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
【答案】80°或50°或20°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°.
【分析】根据题意可得，三角形ABC为等腰三角形，所以共有以下几种情况：①当∠A为顶角时，可求得底角∠B=50°；②当∠B为顶角时，可求得顶角∠B=20°；③当∠A和∠B均为底角时，即可求得底角∠B=80°。
三、解答题
10．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
【答案】解：△BDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，
∴∠B=∠BED=∠BDE，
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】因为三角形ABC为等边三角形，即可得到∠A=∠C=60°；根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BED=∠BDE=60°，即可证明三角形BED为等边三角形。
11．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是12，则BC的长是多少？
【答案】解：∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD，
∵∠EAC=∠C，
∴AE=CE．
∵AD+DE+DE=12，
∴BC=BD+DE+EC=12
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】在三角形ABD中，根据∠BAD=∠B，即可得到BD=DA，同理可得，AE=EC。所以三角形ADE的周长=AD+DE+AE=BC，即可求出BC的长度。
12．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∠C=∠CAD=70°
又∵∠BAC=70°，
∴∠BAC=∠C，
∴AB=BC
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=180-∠BAC-∠C=180°-70°-70°=40°.
（2）解：延长线段DE怡好过点B，DE⊥AC，BD⊥AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠PAB，∠DAE=∠C；在直角三角形ADE中，根据∠D的度数，即可求得∠DAE，根据平角等于180°，即可得到∠PAB，继而得出∠B。根据三角形的内角和为180°，即可得出三角形ABC的三个内角的度数，从而判断出形状。
（2）延长线段DE怡好过点B，则根据题目条件，可知BD⊥AC；因为△ABC为等腰三角形，BE⊥AC，所以根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD为∠B的平分线。
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