重庆市第十一中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

重庆十一中高2024届高三上半期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．
1.已知集合P={x|x2 4},Q={x| 0},则集合P与Q之间的关系为( )
A. P∩Q= B. P Q C. P=Q D. Q P
2.已知=(1,2)，=( 4,t)，若//，则t=()
A. 2 B. 8 C. 8 D. 2
3.已知sin( x)=，则cos(+x)=()
A. B. C. D.-
4.5月11日是世界卫生组织确定的“世界防治肥胖日”。“511”，谐音梗是“我要1”，最后的那个“1”代表苗条， 通俗地讲就是“我要瘦”、“我要腰”。某志愿者组织社团在山东和河北随机选择两个街头抽测市民的身体肥胖状况，得到下表：
男性肥胖比例(％) 女生肥胖比例(％)
山东 24.7 15.3
河北 27.9 18.7
定义总肥胖率为抽测中男女肥胖人数之和与抽测的总人数之比，则下列说法中错误的是()
A. 河北抽测点的男性肥胖比例和女性肥胖比例都分别高于山东抽测点.
B. 两地抽测点的男性肥胖比例都分别高于其女性肥胖比例.
C. 若山东抽测点的样本中男性肥胖人数和女性肥胖人数相同，则山东抽测点的肥胖率为20％.
D. 山东抽测点的肥胖率可能高于河北抽测点的肥胖率.
5.函数f(x)=x+sinx的图象大致为()
A. B.
C. D.
6.若函数f(x)=x2 ax a的两个零点均在区间( 1,1)内且不相等，则a的取值范围是()
A. ( 2,2) B. (0,) C. ( 4,0) D. ( 4, 3)
7.函数f(x)=(x3+2x2)ex，x∈( ∞, 14]的最大值为()
A. B. 8 C. D.
8.在△ABC中，4cos2B cos2C=3，BC=4，则△ABC面积的最大值为()
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的有()
A. 若α终边上有一点P(4, 3)，则sinα=
B. 若一扇形弧长为2，圆心角为60 ，则该扇形的面积为
C. 已知△ABC中，若sinAcosA=sinBcosB，则△ABC为直角三角形
D. 函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位得到y=cos(x+)的图象
10.下列命题中，正确的有()
A. 若x<0，则x+ 2 B. 若x>1，则x+ 3
C. 若x>0，则x3+ 2x D. 若a>b，则<
11.已知函数g(x)满足：①g(x+2)的图象关于直线x= 2对称;
② x1x2∈(0,3)且x1≠x2，<0;
③ x∈R，g(x+6)=g(x)+5g(3).则下列结论正确的有()
A. g(x)是偶函数 B. g(x)在(6,9)单调递增
C. g(3)=0 D. g(x)的最小正周期为6
12.已知椭圆C:，F为右焦点，P为椭圆外一点，过点P作椭圆C的切线PA、PB，其中A、B为切点，则下列说法正确的有()
A. 若P为直线x=4上的动点时，则AF⊥PF
B. 若P为直线x=4上的动点时，则A、F、B三点共线
C. 若P为直线x=4上的动点时，当R为直线PA上不同于P、A的任意点，过R作RS⊥AF，S为垂足，R在直线x=4上的投影为T，则不为定值
D. 当P为椭圆外任意点时，则∠PFA=∠PFB
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数f(x)=asin3x bx+2(a、b∈R)，已知f( 1)=3，则f(1)=__________.
14.电影《坚如磐石》《志愿军： 雄兵出击》《莫斯科行动》正在火爆上映.小明和小东均计划在周末去看其中的一场电影，则他们刚好都看了同一部电影的概率是__________.
15.将函数f(x)=sin(4x )的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍(纵坐标不变)，再向左移动个单位得到函数g(x)的图象，若g(x1)=g(x2)，16.椭圆(a>b>0)的焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，△PF1F2的重心、内心分别为G和I，若直线IG平行于x轴，则椭圆的离心率为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知函数f(x)=cos(2x )，g(x)=2sin(x )sin(x+)+1
(1)当x=时，求f(x)的值;
(2)h(x)=f(x)+g(x)，当x∈(0,)时，h(x) m恒成立，求实数m的范围.
18.强基计划主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科成绩拔尖的学生。强基计划招生成绩主要由高考成绩和校测复试成绩两部分组成，校测复试需要在高考成绩和综合素质评审通过的基础上才能参加。据统计2023年某大学强基计划招生考试中，有15000名考生通过了高考成绩和综合素质评审，进入了校测复试环节.现随机统计入围复试考生中100名考生的高考成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示：
(1)根据频率分布直方图，估计该校入围复试考生的高考成绩中位数;
(2)该校复试共三道题，第一题和第二题考生每答对一道题得30分，答错得0分，第三题考生答对得40分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩。已知某考生进入该校复试，他在复试中答对第一题和第二题的概率均为，第三题答对的概率为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望.
