2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册9.1.3 三角形的三边关系 同步练习
一、选择题
1．一个三角形三边长分别为1、3、x，且x为整数，则此三角形的周长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣1＜x＜3+1，
即2＜x＜4，
∵x为整数
∴x=3
∴此三角形的周长为：1+3+3=7
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系定理，建立关于x的不等式组求出x的取值范围，再由x是整数，可得出x的值，然后求出三角形周长。
2．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b-c|+|a-b-c|=（ ）
A．2b B．2a C．2a+2b D．2b+2c
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，
∴|a+b-c|+|a-b-c|=a+b-c+（b+c-a）=2b．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，可知a+b-c＞0，a-b-c＜0，再利用绝对值的意义，化简绝对值，即可求出答案。
3．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12﹣x﹣y）根，根据三角形的三边关系定理得到： 得到：x＜6，y＜6，x+y＞6又因为x，y是整数，因而同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5．则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2．因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知三角形的周长为12，再根据三角形的三边关系定理建立不等式组，从而可求出三边满足的条件，再根据三边长为整数，进而可求解。
4．边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设另两边是x，y．则x＜8，y＜8，x≠y且x+y＞8，并且x，y都是整数．
不妨设x＜y，满足以上几个条件的x，y的值有：2，7；3，6；3，7；4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7共有9种情况，因而满足条件的三角形的个数为9个．
故答案为：C．
【分析】设另两边是x，y，由已知条件： 边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，可得出x＜8，y＜8，x≠y且x+y＞8，并且x，y都是整数，再求出满足条件的三角形的三边的值，即可得出答案。
5．以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：首先进行组合，则有3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，
根据三角形的三边关系，则其中的3，5，10和3，7，10不能组成三角形．
故答案为：B．
【分析】将这四条线段三条线段一组进行组合，再根据三角形三边关系定理判断，就可得出构成三角形的个数。
6．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系，尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄，进行计算可求解。
二、填空题
7．已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，而第三边x的长是一个偶数，则这个三角形第三边x的长是 cm，周长是 cm．
【答案】4；10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别是2cm和4cm，
∴4﹣2＜x＜4+2，即2cm＜x＜6cm．
∵x是偶数，
∴x=4cm，
∴周长=2+4+4=10cm．
故答案为：4，10．
【分析】利用三角形的三边关系定理建立关于x的不等式组，解不等式组，再根据x为偶数，确定出x的值，然后求出三角形的周长。
8．三角形的三边分别是2、5和a，若a是正整数，则a的值为 ．
【答案】4，5，6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形三边长分别是2、5和a，
∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，
∵a为正整数，
∴a可以为4，5，6．
故答案为：4，5，6
【分析】利用三角形三边关系定理建立关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围，再由a为正整数，就可得a的值。
9．已知三角形的两边的长分别为3和8，则此三角形第三边的长度x的取值范围是 ．
【答案】5＜x＜11
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得8﹣3＜x＜8+3，
解得5＜x＜11，
故答案为：5＜x＜11．
【分析】利用三角形三边关系定理建立关于x的不等式组，再求出不等式组的解集即可。
10．木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为 的木条．
【答案】200cm
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 80+150=230cm，150﹣80=70cm，因而木条长在70cm到230cm之间．
故可选200cm的木条．
故答案为：200cm．
【分析】先利用三角形关系定理，求出第三根木条的取值范围，再根据其取值范围就可得出所选木条的长度。
11．有两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，则此三角形周长为 cm．
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵三角形其中两边长为3cm，6cm，
∴三角形三边长为可能是：3cm，3cm，6cm，或3cm，6cm，6cm．
∵3+3=6，两边之和等于第三边，无法构成三角形，
∴三角形三边长为3cm，3cm，6cm不可能，
只有三角形三边长为3cm，6cm，6cm，符合要求，
∴此三角形周长为：6+6+3=15cm，
故答案为：15．
【分析】抓住已知条件：有两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，分两种情况讨论：当3为腰长或3为底边长，再根据三角形三边关系定理确定出三角形的三边长，然后求出三角形的周长。
12．一个三角形的两边长分别是4和9，另一边长a为偶数，且2＜a＜8，则这个三角形的周长为 ．
【答案】19
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵9﹣4=5，9+4=13，
∴5＜a＜13．
又∵2＜a＜8，
∴5＜a＜8．
∵a为偶数，
∴a=6．
∴周长为13+6=19．
故答案是：19．
