2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．54° C．45° D．36°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出∠B的度数，再根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAD的度数。
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）将 沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A．3 B．8 C． D．2
【答案】A
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知 所对的圆周角等于∠CBD，
又∵ 所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，则AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE AB=7×9=63；
故BC=3 ．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质及圆周角定理去证明AC=CD，就可证得△CAD是等腰三角形，过C作CE⊥AB于E，根据射影定理可得出BC2=BE AB，再代入计算，就可求出BC的长。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD，OD，OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解： ∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，可求出∠DAO的度数，再根据等腰三角形的性质，可求得∠ODA的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠AOD的度数。
4．（相交两圆的性质）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相交两圆的性质
【解析】【解答】解：连接O1O2，AO2，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度数为；30°．
故选：C．
【分析】利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，不符合题意；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，不符合题意；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，符合题意；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点与圆的位置关系，对各选项逐一判断，即可得出说法正确的选项。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．27°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： ∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，
故答案为：D．
【分析】根据切线的性质，可得∠ABO=90°，再由∠A的度数就可求出∠AOB的度数，然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C。
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AO，AB，
因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故 ，
所以 ，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB= ，
所以AC=
故答案为：D．
【分析】连接AO，AB，根据切线的性质，可知△APO是直角三角形，利用勾股定理求出PO，从而可得出PB的长，再证明∠PAB=∠ACO，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可证得AC=2AB，然后在△ABC中，利用勾股定理，就可求出AC的长。
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是： =2π．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，利用切线的性质及四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用弧长公式就可求出劣弧AB的长。
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2 ，
∴劣弧BC的长是： = ．
故答案为： ．
【分析】观察图形，可知∠BOC=45°，利用勾股定理求出半径OB，再利用弧长公式计算可求解。
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 度．
【答案】120
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： ∵扇形弧长为2π，半径为3cm，
∴l= =2π，即 =2π，
解得：n=120°，
∴此扇形所对的圆心角为：120°．
故答案为：120．
【分析】直接利用弧长公式：l= ，代入计算求出n的值。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
【答案】在⊙A上
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点A的坐标为（4，3），
∴OA= =5，
∵半径为5，
而5=5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【分析】由点A的坐标，利用勾股定理求出OA的长，再比较OA的长与圆A的半径大小，即可得出点O与⊙A的位置关系。
12．（北师大版数学九年级下册第三章第六节《直线与圆的位置关系》同步检测）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm．
【答案】2或8
【知识点】切线的判定；圆-动点问题
【解析】【解答】解： ①如图1，
当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；
②如图2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案为：2或8．
【分析】根据题意可知，分两种情况讨论：当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，连接O′C，则O′C⊥PA，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出O′P，然后根据OO′=OP﹣O′P，就可求出圆心O移动的距离；当圆O与射线PA的反向延长线相切时，可求出O′P，再根据OO′=OP+O′P，可求出结果。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= cm．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH= AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH= ，即BH= ；
∴AB=2 cm．
故答案是：2 ．
【分析】连接AC、BC．利用垂径定理，可证得BH= AB，再根据圆周角定理求出∠B=30°，在Rt△CHB中，利用解直角三角形求出BH的长，从而可求出AB。
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6 cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6 cm，
∴BE=EC=3 cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= ，
∴OB=6cm，
∴S扇形= =12πcm2，
∵S△BOC= ×6 ×3=9 cm2，
∴S阴影=12π﹣9 cm2，
答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9 ）cm2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由点C是的中点，可证得，再根据等弧所对的圆周角相等，易证∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60° ，再利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，继而可得△ABC是等边三角形。
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，利用垂径定理求出BE，再在Rt△BOE中 ，利用解直角三角形求出OB，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积，分别求出△OBC和扇形BOC的面积，由阴影部分的面积=扇形BOC的面积-△BOC的面积，代入计算可求解。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2 ．
∴BD=CD= BC= ．
∴由勾股定理得到AB= =5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴ AD BD= AB ED，
