2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）下列运算：① ﹣3 ＝0：②2 ×3 ＝6 ：③ ÷ ＝2；④（ +2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若实数x满足|x﹣3|+ ＝7，化简2|x+4|﹣ 的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ 且x≠3 B．x≥
C．x≥ 且x≠3 D．x≤ 且x≠﹣3
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4） 相等的是（ ）
A． B．- C． D．-
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）如果一个三角形的三边长分别为 、k、 ，则化简 ﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a+b＝﹣7，ab＝4，则 + ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）把 根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
8．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a为实数，则代数式 的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．3 D．9
10．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）甲，乙两同学对代数式 （m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲： ＝ ＝ ；
乙： ＝ ＝ ．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
11．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练） + +…+ 的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
12．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
13．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若0＜a＜1，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若x2+y2＝1，则 + + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练） 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
16．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）计算：6 × ＝ ， ÷（2﹣ ）＝ ．
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若a＝1+ ，b＝1﹣ ，则代数式 的值为 。
19．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读下列材料，我们知道（ +3）（ ﹣3）＝4，因此将 的分子分母同时乘以“ +3”，分母就变成了4，即 ＝ ＝ ，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝ ，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 ．
20．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a≥0时， ＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1） ＝ ；
（2）若x+1＝20182+20192，则 ＝ ．
21．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若a＞ a+1，化简|a+ |﹣ ＝ ．
22．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若 ＝2.5，则 的值为 ．
23．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知3 ＝16，m＝4 ，则m的取值范围是 ．
24．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
25．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝ ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为 ．
三、解答题
26．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）计算：
（1） ﹣ +
（2）（ ﹣ ）（ + ）+（ ﹣1）2
27．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a＝，求 的值．
28．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
+ + ﹣ ．
29．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）求值：
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞ + +2，求 +5﹣3x的值．
30．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）化简求值：已知：x＝ ，y＝ ，求（x+3）（y+3）的值．
31．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知x＝ ，y＝ ，求：
①x2y﹣xy2的值；
②x2﹣xy+y2的值．
32．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2007．
33．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2 ＝2+2 +1＝（ ）2+2 +1＝（ +1）2；
5+2 ＝2+2 +3＝（ ）2+2× × +（ ）2＝（ + ）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2 ；②6+4
（2）若a+4 ＝（m+n ）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
34．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）观察下列各式：
＝1+ ﹣ ＝1 ； ＝1+ ﹣ ＝1 ；
＝1+ ﹣ ＝1 ，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
（1）猜想： ＝ ＝ ；
（2）归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）应用：计算 ．
35．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若要化简 我们可以如下做：
∵3+2
∴ ＝ +1
仿照上例化简下列各式：
（1） ＝ 。
（2） ＝ 。
36．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）像（ +2）（ ﹣2）＝1、 ＝a（a≥0）、（ +1）（ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简： ；
（2）计算： + ；
（3）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小，并说明理由．
37．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝ ，则把x±2 变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵3+2 ＝1+2+2 ＝12+（ ）2+2×1× ＝（1+ ）2
∴ ＝ ＝1+ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
38．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
39．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 ＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6 ＝（m+n ）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：① ﹣3 ＝0，正确；
②2 ×3 ＝12，错误；
③ ÷ ＝2；正确；
④（ +2）2＝7+4 ，错误；
故答案为：B．
【分析】①二次根式相加减，将二次根式化简为最简二次根式，将被开方数相同的进行合并即可；②③④二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，将结果化为最简二次根式即可。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵|x﹣3|+ ＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故答案为：A
【分析】将原来的式子中被开方数化为完全平方公式进行化简，根据求得的x的范围得出后者式子中代数式的值，根据二次根式的性质进行计算结果。
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥ 且x≠3．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，要使代数式有意义，则二次根式中，被开方数大于等于0，分母不为0，列出式子进行求解即可。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，
∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，
∴（m﹣4） ＝﹣ ＝﹣ ．
故答案为：D
【分析】根据实数m满足代数式，可以求出m的取值范围，根据的m的范围对后者为二次根式进行化简即可得到答案。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为 、k、 ，
∴ ﹣ ＜k＜ + ，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝ ﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中三边的关系可得k的取值范围，根据k的范围，结合二次根式以及绝对值的性质进行化简即可。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b＝＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0
原式＝（﹣ ）+（﹣ ）
＝﹣ ，
∵a+b＝﹣7，ab＝4，
∴原式＝﹣
＝ ，
故答案为：A
【分析】根据a和b的乘积以及和的符号即可分别得出a和b的范围，根据a和b结合二次根式的性质将后者进行化简，将a+b和ab的值代入求值即可。
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 成立，
∴﹣ ＞0，即m＜0，
原式＝﹣ ＝﹣ ．
故答案为：D
【分析】根据被开方数为-，可得m＜0，所以将m移入根号内为（-m），根号外剩余-1，进行化简即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由于根号下的数要是非负数，
∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，
a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，
a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
﹣ ＝0，
所以有x＝﹣y，
即：y＝﹣x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x＝﹣y代入原式得：
原式＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据被开方数的性质，被开方数大于等于0，即可求得a的值，继而得到x和y之间的数量关系，将代数式进行化简求值即可。
9．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式 的值最小，为 即3.