【分析】由已知条件求出a的取值范围，再结合已知 2＜a＜8得到a的取值范围，再由a为偶数，得出a的值，然后求出三角形的周长。
三、解答题
13．如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．
【答案】解：如图所示，
连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．
理由：任取一点M′，用三角形两边之和大于第三边易证．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形两边之和大于第三边，连接AC、BD，即可确定点M的位置。
14．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
【答案】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，
解得k≥17．
故k的最小值为17．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系定理，可知为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，就可得到这样的数一共有16个，因此可得出n≤16≤k﹣1，解不等式，求出k的取值范围，然后求出k的最小值。
15．有四个村庄（点）A、B、C、D，要建一所学校P，使PA+PB+PC+PD最小．画图说明P在哪里．
【答案】解：如图
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据两点之间线段最短和三角形三边关系定理，可知当点A、B、C、D组成凸多边形时，点P在两对角线的交点处；当A、B、C、D为凹多边形时，点P在凹进去的点处，即可得到答案。
16．
（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
【答案】（1）解：设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有 ，
由方程可得 ≤x＜ ．
因x为正整数，故x=15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组
（2）解：这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，根据三角形三边和为100建立方程，再由y不小于最小边，不大于最长边和三角形的两边之和大于第三边，列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据x是整数可得出满足条件的三角形的三边长。
（2）由n段之和为150，是一个定值，要使n尽可能大，必须每一段的长度尽可能小，由此可以依题意构造一个数列，即可解答。
17．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
【答案】（1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。
（2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。
18．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
19．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
【答案】解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版七年级下册9.1.3 三角形的三边关系 同步练习
一、选择题
1．一个三角形三边长分别为1、3、x，且x为整数，则此三角形的周长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b-c|+|a-b-c|=（ ）
A．2b B．2a C．2a+2b D．2b+2c
3．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
二、填空题
7．已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，而第三边x的长是一个偶数，则这个三角形第三边x的长是 cm，周长是 cm．
8．三角形的三边分别是2、5和a，若a是正整数，则a的值为 ．
9．已知三角形的两边的长分别为3和8，则此三角形第三边的长度x的取值范围是 ．
10．木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为 的木条．
11．有两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，则此三角形周长为 cm．
12．一个三角形的两边长分别是4和9，另一边长a为偶数，且2＜a＜8，则这个三角形的周长为 ．
三、解答题
13．如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．
14．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
15．有四个村庄（点）A、B、C、D，要建一所学校P，使PA+PB+PC+PD最小．画图说明P在哪里．
16．
（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
17．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
18．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
19．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣1＜x＜3+1，
即2＜x＜4，
∵x为整数
∴x=3
∴此三角形的周长为：1+3+3=7
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系定理，建立关于x的不等式组求出x的取值范围，再由x是整数，可得出x的值，然后求出三角形周长。
2．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，
∴|a+b-c|+|a-b-c|=a+b-c+（b+c-a）=2b．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，可知a+b-c＞0，a-b-c＜0，再利用绝对值的意义，化简绝对值，即可求出答案。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12﹣x﹣y）根，根据三角形的三边关系定理得到： 得到：x＜6，y＜6，x+y＞6又因为x，y是整数，因而同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5．则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2．因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知三角形的周长为12，再根据三角形的三边关系定理建立不等式组，从而可求出三边满足的条件，再根据三边长为整数，进而可求解。