∴ED= = =2．
故ED的长为2．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可证∠1=∠2，再根据直径所对的圆周角是直角，可证得DE⊥AB，DF⊥AC，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得结论。
（2）由题意可求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，然后在Rt△ABD中，由DE⊥AB，根据直角三角形的面积等于斜边×斜边上的高的一半=两直角边之积的一半，就可求出ED的长。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
【答案】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC cos30°= r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+ r=1，
解得：r=2（2﹣ ），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣ ）．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠CDF=∠ABC ，利用等腰三角形的性质，可证得∠ABC=∠ACB，再利用对顶角相等即等量代换，可证得∠EDF=∠CDF，即可证得结论。
（2） 设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，利用垂径定理的推论，可证AH⊥BC，求出∠OAC的度数，再利用圆周角定理求出∠COH的度数，设圆半径为r，利用解直角三角形可求出OH= r ，再由AH=OA+OH=1，建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出△ABC的外接圆周长即可。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
【答案】（1）解：∵OD⊥AC OD为半径，
∴ = ，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC= AB，
∵OD= AB，
∴BC=OD．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，由OD⊥AC，可证得，再根据等弧所对的圆周角相等，就可证得∠CBD=∠ABD，利用角平分线的定义可证得结论。
（2）由∠ODB=30°，就可求出∠AOD=60°，从而可求出∠A的度数，再利用直径所对的圆周角是直角，可证△ACB是直角三角形，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，易证 BC= AB ，由OD= AB，可推出BC=OD。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE AC，求证：CD=CB．
【答案】（1）证明：如图，
∵∠A与∠B是 对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）解：如图，
∵AD2=AE AC，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴ = ，
∴CD=CB．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证∠A=∠B，再根据对顶角相等，可证得∠1=∠2，再根据相似三角形的判定定理，可证得结论。
（2）将已知的等积式转化为比列式，再由公共角∠A=∠A，就可证明△ADE∽△ACD，根据相似三角形的对应角相等，可证∠AED=∠ADC，再根据所对的圆周角是直角，去证明∠AED=90°，即可得出AC⊥BD，利用垂径定理及圆周角定理，可证得结论。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若 = ，求cos∠DAB．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵ = ，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴ = ，
= ，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
解得AE= ，
∴cos∠DAB= = = ．
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，易证∠DAC=∠OCA，利用平行线的判定方法，可证OC∥AD，由AD⊥CD，可证得OC⊥CD，然后根据切线的判断方法，可证得结论。
（2）利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，由∠CAD=∠CAB，再根据相似三角形的判定和性质，可证得，设 CD=3，AD=4，得AC=5，就可求出BC的长，利用勾股定理求出AB，OC，然后利用平行线分线段成比例定理，就可求出AE的长，再在Rt△ADE中，根据锐角三角函数的定义，可求出cos∠DAB的值。
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
【答案】（1）解：在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）解：连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）直接利用SAS证明△ACF≌△BCE即可。
（2）根据全等三角形的性质，可证得∠A=∠B，利用同角的余角相等，易证∠B=∠OFB，由 ∠B+∠AFC=90°，可证明∠OFB+∠AFC=90°， 即可证得∠AFO=90°，然后根据切线的判断方法，可证得AF是圆O的切线。
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
【答案】（1）解：如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）解：如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= ，
∵tan30°= ，sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ = × ×1= ，
= ，
∴图中阴影部分的面积= ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证PA是⊙O的切线，连接OA，根据一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，就可求出∠AOB的度数，再由OA=OB，去求∠ABO=30°， 再根据AB=AP，可求得∠P=30°，然后利用三角形外角的性质，可求出∠OAP=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）过点O作OM⊥AB，根据垂径定理求出AM，再利用解直角三角形求出OM、OA，然后根据三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出△AOB的面积和扇形AOB的面积，根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积－△AOB的面积，即可求解。
23．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE= OC=1，
∴CE= OC= ，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD= ；
（2）解：∵S△ABC= AB EC= ×4× =2 ，
∴ ．
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在△COE中，利用解直角三角形分别求出OE、CE的长，再根据垂径定理求出DC的长。
（2）先利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据阴影部分的面积等于半圆的面积－△ABC的面积，计算可求解。
24．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+ BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．
（2）解：设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA cos30°=
S△AOD= ×3× = ．
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD= ﹣ = ﹣ = ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠ABC=∠DCB=60°，再根据角平分线的定义，求出∠DBC=30°，可证得∠BDC=90°，利用圆周角定理的推论，可知BC是圆的直径，再根据圆周角定理证明AB=AD=CD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BC=2CD，然后由四边形ABCD的周长=15，建立方程求出BC的长。
（2）设BC的中点为O，即O为圆心，再Rt△AOE中，利用解直角三角形求出OE的长，再求出△AOD的面积，然后根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD，利用扇形的面积公式，计算即可。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）将 沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A．3 B．8 C． D．2
