2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习
一、单选题
1．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ）
A．12 B．6 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的周长为24，
∴圆内接正六边形的边长为4，
∴圆的半径为4，
如图，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°=4× =2 ，
∴BC=2BD=4 ；
∴该圆的内接正三角形的周长为12 ，
故答案为：A．
【分析】由正六边形的周长求出正六边形的边长，再根据正六边形的边长和半径相等，可得出半径的长，连接OB，过O作OD⊥BC于D，利用解直角三角形求出BD的长，利用垂径定理，就可求出该圆的内接正三角形的边长，从而可求出此三角形的周长。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，
然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是： ，则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=2 ．
故答案为：B．
【分析】延长AB，作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，由正六边形的边长为1，根据正六边形的性质，可得出CE的长，再求出△BCE的边CE边上的高及△AEC的CE边上的高，然后根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8 cm B．4 cm C．8cm D．4cm
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故答案为：A．
【分析】由题意画出图形，要求△ABC的边长，把△ABC的边BC看作圆的弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，由∠OBD=30°，OB=8，就可求出BD的长，然后根据垂径定理可知BC=2BD，从而可求出正三角形的边长。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
设正六边形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，
∠AOC=360°÷6=60°
∵OA=OC
∴△AOC是等边三角形，
∵AC切圆O于点B
∴∠AOB=30°
∴OB=cos30°R即r=R
∴内切圆面积与外接圆面积之比= ．
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，设正六边形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，利用正六边形的性质，易证△AOC是等边三角形，再利用解直角三角形，在Rt△AOB中，可得出r=R，然后利用根据圆的面积公式，求出正六边形的内切圆面积与外接圆面积之比即可。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，
∵∠DOE=360°× =60°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED=（180°﹣60°）÷2=60°，
则△ODE为正三角形，
∴OD=OE=DE=2，
∴S△ODE= OD OM= OD OE sin60°= ×2×2× = ．
正六边形的面积为6× =6 ，
故答案为：B．
【分析】添加辅助线，连接OD、OE，过点O作OM⊥DE于点M，易证正六边形的边长和半径相等，再解直角三角形求出OM的长，从而可求出△ODE的面积，然后根据正六边形的面积=6×S△ODE，即可解答问题。
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴AB2+BC2=36，
解得：AB=3 ，
即⊙O的内接正方形的边长等于3 ，
故答案为：C．
【分析】连接AC，由正多边形的性质，可知AC是圆的直径，再利用勾股定理就可求出⊙O的内接正方形的边长。
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，
如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°= R，
故BC=2BD= R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE= R，
故BC= R；
故圆内接正三角形、正方形的边长之比为 R： R= ： = ：2．
故答案为：A．
【分析】根据题意画出图形，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，就可求出∠OBC的度数，再利用解直角三角形求出BC= R；如图二连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，利用正多边形的性质，可知△OBE是等腰直角三角形就可求出BC= R，然后求出圆内接正三角形、正方形的边长之比即可。
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的中心角等于 度．
【答案】60
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的六条边都相等，
∴正六边形的中心角= =60°．
故答案为：60．
【分析】根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= ．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 cm
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，
∵OA=2cm，∠AOG=30°，
∴OG=OA cos 30°=2× =（cm）．
故答案为：．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=．
故答案为：．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）半径为1的圆内接正三角形的边心距为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∵OD⊥BC，OB=1，
∴OD= ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，构造直角△OBD，就可得出OB=1，∠OBD=30°，利用解直角三角形求出OD的长。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】 π
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2 ，OM=OB cos60°=2，
∴BD=2BM=4 ，
∴△BDO的面积是 ×BD×OM= ×4 ×2=4 ，
同理△FDO的面积是4 ；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2 ，
∴S扇形OCD﹣S△COD= ﹣ ×4×2 = π﹣4 ，
∴阴影部分的面积是：4 +4 + π﹣4 + π﹣4 = π，
故答案为： π．
【分析】连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，由题意易证△OCD和△ODE是等边三角形，可得出∠COE=120°，由正六边形的边长和半径相等，就可证得四边形OBCD是菱形，可得出△OBM的面积等于△CMD的面积，同理可证△OFN的面积=△DNE的面积，从而可推出阴影部分的面积就等于扇形COE的面积，
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质，可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD， 再证明BF=CG，然后利用SAS证明△ABF≌△BCG。
（2）利用全等三角形的性质，易证∠GBC=∠FAB，再利用三角形的外角的性质，可证得∠AHG=∠ABC，然后求出正五边形的一个内角的度数，即可得出答案。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
∴∠AFM=∠BMH．
（2）解：猜想：FM=MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．
②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，
连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠ABF=30°，
∴∠ABG=180°﹣30°=150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ= ×60°=30°，
∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，
∴∠MBH=∠MBG=150°．
∵ ，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．
