2024年中考复习数学专项练习--圆综合压轴题（含解析）

2024年中考复习数学专项练习--圆综合压轴题
1．如图，四边形内接于，，交于点．已知的半径为，，．
(1)求的度数；
(2)求的长；
(3)①当时，求的面积；
②当的面积最大时，直接写出的值．
2．已知：中，是的外接圆．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若为在上一动点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：；
(3)如图3，若，过点作交于点．点是线段上一动点（不与重合），连接，求的最小值．
3．如图，为的直径，点都在上，且平分，交于点．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的半径；
(3)于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
4．已知，是圆O直径，C、D为上的点，且，连接．
(1)如图1，求证：（用两种方法证明）；
(2)如图2，若连接，使，与的延长线交于点F，
①判断直线和圆O的位置关系，并给出证明；
②当时，求圆O的半径．
5．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)过点E作，垂足为H，求证：；
(3)若，求的长．
6．如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和， 的延长线交于点D，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．
7．如图，是圆O的直径．菱形交于点C，E，连结，．
(1)求证：；
(2)若，，求和的长．
8．如图，在中，，以为直径的交边于点，交边于点过点作的切线，交于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
(3)若，，求的半径．
9．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：点B在上．
(2)当点D移动到使时，求的值．
(3)当点D到移动到使时，求证：．
10．已知：四边形内接于，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接并延长交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下， ，的面积等于30，求半径的长．
11．如图，在中，，过点作，连接，的外接圆交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，记．
①请写出关于的函数表达式．
②当，则面积的取值范围是______．
12．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
13．如图，已知锐角三角形，点A在三角形内，，，．作的外接圆，交于点F，连接，．
(1)求证：．
(2)若，，
①求的取值范围．
②求的面积S的取值范围．
14．如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点E．若．

(1)求证：．
(2)当时，求：
①的值；
②的长．
15．如图，为的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，若，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3)①的面积为；
②当的面积最大时，．
【详解】（1）解：连、，
、是半径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
．
（2）解：作于点，
由得，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
设，
，，，
，，
，，
．
（3）①解：在的基础上作，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
，，
．
②解：
由得：，
则要使最大，取值应最大，
最长为直径，
，
即，
最大值为，
此时
，
故最大时，．
2．(3)6
【详解】（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）如图，连接，过点B作于点G，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）过点B作于点E，
∵，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∵，，
∴，，
解得，
∴，
∴，
过点F作于点P，延长到点N，使得，
则，
∴，，，
过点N作于点G，交于点D，根据垂线段最短，得到点N到的最短距离为，
∵，
过点Q作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴只需求的最小值，
故当Q与点D重合时，取得最小值，此时最小值为3，
∴
故的最小值为6．
3．(1)等腰直角三角形
(2)12
(3)
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：如图1，过点作于点，

为的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
如图2，过点作，交的延长线于点，

四边形内接于圆，
，
，
，
，，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
即．
4．(2)①直线和圆O相切，；②
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，
法一： ，
，，
，
，
在与中，
，
，
；
法二：，
，
，
O为的中点，
，
，
为的中点，，
是圆O直径，，
，
，
为的垂直平分线，
；
（2）解：①直线和圆O相切，理由如下：
如图，连接，并延长交于点H，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线和圆O相切；
②，
，
，
设，则，
，
解得：，
圆O的半径为．
5．(3)
【详解】（1）如图，连接，
∵以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接，
∴为直径，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；

（2）如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，

（3）∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∵，
∴
解得：，
∴
∴．
6．(1)为等腰直角三角形
(2)8
【详解】（1）为等腰直角三角形．
证明：平分， 平分，
，，
，，
．
．
是直径，
，
是等腰直角三角形．
（2）解：连接、、，交于点F．
．
．
．
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在Rt和Rt中，，
解得，
．
．
7．(2)，
【详解】（1）
如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴平分，
，
，
．
（2）
如图，连接，
是圆O的直径，
，，
，且．
在中，，，
．
作于G点，
则，
，
，
解得．
又∵，且，
，
，
．
8．(2)
(3)3
【详解】（1）连接，∵是⊙O的直径
，
，
，
．
（2）连接，
是⊙O的切线，D为切点，
．
，
．
又，
．
都在⊙O上，
，
．
（3），
．
，
，
，
，
．
又，
，
．
设⊙O的半径为r，
则，，
，，
，
解得，
即⊙O的半径为3．
9．(2)
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
10．(3)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长交于点E，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点E，连接，在上取点F，使，连接，过点A作于点G，过点B作于点K，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于30，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半径的长为．
11．(2)①；②
【详解】（1）证明：是的外接圆，，
是直径，，
，
；
（2）解：①连接，则，
由（1）得：，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
②，
，即，
，
面积，
当时，．
12．(2)
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是的切线．
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∵．
13．(2)①；②
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
②设，则，
，
∵，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线，
∴当时，S随x的增大而增大，
∴．
14．(2)①；②
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
②过O点作于H点，如图，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得（舍去），
∴，
∵，
∴，即，
∴．
15．(2)
(3)
【详解】（1）如图，连接，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是的切线．
（2）连接，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．