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD，OD，OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（相交两圆的性质）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 度．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
12．（北师大版数学九年级下册第三章第六节《直线与圆的位置关系》同步检测）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= cm．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6 cm，求图中阴影部分的面积．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的长．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE AC，求证：CD=CB．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若 = ，求cos∠DAB．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
23．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册第二十七章《圆》章末测试）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出∠B的度数，再根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAD的度数。
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知 所对的圆周角等于∠CBD，
又∵ 所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，则AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE AB=7×9=63；
故BC=3 ．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质及圆周角定理去证明AC=CD，就可证得△CAD是等腰三角形，过C作CE⊥AB于E，根据射影定理可得出BC2=BE AB，再代入计算，就可求出BC的长。
3．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解： ∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，可求出∠DAO的度数，再根据等腰三角形的性质，可求得∠ODA的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠AOD的度数。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相交两圆的性质
【解析】【解答】解：连接O1O2，AO2，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度数为；30°．
故选：C．
【分析】利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．
5．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，不符合题意；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，不符合题意；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，符合题意；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点与圆的位置关系，对各选项逐一判断，即可得出说法正确的选项。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： ∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，
故答案为：D．
【分析】根据切线的性质，可得∠ABO=90°，再由∠A的度数就可求出∠AOB的度数，然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C。
7．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AO，AB，
因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故 ，
所以 ，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB= ，
所以AC=
故答案为：D．
【分析】连接AO，AB，根据切线的性质，可知△APO是直角三角形，利用勾股定理求出PO，从而可得出PB的长，再证明∠PAB=∠ACO，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可证得AC=2AB，然后在△ABC中，利用勾股定理，就可求出AC的长。
8．【答案】C
【知识点】切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是： =2π．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，利用切线的性质及四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用弧长公式就可求出劣弧AB的长。
9．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2 ，
∴劣弧BC的长是： = ．
故答案为： ．
【分析】观察图形，可知∠BOC=45°，利用勾股定理求出半径OB，再利用弧长公式计算可求解。
10．【答案】120
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： ∵扇形弧长为2π，半径为3cm，
∴l= =2π，即 =2π，
解得：n=120°，
∴此扇形所对的圆心角为：120°．
故答案为：120．
【分析】直接利用弧长公式：l= ，代入计算求出n的值。
11．【答案】在⊙A上
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵点A的坐标为（4，3），
∴OA= =5，
∵半径为5，
而5=5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【分析】由点A的坐标，利用勾股定理求出OA的长，再比较OA的长与圆A的半径大小，即可得出点O与⊙A的位置关系。
12．【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
13．【答案】2或8
【知识点】切线的判定；圆-动点问题
【解析】【解答】解： ①如图1，
当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；
②如图2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案为：2或8．
【分析】根据题意可知，分两种情况讨论：当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，连接O′C，则O′C⊥PA，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出O′P，然后根据OO′=OP﹣O′P，就可求出圆心O移动的距离；当圆O与射线PA的反向延长线相切时，可求出O′P，再根据OO′=OP+O′P，可求出结果。
14．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH= AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH= ，即BH= ；
∴AB=2 cm．
故答案是：2 ．
【分析】连接AC、BC．利用垂径定理，可证得BH= AB，再根据圆周角定理求出∠B=30°，在Rt△CHB中，利用解直角三角形求出BH的长，从而可求出AB。
15．【答案】（1）解：△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6 cm，
∴BE=EC=3 cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= ，
∴OB=6cm，
∴S扇形= =12πcm2，
∵S△BOC= ×6 ×3=9 cm2，
∴S阴影=12π﹣9 cm2，
答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9 ）cm2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由点C是的中点，可证得，再根据等弧所对的圆周角相等，易证∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60° ，再利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，继而可得△ABC是等边三角形。