故答案为：B
【分析】将被开方数进行转化，化为完全平方公式，根据完全平方公式的值大于等于0，可以得到当完全平方公式的值为0时，二次根式的值最小。
10．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m＝n则化简不成立；
乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．
故答案为：D
【分析】甲的方法将分母利用平方差公式进行运算，根据的是分母有理化；乙根据平方差公式将mn进行拆分，运用的是因式分解，根据两种情况下m和n之间的关系，判断方法是否正确即可。
11．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式＝ + +…+
＝ + +…+
＝ + +…+
＝ + +…+
＝﹣1
＝﹣1+10
＝9．
故答案为：C
【分析】运用分母有理化的方法，将二次根式进行化简，根据裂项相消法，即可得到最后的化简结果。
12．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵n为任意的正整数，
∴ ＝
＝ ＝ ＝1+ ，
∴s＝（1+ ）+（1+ ）+（1+ ）+…+（1+ ）
＝2008+（ + + +…+
＝2008+（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）
＝2009﹣ ．
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：A．
【分析】将最后的二次根式的关系式进行化简，将S进行转化，利用裂项相消法即可求得最后的结果。
13．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（a﹣ ）2+4＝a2+2+ ＝（a+ ）2，（a+ ）2﹣4＝a2﹣2+ ＝（a﹣ ）2，
∴原式＝ + ；
∵0＜a＜1，
∴a+ ＞0，a﹣ ＝ ＜0；
∴原式＝ + ＝a+ ﹣（a﹣ ）＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据a的范围，可以分别将二次根式中的被开方数进行化简，求出结果即可。
14．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵ ＝ ＝ ，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴ + +
＝2+1+0
＝3．
故答案为：D
【分析】根据x2+y2＝1求得x和y的取值范围，根据x和y的取值范围可分别化简计算三个二次根式，将二次根式进行化简求解即可。
15．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知第k项是
∴原式＝（ + +
＝1﹣
＝1﹣
＝ ．
故答案为：B
【分析】根据题目中式子的组成规律即可得到k项的式子的代数式，将代数式利用加减消元法进行化简，得出最后的结果即可。
16．【答案】4 ； +1
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：6 × ＝2 ＝4 ，
÷（2﹣ ）
＝
＝
＝
＝ +1，
故答案为：4 ， +1
【分析】 二次根式相乘除时，把被开方数相乘除，根指数不变，将结果化为最简二次根式即可，分别得到两个式子的值。
17．【答案】4030
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m＝ ＝
＝
＝ ，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（ +1）2× ﹣2017（ +1）+2015
＝（2017+2 ） ﹣2017 ﹣2017+2015
＝2017 +2×2016﹣2017 ﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
故答案为：4030.
