江苏省盐城市2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含答案）

盐城市2023—2024学年度高二年级第一学期期末联考试卷
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．
1．直线的斜率为
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
3．已知等比数列满足，，则的值为
A． B． C． D．
4．已知函数在定义域内可导，的图像如下，则其导函数的图像可能为
A． B．
C． D．
5．若，，则与公切线的条数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若数列满足“对任意正整数m，n都有”，则称数列具有“性质P”．则
A．若数列具有“性质P”，则数列为等比数列
B．存在等比数列具有“性质P”
C．若数列为等差数列，则数列具有“性质P”
D．若数列具有“性质P”，则数列为等差数列
7．已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
8．设双曲线的两个焦点是，，过点的直线与的左支交于两点P，Q，若，且，则双曲线离心率的值为
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．
9．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标可能为
A． B． C． D．
10．已知中，，，，则关于下列说法中正确的有
A．某一边上的中线所在直线的方程为
B．某一条角平分线所在直线的方程为
C．某一边上的高所在直线的方程为
D．某一条中位线所在直线的方程为
11．已知数列的前n项和，则
A． B．
C．数列的前项和为 D．
12．若不等式在时恒成立，则实数a的值可以为
A． B． C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．请把答案写在答题纸的指定位置上．
13．请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程：__________________．（写出一个即可）
14．盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型刻画，其中r是该种群的内禀增长率，若，则时的瞬时变化率为_________．
15．已知，，，点M在直线上运动，则，的最大值为______________．
16．数列满足，，则____________．
四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
17．（本小题满分10分）
已知直线和圆．
（1）求与直线m平行且经过圆心C的直线n的方程；
（2）若直线l与直线m垂直且与圆C相切，求直线l的方程．
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱中，，，．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）设点平面，平面，求线段的长度．
19．（本小题满分12分）
已知正项数列是等比数列，、、成等差数列，．
（1）求的通项公式；
（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设函数，．
（1）求在处的切线方程；
（2）若在R上单调递增，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知点，，动点P满足．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点M，直线与轨迹C交于相异的两点A，Q，当点P不在x轴上时，分别记直线与的斜率为，，求证：是定值．
22．（本小题满分12分）
设函数，，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，是函数的两个零点，且，求的最小值．
盐城市2023—2024学年度高二年级第一学期期末联考
数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．
1．D 2．C 3．C 4．A
5．B 6．D 7．B 8．D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．
9．ABD 10．AD 11．AC 12．BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．请把答案写在答题的指定位置上．
13．（不唯一） 14．0.04 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
17．（本小题满分10分）
解：（1）圆C的方程可化为：，
故其圆心为，半径为，
直线m的方程可化为：，
因为直线n与直线m平行且经过圆心C，
所以由点斜式得其方程为，
即．
（2）因为直线l与直线m垂直，所以设其方程为，
化为，
因为直线l与圆C相切，故圆心C到直线l的距离，
即，
得或，
故直线l的方程为或．
18．（本小题满分12分）
解：（1）在直三棱柱中，，故以A为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
又、，故，，，，
则，，
则，，
故直线与所成角的余弦值为．
（2）因为点平面，所以设，
而，，
所以，，
因为平面，
所以，
得，故，
则，线段的长度为6．
19．（本小题满分12分）
解：（1）设正项数列的公比为，
、、成等差数列，，即①，
，②，
由②得或（舍），
代入①得，
故的通项公式为，
（2）由恒成立得恒成立，设，则，
则，
因为，所以恒成立，所以数列是递减数列，
所以，则，
故实数λ的取值范围为．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由得，
得，
又，故在处的切线方程为．
（2）若在R上单调递增，则恒成立且满足的点不连续，
由得，设，
则，
令得，令得，
则在上递增，在上递减，
故，
故实数a的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知点P的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为，
则，，
得，，
得点P的轨迹C的方程为．
（2）轨迹C的左右顶点分别为、，
分别设点P、Q、M的坐标为、、，
记直线与的斜率为、
则，
由点P在轨迹上知，故，
同理，
故，
所以是定值．
22．（本小题满分12分）
解：（1）由得，
当时，恒成立；
当时，令得，得，
令得，得；
综上，当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，是函数的两个零点，所以，
①②两式相减得，得，
①②两式相加得，
故，
设，则，，设，，
则，
设，，
则，
设，，
则在上恒成立，故在上递增，，
则在上恒成立，故在上递增，故，
则在上恒成立，故在上递增，
故，
即的最小值为．