2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.1.1平行四边形的性质（2）同步练习
一、选择题
1．如图，对于平行四边形ABCD，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠1=∠2，∠BAD=∠BCD，AB=CD
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的性质，即可得到正确的结论，选出错误的结论即可。
二、填空题
2．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是 .
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，OM垂直平分AC
∴AM=MC
∴△CDM的周长=CM+MD+DC=AD+DC=8
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB=DC
∴平行四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+DC=2（AD+DC）=2×8=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意可知OM为线段AC的垂直平分线，根据其性质，即可将△CDM的周长转化为AD+DC，再根据平行四边形的性质可将平行四边形ABCD的周长转为求2（AD+DC）的值。
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 .
【答案】1＜a＜7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3
∴4-3＜a＜4+3
即1＜a＜7
故答案为：1＜a＜7。
【分析】根据平行四边形的性质，可得OD和AO的长度，在三角形ADO中，根据三角形三边关系即可求得a的取值范围。
三、解答题
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠OAE=∠OCF，AO=OC
又∵∠AOE=∠FOC
∴△AEO≌△CFO
∴AE=CF。
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】在平行四边形中，根据其性质可以证明△AEO≌△CFO，进而得到AE=CF。
5．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠FDO=∠EBO
又∵∠DOF=∠BOE，BE=DF
∴△DFO≌△BEO
∴BO=DO。
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°
又∵∠A=45°
∴∠G=∠A=45°
∴AE=GE，
又∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°
即∠GOD=∠G=45°
∴DG=DO
∴OF=FG=1，
∴GE=OE+OF+FG=3
即AE=3。
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质以及题目条件即可证明△DFO≌△BEO，证明结论即可；
（2）根据题目条件得出∠GEA和∠GFD的度数，求得AE=GE，根据GE=OE+OF+FG得出最终答案。
6．如图，在平行四边形ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，BC=BF，CD=DE
∴AB=CD=DE，AD=BC=BF，∠ABC=∠ADC
又∵∠CBF=∠CDE
∴∠ABF=∠ADE
∴△ABF≌△EDA
（2）由（1）可得∠EAD=∠AFB
∴∠GBF=∠AFB+∠FAB=∠EAD+∠FAB，
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AF⊥AE
∴∠DAB=∠CBG
∴∠FBC=∠CBG+∠GBF=∠DAB+∠EAD+∠FAB=∠EAF=90°
∴BF⊥BC
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE，根据SAS即可证明△ABF≌△EDA；
（2）根据三角形外角的性质以及平行四边形的性质，依据平行线的性质，结合（1）的结论，进行求证即可。
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一、选择题
1．如图，对于平行四边形ABCD，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD
C．AB＝CD D．AC⊥BD
二、填空题
2．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是 .
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 .
三、解答题
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
5．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
6．如图，在平行四边形ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠1=∠2，∠BAD=∠BCD，AB=CD
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的性质，即可得到正确的结论，选出错误的结论即可。
2．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，OM垂直平分AC
∴AM=MC
∴△CDM的周长=CM+MD+DC=AD+DC=8
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB=DC
∴平行四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+DC=2（AD+DC）=2×8=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意可知OM为线段AC的垂直平分线，根据其性质，即可将△CDM的周长转化为AD+DC，再根据平行四边形的性质可将平行四边形ABCD的周长转为求2（AD+DC）的值。
3．【答案】1＜a＜7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3
∴4-3＜a＜4+3
即1＜a＜7
故答案为：1＜a＜7。
【分析】根据平行四边形的性质，可得OD和AO的长度，在三角形ADO中，根据三角形三边关系即可求得a的取值范围。
4．【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠OAE=∠OCF，AO=OC
又∵∠AOE=∠FOC
∴△AEO≌△CFO
∴AE=CF。
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】在平行四边形中，根据其性质可以证明△AEO≌△CFO，进而得到AE=CF。
5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠FDO=∠EBO
又∵∠DOF=∠BOE，BE=DF
∴△DFO≌△BEO
∴BO=DO。
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°
又∵∠A=45°
∴∠G=∠A=45°
∴AE=GE，
又∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°
即∠GOD=∠G=45°
∴DG=DO
∴OF=FG=1，
∴GE=OE+OF+FG=3
即AE=3。
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质以及题目条件即可证明△DFO≌△BEO，证明结论即可；
（2）根据题目条件得出∠GEA和∠GFD的度数，求得AE=GE，根据GE=OE+OF+FG得出最终答案。
6．【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，BC=BF，CD=DE
∴AB=CD=DE，AD=BC=BF，∠ABC=∠ADC
又∵∠CBF=∠CDE
∴∠ABF=∠ADE
∴△ABF≌△EDA
（2）由（1）可得∠EAD=∠AFB
∴∠GBF=∠AFB+∠FAB=∠EAD+∠FAB，
又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AF⊥AE
∴∠DAB=∠CBG
∴∠FBC=∠CBG+∠GBF=∠DAB+∠EAD+∠FAB=∠EAF=90°
∴BF⊥BC
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE，根据SAS即可证明△ABF≌△EDA；
（2）根据三角形外角的性质以及平行四边形的性质，依据平行线的性质，结合（1）的结论，进行求证即可。
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