14.1.1 直角三角形三边的关系
【教学目标】
一、知识目标
1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
3.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
二、能力目标
1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标
学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时 勾股定理
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入
以国际数学家大会的会徽和地转反映的直角三角形边的关系引入勾股定理。
2.自学指导：
（1）、阅读教材108-109页，探索勾股定理的推导过程。
（2）、找出勾股定理的内容？
3.合作探究
（1）整体感知
由观察课本中图14.1.1和图14.1. ( http: / / www.21cnjy.com )2入手得出勾股定理；通过做一做的动手操作证实勾股定理；通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性；通过对本课本第111页例1的求解巩固勾股定理。
（2）四边互动
互动1：
师：你们能数出图14.1.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳： ,即两直角边的平方和等于斜边的平方.
互动2：
师：你们能数出图14.1.2中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看．
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
师生共同归纳, ,即两直角边的平方和等于斜边的平方．
互动3：
师：由上述操作你发现了一般规律了吗？
生：略
明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。
互动4：
师：展示课本中做一做.
师：画出直角三角形ABC，用直尺量量斜边是多长好吗？
生：每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理：.
互动5：
出示课本中图14.1.3、14.1.4和14.1.5。
师：你会拼出图14.1.4吗
生：动用操作
师：你会用面积等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答并说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
师：你会拼出如图14.1.5所示的图形吗？
生：讨论交流，举手回答问题。
师：你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
例1 . 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC.
4.达标反馈
（1）、求出下列直角三角形中未知边的长度。
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（2）、已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3,则BC的长为
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5.学习小结
（1）内容总结
直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6.实践活动：动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7.巩固练习：
（1）、课本111页练习题。
（2）、查阅有关勾股定理的历史资料。
（3）、（选做） 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长？
第二课时 勾股定理的应用
【本课目标】
通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。
【教学过程】
1、情境导入
我们学习了勾股定理，那么它在生活中有什么实际应用呢？
2、课前热身（自学指导）
注意应将例题中的实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形。
3、合作探究
（1）整体感知
通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。
互动：
例2 如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长。
解：由已知AB=AC－2，BC=6cm,根据勾股定理，得
AB2+BC2=（AC－2）2+62=AC2
解得AC=10（cm）
例3 如图14.1.7，为了求出湖两岸的A ( http: / / www.21cnjy.com )、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
解 在直角三角形ABC中，
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
= 96（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米.
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：
例4（补充）小丁的妈妈买了一部34英寸（8 ( http: / / www.21cnjy.com )6厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
解：∵702+502=7400
862=7396
荧屏对角线大约为86厘米
∴售货员没搞错
4、达标反馈
（1）、如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积与周长.
（2）假期中，王强和同学到 ( http: / / www.21cnjy.com )某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
5、学习小结
（1）内容总结
运用勾股定理可以解决许多实际问题。
（2）方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、作业：
（1）、课本第117页 习题14.1 3、4题。
（3）、（选做题）《九章算术》勾股章第6题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何？
（本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？）
A
B
C直角三角形的判定
教学目标 知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单计算判断。过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股定理逆定理。态度与价值观：激发学生解情感决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值。
教学重点 理解和应用直角三角形的判定。
教学难点 运用直角三角形判定方法进行解决问题。
教学方法 运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法。
教学用具 多媒体课件、三角板等。
师生双边教学活动
教师活动 学生活动 设计意图
情景创设 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图1那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角。 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图1 问：你认为古埃及人这样画出的三角形是不是直角三角形呢？ 学生猜想、质凝 激发学生好奇心，便于下一步活动的开展。
探索归纳 探 索 学生小组合作，动手操作探寻规律（学生通过小组讨论分析发现三边的关系就是直角三角形的三边的关系） 学生通过动手先直观体验；探究获得新知。
活动1：猜一猜：（分6个小组） 教师提供：用三条细竹条（ ( http: / / www.21cnjy.com )要求学生：将竹条的长度分别定为3个单位长度、4个单位长度、5个单位长度）拼一个三角形，猜一猜:这个三角形是什么三角形？活动2：①画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）（1）3、4、5 ；（2）4、6、8；（3）6、8、10（4） 3、4、6②测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数.③判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状④找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系⑤猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
归纳：如果三角形的三边长、、有关系：，那么这个三角形是直角三角形. 注意：最长的边c所对的角为直角. 学生在教师的引导下归纳、小结
对比归纳 活动3：观察:命题1与命题2的题设和结论有何关系 命题2 ：如果三角形的三边长、、有关系：，那么这个三角形是直角三角形.命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。 学生对比观察，发表观点 对比归纳强化新知
例题讲解 例4 已知△ABC，AB=n2－1，B ( http: / / www.21cnjy.com )C=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解： AB2+BC2=（n2－1）2+（2n）2= n4－2 n2+1+4 n2= n4+2 n2+1=（n2+1）2=AC2 这个三角形是直角三角形，且边AC所对的角是直角.归纳：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 寻找已知条件，列式求解 应用知识解决问题
巩固练习 牛刀小试：教材第114页练习第1、2题 学生独立完成（三名学生上台板演、评析 应用知识，归纳知识与方法
灵活应用：在△ABC中，a=3, b=4, c=5,求此三角形的面积。 学生分析、完成