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设另两边是x，y．则x＜8，y＜8，x≠y且x+y＞8，并且x，y都是整数．
不妨设x＜y，满足以上几个条件的x，y的值有：2，7；3，6；3，7；4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7共有9种情况，因而满足条件的三角形的个数为9个．
故答案为：C．
【分析】设另两边是x，y，由已知条件： 边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，可得出x＜8，y＜8，x≠y且x+y＞8，并且x，y都是整数，再求出满足条件的三角形的三边的值，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：首先进行组合，则有3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，
根据三角形的三边关系，则其中的3，5，10和3，7，10不能组成三角形．
故答案为：B．
【分析】将这四条线段三条线段一组进行组合，再根据三角形三边关系定理判断，就可得出构成三角形的个数。
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系，尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄，进行计算可求解。
7．【答案】4；10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别是2cm和4cm，
∴4﹣2＜x＜4+2，即2cm＜x＜6cm．
∵x是偶数，
∴x=4cm，
∴周长=2+4+4=10cm．
故答案为：4，10．
【分析】利用三角形的三边关系定理建立关于x的不等式组，解不等式组，再根据x为偶数，确定出x的值，然后求出三角形的周长。
8．【答案】4，5，6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形三边长分别是2、5和a，
∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，
∵a为正整数，
∴a可以为4，5，6．
故答案为：4，5，6
【分析】利用三角形三边关系定理建立关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围，再由a为正整数，就可得a的值。
9．【答案】5＜x＜11
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系可得8﹣3＜x＜8+3，
解得5＜x＜11，
故答案为：5＜x＜11．
【分析】利用三角形三边关系定理建立关于x的不等式组，再求出不等式组的解集即可。
10．【答案】200cm
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 80+150=230cm，150﹣80=70cm，因而木条长在70cm到230cm之间．
故可选200cm的木条．
故答案为：200cm．
【分析】先利用三角形关系定理，求出第三根木条的取值范围，再根据其取值范围就可得出所选木条的长度。
11．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵三角形其中两边长为3cm，6cm，
∴三角形三边长为可能是：3cm，3cm，6cm，或3cm，6cm，6cm．
∵3+3=6，两边之和等于第三边，无法构成三角形，
∴三角形三边长为3cm，3cm，6cm不可能，
只有三角形三边长为3cm，6cm，6cm，符合要求，
∴此三角形周长为：6+6+3=15cm，
故答案为：15．
【分析】抓住已知条件：有两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，分两种情况讨论：当3为腰长或3为底边长，再根据三角形三边关系定理确定出三角形的三边长，然后求出三角形的周长。
12．【答案】19
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵9﹣4=5，9+4=13，
∴5＜a＜13．
又∵2＜a＜8，
∴5＜a＜8．
∵a为偶数，
∴a=6．
∴周长为13+6=19．
故答案是：19．
【分析】由已知条件求出a的取值范围，再结合已知 2＜a＜8得到a的取值范围，再由a为偶数，得出a的值，然后求出三角形的周长。
13．【答案】解：如图所示，
连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．
理由：任取一点M′，用三角形两边之和大于第三边易证．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形两边之和大于第三边，连接AC、BD，即可确定点M的位置。
14．【答案】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，
解得k≥17．
故k的最小值为17．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系定理，可知为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，就可得到这样的数一共有16个，因此可得出n≤16≤k﹣1，解不等式，求出k的取值范围，然后求出k的最小值。
15．【答案】解：如图
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据两点之间线段最短和三角形三边关系定理，可知当点A、B、C、D组成凸多边形时，点P在两对角线的交点处；当A、B、C、D为凹多边形时，点P在凹进去的点处，即可得到答案。
16．【答案】（1）解：设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有 ，
由方程可得 ≤x＜ ．
因x为正整数，故x=15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组
（2）解：这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，根据三角形三边和为100建立方程，再由y不小于最小边，不大于最长边和三角形的两边之和大于第三边，列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据x是整数可得出满足条件的三角形的三边长。
（2）由n段之和为150，是一个定值，要使n尽可能大，必须每一段的长度尽可能小，由此可以依题意构造一个数列，即可解答。
17．【答案】（1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形三边关系定理求出AB的取值范围，再根据AB长为奇数，确定出AB的值，然后求出△ABC的周长。
（2）由（1）可知AB=AC，即可判定出△ABC的形状。
18．【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
19．【答案】解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。
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