【分析】将分子利用因式分解的方法进行因式分解，得出m的值，代入后者的代数式进行求值即可。
18．【答案】3
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a＝1+ ，b＝1﹣ ，
∴a﹣b＝2 ，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝3，
故答案为：3
【分析】根据a和b的值，计算a+b和ab的结果，将二次根式中的被开方数化为完全平方公式，将a+b和ab的值代入求值即可。
19．【答案】2160
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m＝ ＝ ﹣1，
∴m+1＝ ，
∴m2+2m+1＝2018，
∴m2+2m﹣2017＝0，
∴m5+2m4﹣2017m3+2160＝m3（m2+2m﹣2017）+2160＝2160，
故答案为：2160
【分析】根据材料中的方法，将代数式m利用分母有理化的方法进行化简，将m的值代入代数式中，求得结果即可。
20．【答案】（1）3
（2）4037
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴ ＝ ＝3，
故答案为：3；
⑵∵x+1＝20182+20192
＝20182+（2018+1）2
＝20182+20182+2×2018+1
＝2×20182+2×2018+1，
∴x＝2×20182+2×2018，
则 ＝ ＝ ＝2×2018+1＝4037，
故答案为：4037．
【分析】（1）根据题目中的结论，9＞0，即可求得的数值。
（2）根据x+1的值，通过完全平方公式化简求出x的值，代入二次根式中求值即可。
21．【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a＞ a+1，
∴（1﹣ ）a＞1，
则a＜ ，即a＜﹣1﹣ ，
∴a+ ＜﹣1，a+ +1＜0，
原式＝﹣a﹣ +a+ +1＝1，
故答案为：1
【分析】将不等式进行化简，求出a的取值范围，根据a的范围，结合绝对值和二次根式的性质，求出答案即可。
22．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：设 ＝a，则24﹣t2＝a2，8﹣t2＝a2﹣16，
∵ ＝2.5，
a﹣ ＝ ，
两边同时平方得： ，
解得：a＝ ，
则 ，
＝ + ，
＝ ，
＝ + ，
＝ + ，
＝ ，
故答案为：
【分析】在题目中，可设 ＝a，分别计算得出24﹣t2和8﹣t2的值，将其代入二次根式中进行化简计算得到a的值，将代数式化简求值即可。
23．【答案】﹣12≤m≤
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由3 ＝16，得 ＝ ，
16﹣4 ≥0，
解得 ≤4，又 ≥0，
∴0 ≤4．
m＝4 ＝4× ﹣3 ＝ ，
即m＝ ，
当 ＝0时，m最大＝ ，
当 ＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤ ，
故答案为：﹣12≤m≤
【分析】根据题目可得的值和的取值范围，将代数式m进行化简，将的值代入，根据的范围进行m的范围计算即可。
24．【答案】±
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴（m-nm+n）2
＝
＝
＝ ，
∴ ＝± ．
故答案为：± 。
【分析】将代数式进行平方，将m+n和mn的值代入进行求值，将所得的数开方即可。
25．【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵S＝ ，
∴△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为：S＝ ＝1，
故答案为：1．
【分析】根据题意，分别将a，b，c三个字母的值代入代数式S中，化简二次根式求值即可。
26．【答案】（1）解：原式＝2- ﹣3 + ＝
（2）解：原式＝5﹣2+4﹣2 ＝7﹣2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分母有理化将二次根式进行化简，进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式以及完全平方公式化简二次根式，进行加减运算求值即可。
27．【答案】解：∵a＝＝ ＝2﹣ ，
∴a﹣2＝2﹣ ﹣2＝﹣ ＜0，
则原式＝ ﹣
＝a+3+
＝2﹣ +3+2+
＝7
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先化简的值，得出a的最简形式，再化简原式，把a=2-代入计算即可。
28．【答案】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝4c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据三角形三边的关系可以得到a，b，c三者之间的关系，根据三者之间的关系，进行二次根式的化简求值即可。
29．【答案】（1）解：∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35
（2）解：∵ ，∴，∴x＝ ，∴y＞2，∴ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×
＝2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将a2+ab+b2结合完全平方公式进行化简，将a和b的数值代入，即可求出代数式的值；
（2）根据被开方数大于等于0即可求得x的值以及y的范围，即可将代数式利用完全平方公式进行化简求值。
30．【答案】解：当x＝ ＝ ＝ ，y＝＝ ＝ 时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝ × +3×（ + ）+9＝ +3× +9＝+3 +9＝ +3
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】分别将x和y两个代数式利用分母有理化进行化简，将其代入代数式中进行求值即可。
31．【答案】解：∵x＝ ＝ ＝3+2 ，y＝ ＝ ＝3﹣2 ，
∴xy＝ ＝1，x+y＝3+2 +3﹣2 ＝6，
①x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝1×
＝4
②x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝62﹣3×1
＝36﹣3
＝33
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】分别将x和y两个代数式利用分母有理化进行化简，将所求的两个代数式进行利用提公因式法以及公式法进行化简，将x和y的值代入进行求解即可。
