湘教版九年级数学上册 4.3 解直角三角形 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，
∴BC=AB cos∠B=5cos25°．
故答案为：C．
【分析】根据三角函数的余弦定义，可解出BC的长度。
2．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，则AB的长是（ ）
A．4 B．3+ C．5 D．2+2
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= AC= ，AD= CD=3，
在Rt△BCD中，tanB= ，
∴ ，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5．
故答案为：C．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得CD= AC，进一步得出AD的值。根据tanB= 求出BD的值，再根据AB=AD+BD求出AB的值。
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3 D．3
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= =2+ ，
故答案为：A．
【分析】根据三角形函数的正切值的定义，可解出数值。
4．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．则△ABC的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABD中，∵sinB= = ，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2﹣AD2，
∴BD= =2 ．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2 +1，
∴S△ABC= BC AD= ×（2 +1）×1= .
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理以及三角形的正弦值，可计算出三角形的面积。
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=3，
在Rt△ABC中，cosB= = ，
故答案为：A．
【分析】根据中线定理得出AB的值，再根据三角形的余弦定义可得出结果。
二、填空题
6．已知△ABC中，AB=5，sinB= ，AC=4，则BC= ．
【答案】4+ 或4﹣
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】有两种情况：
如图1：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=5，sinB= = ，
∴AD=3，
由勾股定理得：BD=4，
CD= = ，
∴BC=BD+CD=4+ ；
如图2：同理可得BD=4，CD= = ，
∴BC=BD﹣CD=4﹣ ．
综上所述，BC的长是4+ 或4﹣ ．
故答案为：4+ 或4﹣ ．
【分析】根据三角形的余弦值，然后分为两种情况解出BC的长度，
7．等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ．
【答案】 或 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB=CA时，
在Rt△CDB中，BC= = ，
∴AD=AC﹣CD= ﹣5，
∴tan∠ABD= = ．
②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB=CA时，
在Rt△CDB中，BC=AC= = ，
∴tan∠ABD= = ，
③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB=AC时，设AB=AC=x，
在Rt△ADB中，x2=32+（5﹣x）2，
∴x= ，
∴tan∠ABD= = ，
综上所述， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【分析】将三角形分为三种情况，可根据正切值的定义，解出三个结果。
8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D，
则AB= =4 ，BC= = ，
∵S△ABC= ×2×4= ×4 ×CD，
∴CD= ，
则BD= = =2
故tan∠ABC= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的勾股定理以及三角函数的正切定义，可解出三角函数的正切值。
9．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B=45°，∠CAD=∠CDA，CA：CB=5：7，则∠BAD的余弦值为 ．
【答案】 或
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC═CD=5k，BC=7k，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，∵AH2+HC2=AC2，
∴x2+（7k﹣x）2=（5k）2，
解得x=3k或4k，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，DH=k，AD= k，DE=BE= k，AE=2 k，
∴cos∠BAD= = = ，
当x=4k时，同法可得cos∠BAD= = = ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据三角形余弦的定义，可分为两种情况解出三角形的余弦值。
10．如图，在△ABC中，AB=AC，sinA= ，BC=2 ，则△ABC的面积为 ．
【答案】30
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D，
在Rt△ABD中，sinA=
设AB=AC=5x，BD=3x
根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x，
在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2，
解得，x=2(负值舍去)
所以BD=6，AB=AC=10
则S△ABC= AC·BD=30
故答案为：30.
【分析】根据余弦定理得出BD和AB的关系，再利用勾股定理求出BD和AC的值，进而根据三角形的面积公式解答即可。
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，AB=4，求BC的长．
【答案】解：过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∠C=30°，
所以∠DAC=60°，CD= AD，
所以∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=45°，
即△ABD是等腰直角三角形，BD=AD= AB=
所以CD=
所以BC=BD+DC= + .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再结合锐角三角函数的定义求出
CD= AD 。根据等腰直角三角形的性质得出BD和AD的值，进而得出CD的值，再根据BC=BD+CD进行解答即可。
12．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴ = ，
∵AB=AC=BD=2，
∴ = ，
解得：CD= ﹣1（负数舍去）。
（2）解：
延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD= ﹣1，
在Rt△EAD中，sinE= = = ，
即sin18°= ．
【知识点】相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，利用对应边成比例，可解出CD的长度。
（2）根据三角形的正弦定义，可列出关于三角形的正弦关系式，得出正弦值。
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，BC=3+4 。
（1）BD的长为 ，sin∠ABC= ．
（2）求∠DAC的度数．
【答案】（1）3；
（2）∵BC=3+4 ，BD=3，AD=4，
∴CD=4 ，
∴tan∠DAC= ，
∴∠DAC=60°
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】（1）∵在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，
∴∠ADB=90°，
∴BD= ，sin∠ABC= ，
故答案为：3； 。
【分析】（1）根据勾股定理以及三角形的正弦定义，计算出线段的长度和∠ABC的正弦值。
（2）根据三角形的正切定义，可列出正切的线段比例关系式，求出正切值。
1 / 1湘教版九年级数学上册 4.3 解直角三角形 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
2．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，则AB的长是（ ）
A．4 B．3+ C．5 D．2+2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3 D．3
4．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．则△ABC的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知△ABC中，AB=5，sinB= ，AC=4，则BC= ．
7．等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD= ．
8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值为 ．
9．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B=45°，∠CAD=∠CDA，CA：CB=5：7，则∠BAD的余弦值为 ．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，sinA= ，BC=2 ，则△ABC的面积为 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=30°，AB=4，求BC的长．
12．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，BC=3+4 。
（1）BD的长为 ，sin∠ABC= ．
（2）求∠DAC的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，
∴BC=AB cos∠B=5cos25°．
故答案为：C．
【分析】根据三角函数的余弦定义，可解出BC的长度。
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= AC= ，AD= CD=3，
在Rt△BCD中，tanB= ，
∴ ，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5．
故答案为：C．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得CD= AC，进一步得出AD的值。根据tanB= 求出BD的值，再根据AB=AD+BD求出AB的值。
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= =2+ ，
故答案为：A．
【分析】根据三角形函数的正切值的定义，可解出数值。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABD中，∵sinB= = ，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2﹣AD2，
∴BD= =2 ．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2 +1，
∴S△ABC= BC AD= ×（2 +1）×1= .