∵AF=AB，FP=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM= ×（180°﹣120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【分析】（1）正六边形的每一个内角为120°，可得出∠FAM=120°，再由∠FMH=120°，可证∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，即可证得结论。
（2）分两种情况讨论：①当点M与点A重合时， 易证结论；②当点M与点A不重合时，方法一：连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，利用已知可求得∠MBH=∠MBG=150°，再利用SAS证明△ MBH≌△MBG，利用全等三角形的性质，可得∠MHB=∠MGB，MH=MG，然后去证明∠MFB=∠MGB，利用等角对等边，可证得FM=MG=MH；方法二：在AF上截取FP=MB，连接PM，可证得∠FPM=∠MBH，再证明△FPM≌△MBH，利用全等三角形的性质，可证得FM=MH。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
【答案】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= R，OD=Rcos60°= R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 R；面积是3× AB×OD=3× × R× R= R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= = R，
∴正方形ABCD的周长为4× R=4 R，面积为 R× R=2R2．
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
【答案】解：如图，连接OA、OB、OC；
由题意知：∠BOA=∠COA= =60°，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB、△OAC均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
= ；
=32 ，
∴阴影部分的面积=3× =64π﹣96 ．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质，易证△OAB、△OAC均为等边三角形，可证∠BAO=∠CAO=60°，利用扇形的面积公式，就可求出扇形AOB和扇形COA的面积之和，利用三角形的面积公式求出△ABO和△ACO的面积之和，再列式求出图中阴影部分的面积。
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．
【答案】（1）解：连接AC，
∵∠D=90°，点D在⊙O上，
∴正方形的对角线是圆的直径；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD．
∵圆O的半径为2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=42，解得AD=2 ，
∴S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×22﹣（2 ）2=4π﹣8．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质，可知∠D=90°，再根据圆周角定理，可证得AC是圆O的直径。
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求正方形的边长AD，再根据S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD，利用圆的面积公式及正方形的面积计算就可求解。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
【答案】解：连AC，则AC为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD中，
AB=BC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
2AB2=202，
∴AB2=200，
= =（25π﹣50）米2．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】连AC，易证AC是圆的直径，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AB2，再由，计算可求解。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习
一、单选题
1．（北师大版数学九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》同步检测）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
2．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ）
A．12 B．6 C．12 D．6
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8 cm B．4 cm C．8cm D．4cm
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的中心角等于 度．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= ．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为 cm
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）半径为1的圆内接正三角形的边心距为 ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°
n =36°，解得n=10．
故选A．
【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的周长为24，
∴圆内接正六边形的边长为4，
∴圆的半径为4，
如图，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°=4× =2 ，
∴BC=2BD=4 ；
∴该圆的内接正三角形的周长为12 ，
故答案为：A．
【分析】由正六边形的周长求出正六边形的边长，再根据正六边形的边长和半径相等，可得出半径的长，连接OB，过O作OD⊥BC于D，利用解直角三角形求出BD的长，利用垂径定理，就可求出该圆的内接正三角形的边长，从而可求出此三角形的周长。
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，
然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是： ，则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=2 ．
故答案为：B．
【分析】延长AB，作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，由正六边形的边长为1，根据正六边形的性质，可得出CE的长，再求出△BCE的边CE边上的高及△AEC的CE边上的高，然后根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解。
4．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故答案为：A．
【分析】由题意画出图形，要求△ABC的边长，把△ABC的边BC看作圆的弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，由∠OBD=30°，OB=8，就可求出BD的长，然后根据垂径定理可知BC=2BD，从而可求出正三角形的边长。
5．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
设正六边形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，
∠AOC=360°÷6=60°
∵OA=OC
∴△AOC是等边三角形，
∵AC切圆O于点B
∴∠AOB=30°
∴OB=cos30°R即r=R
∴内切圆面积与外接圆面积之比= ．
故答案为：D．
【分析】由题意画出图形，设正六边形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，利用正六边形的性质，易证△AOC是等边三角形，再利用解直角三角形，在Rt△AOB中，可得出r=R，然后利用根据圆的面积公式，求出正六边形的内切圆面积与外接圆面积之比即可。
6．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，
∵∠DOE=360°× =60°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED=（180°﹣60°）÷2=60°，
则△ODE为正三角形，
∴OD=OE=DE=2，
∴S△ODE= OD OM= OD OE sin60°= ×2×2× = ．
正六边形的面积为6× =6 ，
故答案为：B．
【分析】添加辅助线，连接OD、OE，过点O作OM⊥DE于点M，易证正六边形的边长和半径相等，再解直角三角形求出OM的长，从而可求出△ODE的面积，然后根据正六边形的面积=6×S△ODE，即可解答问题。