32．【答案】（1）小亮
（2） ＝﹣a（a＜0）
（3）解：∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
⑵错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 ＝﹣a（a＜0），
故答案为： ＝﹣a（a＜0）
【分析】（1）根据题意可知，负数的平方开方后要变为原来的相反数，所以小亮的解法是错误的。
（2）根据当a＜0时，写出二次根式的性质即可。
（3）根据二次根式的性质，将被开方数进行化简，求出被开方数的范围，进行计算即可。
33．【答案】（1）解：①4+2
＝3+2 +1
＝（ ）2+2× +12
＝（ +1）2；
②6+4
＝4+4 +2
＝22+2×2× +（ ）2
＝（2+ ）2
（2）解：∵a+4 ＝（m+n ）2，
∴a+4 ＝m2+2 mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2 mn＝4 ，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意的描述，将式子进行进行分解，根据完全平方公式进行转化即可。
（2）将等号右边的代数式利用完全平方公式展开，求得mn的值，根据题意，可以列出m和n的值的几种情况，进行a的值的运算即可。
34．【答案】（1）1+ ﹣ ；1
（2） ＝1+ ﹣ ＝
（3）解：
＝
＝
＝1+ ﹣
＝1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴猜想： ＝1+ ﹣ ＝1 ；
故答案为：1+ - ，1 ；
⑵归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+ ﹣ ＝
【分析】（1）根据式子的规律，推出二次根式的的值即可。
（2）根据题目中式子的规律，很容易得出n的等式。
（3）将被开方数进行转化，化简为题目中符合代数式规律的式子，根据（2）求出的等式，进行计算即可。
35．【答案】（1） +1
（2） ﹣
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴∵4+2 ＝3+1+2 ＝（ ）2+2× ×1+12＝（ +1）2，
∴ ＝ ＝ +1；
故答案为： +1；
⑵∵13﹣2 ＝7+6﹣2 ＝（ ）2﹣2× × +（ ）2＝（ ﹣ ）2，
∴ ＝ ＝ - ．
故答案为： -
【分析】根据题意可知，题目中将被开方数利用完全平方公式，转化为平方的形式，再进行开平方，根据这种规律，化简（1）和（2）的式子即可。
36．【答案】（1）解： ＝ ＝
（2）解： +
＝2+ +
＝2+2 +
（3）解： ﹣ ＜ ﹣，
理由：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ， ，
∴ ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；
（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可。
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较。
37．【答案】（1）解：∵5+2 ＝3+2+2
＝（ ）2+（ ）2+2× ×
＝（ + ）2，
∴ ＝ ＝ +
（2）解：∵7﹣4 ＝4+3﹣4 ＝22+（ ）2﹣2×2× .
＝（2﹣ ）2，
∴ ＝ ＝2﹣
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据题意可知，将二次根式利用完全平方公式的形式进行转化，对平方进行开方求值的思想，分别对（1）和（2）中的两个式子，采用题目所述方法，将被开方数化为平方，进行开平方，化简求值。
38．【答案】（1）解：∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
＝
＝
（2）解：当x＝20时，这个三角形的周长是：
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长公式，将三边的长相加求和，根据二次根式相加减的性质进行计算。
（2）根据题意可知，二次根式进行求值后，为整数，根据题意选择合适的x的值，求三角形的周长即可。
39．【答案】（1）m2+5n2；2mn
（2）8；2；1；1
（3）解：∵a+6 ＝（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴a＝28或12
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴∵a+b ＝（m+n ）2，
∴a+b ＝m2+5n2+2mn ，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn。
⑵8+2 ＝（1+ ）2，
故答案为：8；2；1；1。
【分析】（1）将等号右边的式子根据完全平方公式展开，根据等号两侧的式子相等，即可得到a和b分别表示的代数式；
（2）根据（1）中的结论，可以根据a和b分别与mn之间的关系，写出一组符合条件的数字。
（3）将等号右边的式子展开，求得mn的值，根据题意，m和n为正整数选择几个可能的值进行计算a的值即可。
1 / 12018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）下列运算：① ﹣3 ＝0：②2 ×3 ＝6 ：③ ÷ ＝2；④（ +2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：① ﹣3 ＝0，正确；
②2 ×3 ＝12，错误；
③ ÷ ＝2；正确；
④（ +2）2＝7+4 ，错误；
故答案为：B．
【分析】①二次根式相加减，将二次根式化简为最简二次根式，将被开方数相同的进行合并即可；②③④二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，将结果化为最简二次根式即可。
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若实数x满足|x﹣3|+ ＝7，化简2|x+4|﹣ 的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵|x﹣3|+ ＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故答案为：A
【分析】将原来的式子中被开方数化为完全平方公式进行化简，根据求得的x的范围得出后者式子中代数式的值，根据二次根式的性质进行计算结果。
3．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ 且x≠3 B．x≥
C．x≥ 且x≠3 D．x≤ 且x≠﹣3