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理以及三角形的正弦值，可计算出三角形的面积。
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=3，
在Rt△ABC中，cosB= = ，
故答案为：A．
【分析】根据中线定理得出AB的值，再根据三角形的余弦定义可得出结果。
6．【答案】4+ 或4﹣
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】有两种情况：
如图1：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=5，sinB= = ，
∴AD=3，
由勾股定理得：BD=4，
CD= = ，
∴BC=BD+CD=4+ ；
如图2：同理可得BD=4，CD= = ，
∴BC=BD﹣CD=4﹣ ．
综上所述，BC的长是4+ 或4﹣ ．
故答案为：4+ 或4﹣ ．
【分析】根据三角形的余弦值，然后分为两种情况解出BC的长度，
7．【答案】 或 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB=CA时，
在Rt△CDB中，BC= = ，
∴AD=AC﹣CD= ﹣5，
∴tan∠ABD= = ．
②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB=CA时，
在Rt△CDB中，BC=AC= = ，
∴tan∠ABD= = ，
③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB=AC时，设AB=AC=x，
在Rt△ADB中，x2=32+（5﹣x）2，
∴x= ，
∴tan∠ABD= = ，
综上所述， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【分析】将三角形分为三种情况，可根据正切值的定义，解出三个结果。
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D，
则AB= =4 ，BC= = ，
∵S△ABC= ×2×4= ×4 ×CD，
∴CD= ，
则BD= = =2
故tan∠ABC= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的勾股定理以及三角函数的正切定义，可解出三角函数的正切值。
9．【答案】 或
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC═CD=5k，BC=7k，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，∵AH2+HC2=AC2，
∴x2+（7k﹣x）2=（5k）2，
解得x=3k或4k，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，DH=k，AD= k，DE=BE= k，AE=2 k，
∴cos∠BAD= = = ，
当x=4k时，同法可得cos∠BAD= = = ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据三角形余弦的定义，可分为两种情况解出三角形的余弦值。
10．【答案】30
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D，
在Rt△ABD中，sinA=
设AB=AC=5x，BD=3x
根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x，
在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2，
解得，x=2(负值舍去)
所以BD=6，AB=AC=10
则S△ABC= AC·BD=30
故答案为：30.
【分析】根据余弦定理得出BD和AB的关系，再利用勾股定理求出BD和AC的值，进而根据三角形的面积公式解答即可。
11．【答案】解：过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∠C=30°，
所以∠DAC=60°，CD= AD，
所以∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=45°，
即△ABD是等腰直角三角形，BD=AD= AB=
所以CD=
所以BC=BD+DC= + .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再结合锐角三角函数的定义求出
CD= AD 。根据等腰直角三角形的性质得出BD和AD的值，进而得出CD的值，再根据BC=BD+CD进行解答即可。
12．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴ = ，
∵AB=AC=BD=2，
∴ = ，
解得：CD= ﹣1（负数舍去）。
（2）解：
延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD= ﹣1，
在Rt△EAD中，sinE= = = ，
即sin18°= ．
【知识点】相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，利用对应边成比例，可解出CD的长度。
（2）根据三角形的正弦定义，可列出关于三角形的正弦关系式，得出正弦值。
13．【答案】（1）3；
（2）∵BC=3+4 ，BD=3，AD=4，
∴CD=4 ，
∴tan∠DAC= ，
∴∠DAC=60°
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】（1）∵在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AD=4，
∴∠ADB=90°，
∴BD= ，sin∠ABC= ，
故答案为：3； 。
【分析】（1）根据勾股定理以及三角形的正弦定义，计算出线段的长度和∠ABC的正弦值。
（2）根据三角形的正切定义，可列出正切的线段比例关系式，求出正切值。
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