19.如图，圆台O1O2上底面半径为1，下底面半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC=BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1//BC.
(1)证明：O1O2//平面PAC;
(2)若三棱锥O1 ABC的体积为，求直线AO1与平面PBC所成的正弦值.
20.△ABC中,∠BAC=,M在边BC上,且AMAC,AM=1
(1)若BM=时,求△ABM的面积;
(2)求+的最大值.
21.在平面直角坐标系中，双曲线E的一条渐近线方程为y=，它的一个焦点F的坐标为(2,0)
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)过点F且不与坐标轴平行的直线l与E的右支交于A、B两点，P为AB中点，直线OP与过点F且垂直于l的直线交于Q点，与E的右支交于R点，求证：|OR|2=|OP| |OQ|.
22.已知函数f(x)=2cosx(sinx+1)，x∈(0,π)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=f(x) 2cosx+m|lnx|，当m<0时，判断g(x)的零点个数，并证明你的结论.
重庆十一中高2024届高三上半期期中考试
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C A B C B AD ABC ACD ABD
题号 13 14 15 16
答案
17.解：(1) f()==；
(2) h(x)=(2x-)+2(x-)(x+)+1
=2x+2x+(x-x)(x+x)+1
=2x+2x+x-x+1
=2x+2x-2x+1=(2x-)+1
当x(0,)时,2x-(-,)，h(x)2，
m2.
18.解：(1)因为前两个矩形的面积之和为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5,
前三个矩形面积为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5
所以中位数在(630,640)之间,设中位数为x，
则10×(0.01+0.03)+(x-630)×0.04=0.5，
解得x=632.5,故中位数为632.5；
(2)由题Y的取值是:0,30,40,60,70,100,
则P(Y=0)===;
P(Y=30)===;
P(Y=40)===;
P(Y=60)==
P(Y=70)===;
P(Y=100)==
所以,Y的分布列为:
Y 0 30 40 60 70 100
P
所以,数学期望为E(Y)=0+30+40+60+70+100=56.
19.(1)证明：取AC中点M,由题意,=1，BC=AB=2,
又BC，故BC.又MBC且MBC,故M,
所以四边形PM为平行四边形，则PM.
又PM面PAC，平面PAC,
故平面PAC；
（2）解:=ACBC=22=2,
又平面ABC,
所以三棱锥-ABC体积V==.
所以=2.
以为坐标原点,,,的方向为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则有:A(-,0,0)，B(,0,0)，C(0,,0)，P(-,,2)，(0,0,2).
=(,0,2).
设平面PBC的法向量=(x,y,z)，=(-,,0)，=(-,-,2).
,
令z=1,得=(,,1).
设所求角的大小为,则=|<,>|===.
所以直线与平面PBC所成角的正弦值为.
20.解：（1）由余弦定理,=+-2ABAM
=+1-AB，-2AB-3=0
AB=，ABM=ABAM=
（2）设ABC=，ACB=-
ABC中，=
=2
ACM中,=
=2(-)
+=+2(-)=(+)
0<<+(,)
当+=，即=时，+的最大值为1.
21.解：（1）双曲线E的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点F的坐标为(2,0)，
,解得,
双曲线E的标准方程为-=1
(2) 由题意知直线1斜率存在且不为0, 设直线1的方程为x=ty+2，t0,
联立，可得(-3)+4ty+1=0，则-30且=12(+1)>0
设A(,),B(,),P(,)，
则+=；=； =，
则=+2=
则P(,)
则QP:y=x代入-=3,得=
直线l的方程为x=ty+2,FQ的方程:x=-y+2,=
设OP的倾斜角为,则OP=;OQ=;OR=
所以=OPOQ=得证;
22.解：（1）因为f(x)=2x+2x，x(0，)，
所以，
令得，解得或，
令得，解得，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：由题意知g(x)=sin2x+m|x|，m<0，
①当时，，
则，
因为在上单调递减，且，
（ⅰ）若，则，
所以g(x)在上单调递增，
又，，
所以g(x)在上有唯一零点；
（ⅱ）若，
则，
又，
所以存在，使得，且当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以g(x)在上有唯一零点；
综上，g(x)在上有唯一零点；
②当时，，
因为，
所以g(x)在上单调递减，
又，
所以g(x)在上有唯一零点；
③当时，，
因为，则，
所以在上无零点，
综上，当m<0时，g(x)在上有且只有两个零点.