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥ 且x≠3．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，要使代数式有意义，则二次根式中，被开方数大于等于0，分母不为0，列出式子进行求解即可。
4．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4） 相等的是（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，
∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，
∴（m﹣4） ＝﹣ ＝﹣ ．
故答案为：D
【分析】根据实数m满足代数式，可以求出m的取值范围，根据的m的范围对后者为二次根式进行化简即可得到答案。
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）如果一个三角形的三边长分别为 、k、 ，则化简 ﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为 、k、 ，
∴ ﹣ ＜k＜ + ，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝ ﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中三边的关系可得k的取值范围，根据k的范围，结合二次根式以及绝对值的性质进行化简即可。
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a+b＝﹣7，ab＝4，则 + ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a+b＝＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0
原式＝（﹣ ）+（﹣ ）
＝﹣ ，
∵a+b＝﹣7，ab＝4，
∴原式＝﹣
＝ ，
故答案为：A
【分析】根据a和b的乘积以及和的符号即可分别得出a和b的范围，根据a和b结合二次根式的性质将后者进行化简，将a+b和ab的值代入求值即可。
7．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）把 根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 成立，
∴﹣ ＞0，即m＜0，
原式＝﹣ ＝﹣ ．
故答案为：D
【分析】根据被开方数为-，可得m＜0，所以将m移入根号内为（-m），根号外剩余-1，进行化简即可。
8．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由于根号下的数要是非负数，
∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，
a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，
a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
﹣ ＝0，
所以有x＝﹣y，
即：y＝﹣x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x＝﹣y代入原式得：
原式＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据被开方数的性质，被开方数大于等于0，即可求得a的值，继而得到x和y之间的数量关系，将代数式进行化简求值即可。
9．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a为实数，则代数式 的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．3 D．9
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式 的值最小，为 即3.
故答案为：B
【分析】将被开方数进行转化，化为完全平方公式，根据完全平方公式的值大于等于0，可以得到当完全平方公式的值为0时，二次根式的值最小。
10．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）甲，乙两同学对代数式 （m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲： ＝ ＝ ；
乙： ＝ ＝ ．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m＝n则化简不成立；
乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．
故答案为：D
【分析】甲的方法将分母利用平方差公式进行运算，根据的是分母有理化；乙根据平方差公式将mn进行拆分，运用的是因式分解，根据两种情况下m和n之间的关系，判断方法是否正确即可。
11．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练） + +…+ 的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式＝ + +…+
＝ + +…+
＝ + +…+
＝ + +…+
＝﹣1
＝﹣1+10
＝9．
故答案为：C
【分析】运用分母有理化的方法，将二次根式进行化简，根据裂项相消法，即可得到最后的化简结果。
12．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵n为任意的正整数，
∴ ＝
＝ ＝ ＝1+ ，
∴s＝（1+ ）+（1+ ）+（1+ ）+…+（1+ ）
＝2008+（ + + +…+
＝2008+（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）
＝2009﹣ ．
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：A．
【分析】将最后的二次根式的关系式进行化简，将S进行转化，利用裂项相消法即可求得最后的结果。
13．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若0＜a＜1，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（a﹣ ）2+4＝a2+2+ ＝（a+ ）2，（a+ ）2﹣4＝a2﹣2+ ＝（a﹣ ）2，
∴原式＝ + ；
∵0＜a＜1，
∴a+ ＞0，a﹣ ＝ ＜0；
∴原式＝ + ＝a+ ﹣（a﹣ ）＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据a的范围，可以分别将二次根式中的被开方数进行化简，求出结果即可。
