湘教版九年级数学上册 4.4.1解直角三角形的应用 同步练习
一、解答题
1．如图，小亮站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为43°，若两栋楼之间的距离BC为30米，则A处到地面B处的距离AB为多少米？（结果精确到0.1米）（供选用数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325）
【答案】解：由已知可得，∠ACB=43°，
∵∠ABC=90°，BC=30米，
∴tan∠ACB= ，
∴AB=tan43°×30≈0.9325×30≈28.0（米），
答：A处到地面B处的距离AB为28.0米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意，可找到直角三角形，计算出∠ACB的正切值，可解出AB的长度。
2．如图：两座建筑物AB、CD相距60米，从点A测得D点的俯角为30°，从A点下降10米到E点，在E点测得C点的俯角为43°求两座建筑物的高度．（精确到0.1）（参考数据： ≈1.73，cos43°≈0.73，sin43°≈0.68，tan43°≈0.93）
【答案】解：过点D作DM⊥AB于M则DM=BC=6；则四边形BCDM是矩形，
∴DM=BC=6，CD=BM，在Rt△BEC中 tan 43°= ，
∴BE=BE tan 43°≈60×0.93=55.8米，
∴AB=AE+BE=10+55.8=65.8米，在Rt△AMD中 tan30°= ，
∴AM=DM tan 30°=60× =20 ≈34.6米
∴CD=AB﹣AM=65.8﹣34.64=31.2米.
答：AB高为65.8米，CD高为31.2米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△BEC中，可利用正切的定义，列出关系式，可解出AB的长度，在Rt△AMD中，利用30°的正切值，计算出CD的长度。
3．如图，在建筑物M的顶端C处测得大楼N顶端B点的仰角α=45°，同时测得大楼底端A点的俯角为β=30°．已知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（ ≈1.732，结果精确到0.1米）
【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则AE=CD=20，
∵CE= = = =20 ，
BE=CEtanα=20 ×tan45°=20 ×1=20 ，
∴AB=AE+EB=20+20 ≈20×2.732≈54.6（米），
答：楼高AB为54.6米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据三角形中正切的定义可列出关于线段的关系式，可解出BE的长度，再根据
AB=AE+EB算出AB的值。
4．我市侯镇二中校园内有一荷花池，荷花池北侧有一水塔．九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量水塔高度．测量过程如下：先在荷花池南侧A点由测角仪AE测得塔顶仰角为30°，再在荷花池北侧B点由测角仪BF测得塔顶仰角为45°，荷花池AB长为15米，测角仪高均为1.5米，已知A、B、C三点在一条直线上，请根据以上条件求塔高CD？（保留两位小数）
【答案】解：根据题意得：BF=AE=GC=1.5m，EF=AB=15m，
设DG=x，
在Rt△DFG中，∠DFG=45°，
∴FG=DG═x（m），
在Rt△DEG中，EG= x（m），
∵EG﹣FG=15
∴ x﹣x=15，
解得：x= ≈20.490（m），
∴CE=CF+EF=20.490+1.5=21.99（m），
答：塔高约为21.99m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切定义，设出DG为x，列出线段的关系式，可解出CE的长度。
5．乌鞘岭隧道群是连霍国道主干线上隧道最密集、路线最长、海拔最高、地质条件最复杂、施工难度最大的咽喉工程．乌鞘岭特长公路隧道群的全部贯通，将使连霍国道主干线在甘肃境内1608公里路段全部实现高速化，同时也使甘肃河西五市与省会兰州及东南沿海省、市实现全线高速连接．如图，在建设中为确定某隧道AB的长度，测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A、B两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长（结果保留根号）
【答案】解：由题意得∠ACM=60°，∠BCM=30°．
∵CM∥BD，
∴∠CAD=∠ACM=60°，∠CBD=∠BCM=30°，
∵AD=2700×tan30°=2700× =900 m，BD=2700×tan60°=2700 m，
∴AB=BD﹣AD=2700 ﹣900 =1800 （m）．
答：隧道AB的长为1800 m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切值以及性质求出AD和BD的值，再根据AB=BD﹣AD进行解答即可。
6．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据： ≈1.73）
【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50 ，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=x
则AF=AB﹣BF=AB﹣DE=x﹣50
DF=BE=BC+CE=x+50 ，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°= ，
∴ ，
∴x=50（3+ ）≈236.5，
经检验：x=50（3+ ）是原分式方程的解．
答：山AB的高度约为236.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据山顶A的仰角为45°可得出 △ABC是等腰三角形，所以AB=BC。设 AB=x，得出AF和DF关于x的关系式。根据tan30°=，把AF和DF关于x的关系式代入，解得x的值即可。
7．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ）
【答案】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，
设DE的长为x米，
在Rt△BCE中，∠CBE=45°，
∴CE=BE=CD+DE=（10+x）米，
在Rt△ADE中，∠A=35°，
AE=AB+BE=20+10+x=30+x，
tanA= ，
∴tan35°= ≈ ，
解得：x≈70，
答：假山的高度DE约为70米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形中正切的定义，列出线段的关系式，设DE为x，解出x的值，可计算出DE的长度。
8．我国“蛟龙号”深潜器目前最大的下潜深度达7062米，某天“蛟龙号”在海平面下方2000米的A处作业（如图），测得海底沉船C的俯角∠MAC为45°，其在同一深度向前直线航行2200米到达B点，测得海底沉船C的俯角∠MBC为64.5°（A、B、M在同一水平面内）．请通过计算判断沉船C是否在“蛟龙号”的深潜范围内．（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）
