四川省宜宾市2023-2024学年高一上学期1月学业质量监测（期末）数学试卷（含答案）

2023年秋期宜宾市普通高中学业质量监测
高一年级 数学
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A．{1，3} B．{3，5} C．{1，5} D．{5，7}
2．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
3．函数则
A． B． C． D．9
4．角α的终边过点，则的值为
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
6．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
7．函数的图象恒过定点A，且点A的坐标满足方程，其中，，则的最小值为
A．7 B．6 C． D．
8．已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．下列式子中正确的是
A． B．
C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则
A．的最小正周期为π
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
12．已知函数则下列说法正确的是
A．当，时，
B．对于，，
C．若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为
D．函数有6个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为________．
14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”．如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是20%，那么甲“进步”的是乙“退步”的100倍需要经过的时间大约是________个月（四舍五入，精确到整数）（参考数据：，）．
15．已知，则________．
16．已知函数满足：．若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，________．
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
18．（12分）
已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）判断的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式．
19．（12分）
已知．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
20．（12分）
已知函数，且满足________．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数m的取值范围．
从①的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于π；②的两个相邻对称中心之间的距离为．这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
21．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举办．成都大运会吉祥物“蓉宝”以熊猫“芝麻”为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．成都大运会激发了全世界对“国宝”熊猫的喜爱，与熊猫有关的商品销量持续增长．现有某工厂代为加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶，已知该工厂代加工玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入a万元．现根据市场行情，该工厂代加工x万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元．
（1）求该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润y（单位：万元）关于代加工量x（单位：万件）的函数解析式；
（2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润最大？并求出利润的最大值．
22．（12分）
对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．
（1）判断函数是否为不动点函数，并说明理由；
（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．
2023年秋期高中教育阶段学业质量监测
高一年级 数学参考答案
一．选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B A C D C D BD ABD AD ACD
二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13． 14．11 15． 16．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）由解得，
所以，
当时，，
所以．
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为．
注：（1）和（2）问，如出现端点错误，只扣1分．
18．（本小题满分12分）
（1）由题意知，
所以，
经检验满足．
所以．
，，不妨设，
则，
因为，所以，，，
从而，
所以在R上单调递增．
（2）由题意，，
于是，解得，
所以实数t的取值范围为．
19．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得
，
因为，
所以，
所以．
（2）若，则，两边平方得，
经计算知，且
所以，
所以．
20．（本小题满分12分）
解：（1）
若选择①：
的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于π，则函数的最小正周期为，即，所以，
若选择②：
的两个相邻对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，即，
所以，
所以．
（2）由（1）知函数的最小值为，
因为关于x的方程在区间上有两个不同解，
所以当时，，
所以，
解得，
即实数m的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
解：（1）当时，
当时，
因为时，，解得
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，
又，
所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工“蓉宝”玩偶的利润最大，最大利润为95万元．
22．（本小题满分12分）
解：（1）假设为不动点函数，则，使得，
令，
易知函数在定义域内为增函数，
且，，
根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在唯一的零点，
所以为不动点函数．
（2）函数在区间上有且仅有两个不同的不动点，
所以方程在区间上有两个不同的解，
则，
令，因为在区间上单调递增，所以，
所以
要使，与在上有两个交点，则．
又函数在区间上有且仅有1个次不动点，
所以方程在区间上有唯一解，
则，，
令，在单调递增
要使，与在上有1个交点，则．
所以
经检验满足在区间上恒成立，
所以实数b的取值范围为．