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若x2+y2＝1，则 + + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵ ＝ ＝ ，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴ + +
＝2+1+0
＝3．
故答案为：D
【分析】根据x2+y2＝1求得x和y的取值范围，根据x和y的取值范围可分别化简计算三个二次根式，将二次根式进行化简求解即可。
15．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练） 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知第k项是
∴原式＝（ + +
＝1﹣
＝1﹣
＝ ．
故答案为：B
【分析】根据题目中式子的组成规律即可得到k项的式子的代数式，将代数式利用加减消元法进行化简，得出最后的结果即可。
二、填空题
16．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）计算：6 × ＝ ， ÷（2﹣ ）＝ ．
【答案】4 ； +1
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：6 × ＝2 ＝4 ，
÷（2﹣ ）
＝
＝
＝
＝ +1，
故答案为：4 ， +1
【分析】 二次根式相乘除时，把被开方数相乘除，根指数不变，将结果化为最简二次根式即可，分别得到两个式子的值。
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
【答案】4030
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m＝ ＝
＝
＝ ，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（ +1）2× ﹣2017（ +1）+2015
＝（2017+2 ） ﹣2017 ﹣2017+2015
＝2017 +2×2016﹣2017 ﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
故答案为：4030.
【分析】将分子利用因式分解的方法进行因式分解，得出m的值，代入后者的代数式进行求值即可。
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若a＝1+ ，b＝1﹣ ，则代数式 的值为 。
【答案】3
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a＝1+ ，b＝1﹣ ，
∴a﹣b＝2 ，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝3，
故答案为：3
【分析】根据a和b的值，计算a+b和ab的结果，将二次根式中的被开方数化为完全平方公式，将a+b和ab的值代入求值即可。
19．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读下列材料，我们知道（ +3）（ ﹣3）＝4，因此将 的分子分母同时乘以“ +3”，分母就变成了4，即 ＝ ＝ ，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝ ，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 ．
【答案】2160
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m＝ ＝ ﹣1，
∴m+1＝ ，
∴m2+2m+1＝2018，
∴m2+2m﹣2017＝0，
∴m5+2m4﹣2017m3+2160＝m3（m2+2m﹣2017）+2160＝2160，
故答案为：2160
【分析】根据材料中的方法，将代数式m利用分母有理化的方法进行化简，将m的值代入代数式中，求得结果即可。
20．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a≥0时， ＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1） ＝ ；
（2）若x+1＝20182+20192，则 ＝ ．
【答案】（1）3
（2）4037
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴ ＝ ＝3，
故答案为：3；
⑵∵x+1＝20182+20192
＝20182+（2018+1）2
＝20182+20182+2×2018+1
＝2×20182+2×2018+1，
∴x＝2×20182+2×2018，
则 ＝ ＝ ＝2×2018+1＝4037，
故答案为：4037．
【分析】（1）根据题目中的结论，9＞0，即可求得的数值。
（2）根据x+1的值，通过完全平方公式化简求出x的值，代入二次根式中求值即可。
21．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若a＞ a+1，化简|a+ |﹣ ＝ ．
【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a＞ a+1，
∴（1﹣ ）a＞1，
则a＜ ，即a＜﹣1﹣ ，
∴a+ ＜﹣1，a+ +1＜0，
原式＝﹣a﹣ +a+ +1＝1，
故答案为：1
【分析】将不等式进行化简，求出a的取值范围，根据a的范围，结合绝对值和二次根式的性质，求出答案即可。
22．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若 ＝2.5，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：设 ＝a，则24﹣t2＝a2，8﹣t2＝a2﹣16，
∵ ＝2.5，
a﹣ ＝ ，
两边同时平方得： ，
解得：a＝ ，
则 ，
＝ + ，
＝ ，
＝ + ，
＝ + ，
＝ ，
故答案为：
【分析】在题目中，可设 ＝a，分别计算得出24﹣t2和8﹣t2的值，将其代入二次根式中进行化简计算得到a的值，将代数式化简求值即可。
23．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知3 ＝16，m＝4 ，则m的取值范围是 ．
【答案】﹣12≤m≤
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由3 ＝16，得 ＝ ，
16﹣4 ≥0，
解得 ≤4，又 ≥0，
∴0 ≤4．
m＝4 ＝4× ﹣3 ＝ ，
即m＝ ，
当 ＝0时，m最大＝ ，
当 ＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤ ，