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴AB2+BC2=36，
解得：AB=3 ，
即⊙O的内接正方形的边长等于3 ，
故答案为：C．
【分析】连接AC，由正多边形的性质，可知AC是圆的直径，再利用勾股定理就可求出⊙O的内接正方形的边长。
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，
如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°= R，
故BC=2BD= R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE= R，
故BC= R；
故圆内接正三角形、正方形的边长之比为 R： R= ： = ：2．
故答案为：A．
【分析】根据题意画出图形，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，就可求出∠OBC的度数，再利用解直角三角形求出BC= R；如图二连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，利用正多边形的性质，可知△OBE是等腰直角三角形就可求出BC= R，然后求出圆内接正三角形、正方形的边长之比即可。
9．【答案】60
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的六条边都相等，
∴正六边形的中心角= =60°．
故答案为：60．
【分析】根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．
10．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
11．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，
∵OA=2cm，∠AOG=30°，
∴OG=OA cos 30°=2× =（cm）．
故答案为：．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=．
故答案为：．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∵OD⊥BC，OB=1，
∴OD= ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，构造直角△OBD，就可得出OB=1，∠OBD=30°，利用解直角三角形求出OD的长。
14．【答案】 π
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2 ，OM=OB cos60°=2，
∴BD=2BM=4 ，
∴△BDO的面积是 ×BD×OM= ×4 ×2=4 ，
同理△FDO的面积是4 ；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2 ，
∴S扇形OCD﹣S△COD= ﹣ ×4×2 = π﹣4 ，
∴阴影部分的面积是：4 +4 + π﹣4 + π﹣4 = π，
故答案为： π．
【分析】连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，由题意易证△OCD和△ODE是等边三角形，可得出∠COE=120°，由正六边形的边长和半径相等，就可证得四边形OBCD是菱形，可得出△OBM的面积等于△CMD的面积，同理可证△OFN的面积=△DNE的面积，从而可推出阴影部分的面积就等于扇形COE的面积，
15．【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质，可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD， 再证明BF=CG，然后利用SAS证明△ABF≌△BCG。
（2）利用全等三角形的性质，易证∠GBC=∠FAB，再利用三角形的外角的性质，可证得∠AHG=∠ABC，然后求出正五边形的一个内角的度数，即可得出答案。
16．【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
∴∠AFM=∠BMH．
（2）解：猜想：FM=MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．
②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，
连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠ABF=30°，
∴∠ABG=180°﹣30°=150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ= ×60°=30°，
∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，
∴∠MBH=∠MBG=150°．
∵ ，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．
∵AF=AB，FP=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM= ×（180°﹣120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【分析】（1）正六边形的每一个内角为120°，可得出∠FAM=120°，再由∠FMH=120°，可证∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，即可证得结论。
（2）分两种情况讨论：①当点M与点A重合时， 易证结论；②当点M与点A不重合时，方法一：连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，利用已知可求得∠MBH=∠MBG=150°，再利用SAS证明△ MBH≌△MBG，利用全等三角形的性质，可得∠MHB=∠MGB，MH=MG，然后去证明∠MFB=∠MGB，利用等角对等边，可证得FM=MG=MH；方法二：在AF上截取FP=MB，连接PM，可证得∠FPM=∠MBH，再证明△FPM≌△MBH，利用全等三角形的性质，可证得FM=MH。
17．【答案】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= R，OD=Rcos60°= R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 R；面积是3× AB×OD=3× × R× R= R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= = R，
∴正方形ABCD的周长为4× R=4 R，面积为 R× R=2R2．
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
18．【答案】解：如图，连接OA、OB、OC；
由题意知：∠BOA=∠COA= =60°，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB、△OAC均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
= ；
=32 ，
∴阴影部分的面积=3× =64π﹣96 ．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质，易证△OAB、△OAC均为等边三角形，可证∠BAO=∠CAO=60°，利用扇形的面积公式，就可求出扇形AOB和扇形COA的面积之和，利用三角形的面积公式求出△ABO和△ACO的面积之和，再列式求出图中阴影部分的面积。
19．【答案】（1）解：连接AC，
∵∠D=90°，点D在⊙O上，
∴正方形的对角线是圆的直径；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD．
∵圆O的半径为2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=42，解得AD=2 ，
∴S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×22﹣（2 ）2=4π﹣8．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质，可知∠D=90°，再根据圆周角定理，可证得AC是圆O的直径。
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求正方形的边长AD，再根据S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD，利用圆的面积公式及正方形的面积计算就可求解。
20．【答案】解：连AC，则AC为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD中，
AB=BC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
2AB2=202，
∴AB2=200，
= =（25π﹣50）米2．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】连AC，易证AC是圆的直径，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AB2，再由，计算可求解。
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