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，利用垂径定理求出BE，再在Rt△BOE中 ，利用解直角三角形求出OB，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积，分别求出△OBC和扇形BOC的面积，由阴影部分的面积=扇形BOC的面积-△BOC的面积，代入计算可求解。
16．【答案】（1）证明：如图，
∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2 ．
∴BD=CD= BC= ．
∴由勾股定理得到AB= =5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴ AD BD= AB ED，
∴ED= = =2．
故ED的长为2．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可证∠1=∠2，再根据直径所对的圆周角是直角，可证得DE⊥AB，DF⊥AC，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得结论。
（2）由题意可求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，然后在Rt△ABD中，由DE⊥AB，根据直角三角形的面积等于斜边×斜边上的高的一半=两直角边之积的一半，就可求出ED的长。
17．【答案】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC cos30°= r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+ r=1，
解得：r=2（2﹣ ），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣ ）．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠CDF=∠ABC ，利用等腰三角形的性质，可证得∠ABC=∠ACB，再利用对顶角相等即等量代换，可证得∠EDF=∠CDF，即可证得结论。
（2） 设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，利用垂径定理的推论，可证AH⊥BC，求出∠OAC的度数，再利用圆周角定理求出∠COH的度数，设圆半径为r，利用解直角三角形可求出OH= r ，再由AH=OA+OH=1，建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出△ABC的外接圆周长即可。
18．【答案】（1）解：∵OD⊥AC OD为半径，
∴ = ，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC= AB，
∵OD= AB，
∴BC=OD．
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，由OD⊥AC，可证得，再根据等弧所对的圆周角相等，就可证得∠CBD=∠ABD，利用角平分线的定义可证得结论。
（2）由∠ODB=30°，就可求出∠AOD=60°，从而可求出∠A的度数，再利用直径所对的圆周角是直角，可证△ACB是直角三角形，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，易证 BC= AB ，由OD= AB，可推出BC=OD。
19．【答案】（1）证明：如图，
∵∠A与∠B是 对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）解：如图，
∵AD2=AE AC，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴ = ，
∴CD=CB．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证∠A=∠B，再根据对顶角相等，可证得∠1=∠2，再根据相似三角形的判定定理，可证得结论。
（2）将已知的等积式转化为比列式，再由公共角∠A=∠A，就可证明△ADE∽△ACD，根据相似三角形的对应角相等，可证∠AED=∠ADC，再根据所对的圆周角是直角，去证明∠AED=90°，即可得出AC⊥BD，利用垂径定理及圆周角定理，可证得结论。
20．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵ = ，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴ = ，
= ，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
解得AE= ，
∴cos∠DAB= = = ．
【知识点】切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，易证∠DAC=∠OCA，利用平行线的判定方法，可证OC∥AD，由AD⊥CD，可证得OC⊥CD，然后根据切线的判断方法，可证得结论。
（2）利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，由∠CAD=∠CAB，再根据相似三角形的判定和性质，可证得，设 CD=3，AD=4，得AC=5，就可求出BC的长，利用勾股定理求出AB，OC，然后利用平行线分线段成比例定理，就可求出AE的长，再在Rt△ADE中，根据锐角三角函数的定义，可求出cos∠DAB的值。
21．【答案】（1）解：在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）解：连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）直接利用SAS证明△ACF≌△BCE即可。
（2）根据全等三角形的性质，可证得∠A=∠B，利用同角的余角相等，易证∠B=∠OFB，由 ∠B+∠AFC=90°，可证明∠OFB+∠AFC=90°， 即可证得∠AFO=90°，然后根据切线的判断方法，可证得AF是圆O的切线。
22．【答案】（1）解：如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）解：如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= ，
∵tan30°= ，sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ = × ×1= ，
= ，
∴图中阴影部分的面积= ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证PA是⊙O的切线，连接OA，根据一条弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，就可求出∠AOB的度数，再由OA=OB，去求∠ABO=30°， 再根据AB=AP，可求得∠P=30°，然后利用三角形外角的性质，可求出∠OAP=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）过点O作OM⊥AB，根据垂径定理求出AM，再利用解直角三角形求出OM、OA，然后根据三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出△AOB的面积和扇形AOB的面积，根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积－△AOB的面积，即可求解。
23．【答案】（1）解：在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE= OC=1，
∴CE= OC= ，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD= ；
（2）解：∵S△ABC= AB EC= ×4× =2 ，
∴ ．
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在△COE中，利用解直角三角形分别求出OE、CE的长，再根据垂径定理求出DC的长。
（2）先利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据阴影部分的面积等于半圆的面积－△ABC的面积，计算可求解。
24．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+ BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．
（2）解：设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA cos30°=
S△AOD= ×3× = ．
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD= ﹣ = ﹣ = ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠ABC=∠DCB=60°，再根据角平分线的定义，求出∠DBC=30°，可证得∠BDC=90°，利用圆周角定理的推论，可知BC是圆的直径，再根据圆周角定理证明AB=AD=CD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BC=2CD，然后由四边形ABCD的周长=15，建立方程求出BC的长。
（2）设BC的中点为O，即O为圆心，再Rt△AOE中，利用解直角三角形求出OE的长，再求出△AOD的面积，然后根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD，利用扇形的面积公式，计算即可。
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