故答案为：﹣12≤m≤
【分析】根据题目可得的值和的取值范围，将代数式m进行化简，将的值代入，根据的范围进行m的范围计算即可。
24．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
【答案】±
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴（m-nm+n）2
＝
＝
＝ ，
∴ ＝± ．
故答案为：± 。
【分析】将代数式进行平方，将m+n和mn的值代入进行求值，将所得的数开方即可。
25．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝ ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为 ．
【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵S＝ ，
∴△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为：S＝ ＝1，
故答案为：1．
【分析】根据题意，分别将a，b，c三个字母的值代入代数式S中，化简二次根式求值即可。
三、解答题
26．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）计算：
（1） ﹣ +
（2）（ ﹣ ）（ + ）+（ ﹣1）2
【答案】（1）解：原式＝2- ﹣3 + ＝
（2）解：原式＝5﹣2+4﹣2 ＝7﹣2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分母有理化将二次根式进行化简，进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式以及完全平方公式化简二次根式，进行加减运算求值即可。
27．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知a＝，求 的值．
【答案】解：∵a＝＝ ＝2﹣ ，
∴a﹣2＝2﹣ ﹣2＝﹣ ＜0，
则原式＝ ﹣
＝a+3+
＝2﹣ +3+2+
＝7
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先化简的值，得出a的最简形式，再化简原式，把a=2-代入计算即可。
28．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
+ + ﹣ ．
【答案】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝4c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据三角形三边的关系可以得到a，b，c三者之间的关系，根据三者之间的关系，进行二次根式的化简求值即可。
29．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）求值：
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞ + +2，求 +5﹣3x的值．
【答案】（1）解：∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35
（2）解：∵ ，∴，∴x＝ ，∴y＞2，∴ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×
＝2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将a2+ab+b2结合完全平方公式进行化简，将a和b的数值代入，即可求出代数式的值；
（2）根据被开方数大于等于0即可求得x的值以及y的范围，即可将代数式利用完全平方公式进行化简求值。
30．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）化简求值：已知：x＝ ，y＝ ，求（x+3）（y+3）的值．
【答案】解：当x＝ ＝ ＝ ，y＝＝ ＝ 时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝ × +3×（ + ）+9＝ +3× +9＝+3 +9＝ +3
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】分别将x和y两个代数式利用分母有理化进行化简，将其代入代数式中进行求值即可。
31．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）已知x＝ ，y＝ ，求：
①x2y﹣xy2的值；
②x2﹣xy+y2的值．
【答案】解：∵x＝ ＝ ＝3+2 ，y＝ ＝ ＝3﹣2 ，
∴xy＝ ＝1，x+y＝3+2 +3﹣2 ＝6，
①x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝1×
＝4
②x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝62﹣3×1
＝36﹣3
＝33
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】分别将x和y两个代数式利用分母有理化进行化简，将所求的两个代数式进行利用提公因式法以及公式法进行化简，将x和y的值代入进行求解即可。
32．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2007．
【答案】（1）小亮
（2） ＝﹣a（a＜0）
（3）解：∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
⑵错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 ＝﹣a（a＜0），
故答案为： ＝﹣a（a＜0）
【分析】（1）根据题意可知，负数的平方开方后要变为原来的相反数，所以小亮的解法是错误的。
（2）根据当a＜0时，写出二次根式的性质即可。
（3）根据二次根式的性质，将被开方数进行化简，求出被开方数的范围，进行计算即可。
33．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2 ＝2+2 +1＝（ ）2+2 +1＝（ +1）2；
5+2 ＝2+2 +3＝（ ）2+2× × +（ ）2＝（ + ）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2 ；②6+4
（2）若a+4 ＝（m+n ）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【答案】（1）解：①4+2
＝3+2 +1
＝（ ）2+2× +12
＝（ +1）2；
②6+4
＝4+4 +2
＝22+2×2× +（ ）2