【答案】解：如图，作CD⊥AM于D．
∵CD=AD tan45°=BD tan64.5°，
∴AB=AD﹣BD= ﹣ ，
∴CD=AB = =4200（米）．
∴点C深度为4200+2000=6200米＜7062米，
∴沉船C在“蛟龙号”的深潜范围内．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切值，可列出CD的关系式，解出点C的深度。
9．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan15°≈0.268，tan22°=0.404）
【答案】（1）解：作CH⊥BD于H，如图，
根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，
∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；
（2）解：易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，
在Rt△DCH中， tan∠DCH=
DH=30tan15°=30×0.268=8.04
在Rt△BCH中，tan∠BCH=
∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，
∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1(m)
答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形的性质，做出CH为三角形的高，可得出∠BCD的度数。
（2）根据直角三角形的三角函数值，找到线段的关系，可解出BD的高度。
10．如图，线段AB、CD分别表示在同一水平线上的甲、乙两建筑物的高，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D．从B点测到C点的仰角α为60°，从A点测得C点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离BD．
（2）求乙建筑物的高CD．
【答案】（1）作AE⊥CD于点E，
设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，则AE= x，可得BD=AE= x；
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，则CD= BD=3x，
∵CD=CE+DE，
∴3x=30+x，
解得：x=15，
∴BD=15 （米），
答：甲、乙两建筑物之间的距离BD为15 米；
（2）由（1）知，CD=3x=45（米），
答：乙建筑物的高CD为45米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，设CE=x，表示出CD的长度，利用CD=CE+DE， 可解出BD的长度。
（2）根据第（1）问求得CD=3x，可将x代入CD=3x，求出CD的长度。
1 / 1湘教版九年级数学上册 4.4.1解直角三角形的应用 同步练习
一、解答题
1．如图，小亮站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为43°，若两栋楼之间的距离BC为30米，则A处到地面B处的距离AB为多少米？（结果精确到0.1米）（供选用数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325）
2．如图：两座建筑物AB、CD相距60米，从点A测得D点的俯角为30°，从A点下降10米到E点，在E点测得C点的俯角为43°求两座建筑物的高度．（精确到0.1）（参考数据： ≈1.73，cos43°≈0.73，sin43°≈0.68，tan43°≈0.93）
3．如图，在建筑物M的顶端C处测得大楼N顶端B点的仰角α=45°，同时测得大楼底端A点的俯角为β=30°．已知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（ ≈1.732，结果精确到0.1米）
4．我市侯镇二中校园内有一荷花池，荷花池北侧有一水塔．九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量水塔高度．测量过程如下：先在荷花池南侧A点由测角仪AE测得塔顶仰角为30°，再在荷花池北侧B点由测角仪BF测得塔顶仰角为45°，荷花池AB长为15米，测角仪高均为1.5米，已知A、B、C三点在一条直线上，请根据以上条件求塔高CD？（保留两位小数）
5．乌鞘岭隧道群是连霍国道主干线上隧道最密集、路线最长、海拔最高、地质条件最复杂、施工难度最大的咽喉工程．乌鞘岭特长公路隧道群的全部贯通，将使连霍国道主干线在甘肃境内1608公里路段全部实现高速化，同时也使甘肃河西五市与省会兰州及东南沿海省、市实现全线高速连接．如图，在建设中为确定某隧道AB的长度，测量人员在离地面2700米高度C处的飞机上，测得正前方A、B两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长（结果保留根号）
6．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据： ≈1.73）
7．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ）
8．我国“蛟龙号”深潜器目前最大的下潜深度达7062米，某天“蛟龙号”在海平面下方2000米的A处作业（如图），测得海底沉船C的俯角∠MAC为45°，其在同一深度向前直线航行2200米到达B点，测得海底沉船C的俯角∠MBC为64.5°（A、B、M在同一水平面内）．请通过计算判断沉船C是否在“蛟龙号”的深潜范围内．（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）
9．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan15°≈0.268，tan22°=0.404）
10．如图，线段AB、CD分别表示在同一水平线上的甲、乙两建筑物的高，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D．从B点测到C点的仰角α为60°，从A点测得C点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离BD．
（2）求乙建筑物的高CD．
答案解析部分
1．【答案】解：由已知可得，∠ACB=43°，
∵∠ABC=90°，BC=30米，
∴tan∠ACB= ，
∴AB=tan43°×30≈0.9325×30≈28.0（米），
答：A处到地面B处的距离AB为28.0米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意，可找到直角三角形，计算出∠ACB的正切值，可解出AB的长度。
2．【答案】解：过点D作DM⊥AB于M则DM=BC=6；则四边形BCDM是矩形，
∴DM=BC=6，CD=BM，在Rt△BEC中 tan 43°= ，
∴BE=BE tan 43°≈60×0.93=55.8米，
∴AB=AE+BE=10+55.8=65.8米，在Rt△AMD中 tan30°= ，
∴AM=DM tan 30°=60× =20 ≈34.6米
∴CD=AB﹣AM=65.8﹣34.64=31.2米.