解困惑 在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道 这个三角形是什么形状吗 ？并说明理由.解:这个三角形是直角三角形.理由:设两个结的距离为a,则三边分别为3a,4a,5a. 学生在教师引导下理解完成
概括总结 请你谈一谈这节课你学到了什么？用到了哪些数学思想和方法？（合情推理、数形结合） 学生总结
布置作业 教材第118页习题14.1第5题
教后反思14.1.1 直角三角形三边的关系
第二课时
学习目标：
1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。
2.会应用勾股定理解决实际问题
学习重点：利用勾股定理解决实际问题
学习难点：构造直角三角形求解。
学习过程：
复习引入：
1. 勾股定理的内容是什么？
2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边。
体验勾股定理的几种探求方法：
试一试
剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.5所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 ，
又可以表示为 ．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
（图1） （图14.1.5）
思考：用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成什么样的形式呢？
如图14.1.4所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．
( http: / / www.21cnjy.com )（图14.1.4）
由下面几种拼图方法，试一试，能否得出的结论。
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（1） （2） （3） （4） （5）
探究点拔：
1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出。
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到。
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得。
三、练习
1：已知：在△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
2.求下列阴影部分的面积：
（1） 阴影部分是正方形；（2） 阴影部分是长方形；（3） 阴影部分是半圆
( http: / / www.21cnjy.com )
四、例1：如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长。
例2：如图,为了求出湖两岸的 ( http: / / www.21cnjy.com )AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？
:
练习3：假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），
他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千 ( http: / / www.21cnjy.com )米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
练习4,飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 ( http: / / www.21cnjy.com )到一个男孩头顶上方4000米处，在男孩一直未动的情况下，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
小结
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
注意：1、直角三角形
2、反映的是三边关系
3、分清直角边和斜边
（2）总结证明勾股定理的几种方法
六、课后练习：
一.填空题
1.在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
2.在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
3.在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
4.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
5.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 。
6.在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为__________
7.等边三角形△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_______
二．选择题
8.若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（ ）
A.3 B.12 C. D.
9.已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形的面积为（ ）
A. B.15 C.50 D.25
10.等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（ ）
A.56 B.48 C.40 D.32
11一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（ ）
A.2.5cm B. cm C. cm D. cm
12.如图所示，长方形ABCD中，AB=3,BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）
A.3.74 B.3.75 C.3.76 D.3.77
13.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°,AD=4，AB=3，BC=12，
求正方形DCEF面积。
A
B
C
B
A
C
C
D
A
B
C
D
F
D
E
A
B
C
E
F
D14.1勾股定理
——直角三角形三边的关系（1）
一、教学内容：
教科书P.108——P.111的内容
二、教学目标：
1、知识目标：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题；
2、技能目标：在学生经历 ( http: / / www.21cnjy.com )观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力；
3、情感目标：通过探索直角三角形的三边 ( http: / / www.21cnjy.com )之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
教学分析
三、教学重点：探索和验证勾股定理过程。
四、教学难点：通过面积计算探索勾股定理。
关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。
五、教学方法及教学手段：
采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
六、教学课时：1课时
七、教学过程：
一）提纲导学
（一）激趣导入
多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。
（二）出示导纲
（三）自学设疑
二）合作互动
（一）小组讨论
活动一：动脑想一想
观察下图正方形大小，图中每一小方格表示，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q 的面积为 ，
正方形R的面积为 。
⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
活动二：
其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？
（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示）
⑴正方形P的面积为 ，
正方形Q的面积为 ，
正方形R的面积为 。
⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？
⑶你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
试一试：
在方格图中，画出两条直角边分别为、的直角三角形，②再用刻度尺量出斜边长，③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？
让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。
（二）展示评价
（三）质疑解难
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：（1）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
（2）在直角三角形中，任意已知其中的两边，就可以计算出第三边的长。
例1、如图，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC.
三）拓展训练
(一）拓展延伸
1、如图，在Rt△ABC中，AB=c,BC=a ,AC=b,∠C=90°.
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=24,c=25,求b.
2、如果一个直角三角形的两边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少？（精确到0.1厘米）
（二）编题自练(学生可自编)：
（1）小刚准备测量一条河的深度，他把一 ( http: / / www.21cnjy.com )根竹竿插到离岸边2米远的水底，竹竿高出水面1米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶刚好和水面相齐，这河水的深度为多少米
四）导学归纳：
师生一起回顾本节知识，主要是让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充。（1数学家大会所用标志。2勾股定理是宇宙语言。3利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题）
作业布置：
P117 习题14.1 1、2
C
B
A
A
c
b
a
C
B