＝（2+ ）2
（2）解：∵a+4 ＝（m+n ）2，
∴a+4 ＝m2+2 mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2 mn＝4 ，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意的描述，将式子进行进行分解，根据完全平方公式进行转化即可。
（2）将等号右边的代数式利用完全平方公式展开，求得mn的值，根据题意，可以列出m和n的值的几种情况，进行a的值的运算即可。
34．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）观察下列各式：
＝1+ ﹣ ＝1 ； ＝1+ ﹣ ＝1 ；
＝1+ ﹣ ＝1 ，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
（1）猜想： ＝ ＝ ；
（2）归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）应用：计算 ．
【答案】（1）1+ ﹣ ；1
（2） ＝1+ ﹣ ＝
（3）解：
＝
＝
＝1+ ﹣
＝1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴猜想： ＝1+ ﹣ ＝1 ；
故答案为：1+ - ，1 ；
⑵归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+ ﹣ ＝
【分析】（1）根据式子的规律，推出二次根式的的值即可。
（2）根据题目中式子的规律，很容易得出n的等式。
（3）将被开方数进行转化，化简为题目中符合代数式规律的式子，根据（2）求出的等式，进行计算即可。
35．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）若要化简 我们可以如下做：
∵3+2
∴ ＝ +1
仿照上例化简下列各式：
（1） ＝ 。
（2） ＝ 。
【答案】（1） +1
（2） ﹣
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴∵4+2 ＝3+1+2 ＝（ ）2+2× ×1+12＝（ +1）2，
∴ ＝ ＝ +1；
故答案为： +1；
⑵∵13﹣2 ＝7+6﹣2 ＝（ ）2﹣2× × +（ ）2＝（ ﹣ ）2，
∴ ＝ ＝ - ．
故答案为： -
【分析】根据题意可知，题目中将被开方数利用完全平方公式，转化为平方的形式，再进行开平方，根据这种规律，化简（1）和（2）的式子即可。
36．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）像（ +2）（ ﹣2）＝1、 ＝a（a≥0）、（ +1）（ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简： ；
（2）计算： + ；
（3）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小，并说明理由．
【答案】（1）解： ＝ ＝
（2）解： +
＝2+ +
＝2+2 +
（3）解： ﹣ ＜ ﹣，
理由：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ， ，
∴ ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ﹣ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意可知，题目中思想为利用平方差公式进行二次根式的化简，根据化简方法，进行化简即可；
（2）将二次根式的分母进行有理数因式，去除分母中的根号进行计算即可。
（3）将代数式化为有理化因式的形式，进行大小的比较。
37．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝ ，则把x±2 变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵3+2 ＝1+2+2 ＝12+（ ）2+2×1× ＝（1+ ）2
∴ ＝ ＝1+ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：∵5+2 ＝3+2+2
＝（ ）2+（ ）2+2× ×
＝（ + ）2，
∴ ＝ ＝ +
（2）解：∵7﹣4 ＝4+3﹣4 ＝22+（ ）2﹣2×2× .
＝（2﹣ ）2，
∴ ＝ ＝2﹣
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据题意可知，将二次根式利用完全平方公式的形式进行转化，对平方进行开方求值的思想，分别对（1）和（2）中的两个式子，采用题目所述方法，将被开方数化为平方，进行开平方，化简求值。
38．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】（1）解：∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
＝
＝
（2）解：当x＝20时，这个三角形的周长是：
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长公式，将三边的长相加求和，根据二次根式相加减的性质进行计算。
（2）根据题意可知，二次根式进行求值后，为整数，根据题意选择合适的x的值，求三角形的周长即可。
39．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 ＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6 ＝（m+n ）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【答案】（1）m2+5n2；2mn
（2）8；2；1；1
（3）解：∵a+6 ＝（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴a＝28或12
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：⑴∵a+b ＝（m+n ）2，
∴a+b ＝m2+5n2+2mn ，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn。
⑵8+2 ＝（1+ ）2，
故答案为：8；2；1；1。
【分析】（1）将等号右边的式子根据完全平方公式展开，根据等号两侧的式子相等，即可得到a和b分别表示的代数式；
（2）根据（1）中的结论，可以根据a和b分别与mn之间的关系，写出一组符合条件的数字。
（3）将等号右边的式子展开，求得mn的值，根据题意，m和n为正整数选择几个可能的值进行计算a的值即可。
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