答：AB高为65.8米，CD高为31.2米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△BEC中，可利用正切的定义，列出关系式，可解出AB的长度，在Rt△AMD中，利用30°的正切值，计算出CD的长度。
3．【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则AE=CD=20，
∵CE= = = =20 ，
BE=CEtanα=20 ×tan45°=20 ×1=20 ，
∴AB=AE+EB=20+20 ≈20×2.732≈54.6（米），
答：楼高AB为54.6米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据三角形中正切的定义可列出关于线段的关系式，可解出BE的长度，再根据
AB=AE+EB算出AB的值。
4．【答案】解：根据题意得：BF=AE=GC=1.5m，EF=AB=15m，
设DG=x，
在Rt△DFG中，∠DFG=45°，
∴FG=DG═x（m），
在Rt△DEG中，EG= x（m），
∵EG﹣FG=15
∴ x﹣x=15，
解得：x= ≈20.490（m），
∴CE=CF+EF=20.490+1.5=21.99（m），
答：塔高约为21.99m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切定义，设出DG为x，列出线段的关系式，可解出CE的长度。
5．【答案】解：由题意得∠ACM=60°，∠BCM=30°．
∵CM∥BD，
∴∠CAD=∠ACM=60°，∠CBD=∠BCM=30°，
∵AD=2700×tan30°=2700× =900 m，BD=2700×tan60°=2700 m，
∴AB=BD﹣AD=2700 ﹣900 =1800 （m）．
答：隧道AB的长为1800 m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切值以及性质求出AD和BD的值，再根据AB=BD﹣AD进行解答即可。
6．【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50 ，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=x
则AF=AB﹣BF=AB﹣DE=x﹣50
DF=BE=BC+CE=x+50 ，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°= ，
∴ ，
∴x=50（3+ ）≈236.5，
经检验：x=50（3+ ）是原分式方程的解．
答：山AB的高度约为236.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据山顶A的仰角为45°可得出 △ABC是等腰三角形，所以AB=BC。设 AB=x，得出AF和DF关于x的关系式。根据tan30°=，把AF和DF关于x的关系式代入，解得x的值即可。
7．【答案】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，
设DE的长为x米，
在Rt△BCE中，∠CBE=45°，
∴CE=BE=CD+DE=（10+x）米，
在Rt△ADE中，∠A=35°，
AE=AB+BE=20+10+x=30+x，
tanA= ，
∴tan35°= ≈ ，
解得：x≈70，
答：假山的高度DE约为70米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形中正切的定义，列出线段的关系式，设DE为x，解出x的值，可计算出DE的长度。
8．【答案】解：如图，作CD⊥AM于D．
∵CD=AD tan45°=BD tan64.5°，
∴AB=AD﹣BD= ﹣ ，
∴CD=AB = =4200（米）．
∴点C深度为4200+2000=6200米＜7062米，
∴沉船C在“蛟龙号”的深潜范围内．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据直角三角形的正切值，可列出CD的关系式，解出点C的深度。
9．【答案】（1）解：作CH⊥BD于H，如图，
根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，
∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；
（2）解：易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，
在Rt△DCH中， tan∠DCH=
DH=30tan15°=30×0.268=8.04
在Rt△BCH中，tan∠BCH=
∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，
∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1(m)
答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形的性质，做出CH为三角形的高，可得出∠BCD的度数。
（2）根据直角三角形的三角函数值，找到线段的关系，可解出BD的高度。
10．【答案】（1）作AE⊥CD于点E，
设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，则AE= x，可得BD=AE= x；
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，则CD= BD=3x，
∵CD=CE+DE，
∴3x=30+x，
解得：x=15，
∴BD=15 （米），
答：甲、乙两建筑物之间的距离BD为15 米；
（2）由（1）知，CD=3x=45（米），
答：乙建筑物的高CD为45米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，设CE=x，表示出CD的长度，利用CD=CE+DE， 可解出BD的长度。
（2）根据第（1）问求得CD=3x，可将x代入CD=3x，求出CD的长度。
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