2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济南市高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
3.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
6.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为( )
A. B. C. D.
7.“”是“直线与圆：相切”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 既是充分条件又是必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
8.设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点．，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴的截距是
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且倾斜角为的直线方程为
10.如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点点不与点，重合，过点作平面分别与棱，交于，两点，若，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 存在点，使得平面
C. 存在点，使得点到平面的距离为
D. 用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则( )
A.
B. 延长交直线于点，则，，三点共线
C.
D. 若平分，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为______．
13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是______ ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是______ ．
14.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，，设，分别是，的中点，则平面截球所得截面的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，且圆心在直线上
求圆心的坐标；
若圆与直线相切，且与圆：相外切，判断是否存在符合题目要求的圆．
16.本小题分
已知两条直线：，：
若，求的值；
若，求，之间的距离．
17.本小题分
已知数列满足，且点在直线上．
求数列的通项公式；
数列前项和为，求能使对恒成立的的最小值．
18.本小题分
如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，，，分别为，，的中点．
在线段上找一点，使平面，并说明理由；
若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．
19.本小题分
已知直线与抛物线：相切于点，动直线与抛物线交于不同两点，异于点，且以为直径的圆过点．
求抛物线的方程及点的坐标；
当点到直线的距离最大时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，解得．
故选：．
由椭圆的离心率公式即可求解．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，数列为等差数列，
因为，所以，所以，
所以．
故选：．
根据题意，利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在三角形中，，，，
记，
则，，
，
，
即．
故选：．
根据向量的数量积公式求得结果．
本题考查了平面向量数量积公式，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线，可能平行，相交或异面，故A错误，
对于，平面，可能相交或平行，故B错误，
对于，由直线与平面平行性质，分析可得C正确；
对于，平面，可能相交或平行，故D错误．
故选：．
根据题意，由线面平行性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查平面与平面的位置关系，涉及平面与平面、直线与平面平行的性质和应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，由，则，
由在直线：上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、、D错误，C正确．
故选：．
设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案．
本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，
设椭圆的方程为：，
由题意可得，，
将，代入方程，得，
因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，
令，得，
所以．
故选：．
建立直角坐标系，设该椭圆方程为，，由题意得出椭圆的方程，令，即可得出答案．
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆：相切”的充要条件．
故选：．
根据直线与圆相切可得，求解，即可得到结论．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，充要条件的判断，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为为的中点，所以为平行四边形，如图：
，又，
所以，；
，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以，所以．
故选：．
根据双曲线的对称性可知为平行四边形，根据双曲线的定义可知，；利用数量积可以求出，利用余弦定理可求出，即可求出离心率．
本题考查双曲线定义，方程和性质，数形结合的数学思想方法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当截距为时，可设直线方程为，
直线过点，
则直线为，
当截距不为时，可设直线方程为，
直线过点，
则，即，
故直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或，故A错误；
对于，直线在轴的截距是，故B错误；
对于，直线的斜率为，
则直线的的倾斜角为，故C正确；
对于，直线的倾斜角为，
则直线的斜率不存在，
直线过点，
故所求直线的方程为，即，故D正确．
故选：．
对于，分截距为，不为两种情况讨论，即可求解；
对于，结合截距的定义，即可求解；
对于，先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解；
对于，根据已知条件，推得直线与轴垂直，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：连接，，．
易得，，，．
对于，可得正方体中面，即可得平面，故A正确．
对于，可得面面，故AC不可能平行面故错．
对于，平面，且，所以存在点，使得点到平面的距离为，故正确．
对于，用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形，，四边形一定是梯形，故正确．
故选：．
连接，，易得，，，再结合正方体的性质即可判断．
本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题
11.【答案】
【解析】解：由题意知，点，，如图：
将代入，得，所以，则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
联立，得，解得，，
又时，，则，
所以，所以选项正确；
又，所以选项错误；
又知直线轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令，解得，即，在直线上，
所以，，三点共线，所以选项正确；
设直线的倾斜角为 ，斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得：，所以选项错误；
故选：．
根据题设和抛物线的性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和，又结合直线和直线得到点，即可判断选项；若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出．
本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，，，，
，
，
故答案为．
利用，两边平方即可求得的长．
本题考查求线段的长，考查转化思想的运用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；．
设圆锥的底面圆半径以及球的半径，用表示出圆锥的高和母线以及球的半径，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比．
本题考查几何体的体积的求法，球的体积的求法，是中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥的体积公式，考查了球的结构特征，及空间几何体的截面问题，属于中档题．
先求出球的直径，再利用等体积法求出点到平面的距离，进而求出截面圆的半径，即可求解．
【解答】
解：由题设知球心为中点，
所以球的直径，
所以，
所以球的体积，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
由题意可知，球心到平面的距离等于点到平面的距离，
在三棱锥中，由等体积法得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以截面面积为．
故答案为：．
15.【答案】解：由圆的圆心在直线上，可设圆心为．
圆与轴相切，半径．
又该圆截轴正半轴所得弦的长为，可得，
，解得．
因此，圆心为，半径．
圆的标准方程为；
设圆心为，圆与直线相切，且与圆：相外切，
则，
即，整理得．
，方程无解．
故圆不存在．
【解析】设圆心为，可得，再由垂径定理列式求得值，则圆的方程可求；
设圆心为，由半径相等可得关于的方程，由判别式小于，可知方程无解，即圆不存在．
本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】解：由于，所以；
当时，两条直线的方程分别为和，此时两直线不平行，不符合题意．
当时，
由于，所以，解得或舍去，
当时，两条直线的方程分别为和，，之间的距离为．
【解析】根据列方程，化简求得的值．
根据列式，化简求得，进而求得，之间的距离．
本题考查了两直线的位置关系，两平行线间的距离，是基础题．
17.【答案】解：由点在直线上得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
故，
即．
，
所以，
要使对恒成立，
则，
即，
又，
所以的最小值为．
【解析】根据等差数列的通项公式求得结果；
根据裂项相消求得，并结合不等式恒成立得出结果．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．
18.【答案】证明：取中点，的中点，
连接，，，如图，
在三棱柱中，易得且，
所以四边形为平行四边形，则，
又面，面，所以平面，
即存在的中点，使得平面；
解：由，可得为正三角形，取得中点，可得，
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，
又为等边三角形，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则由，令，可得，，即，
取平面的法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
【解析】取中点，的中点，连接，，，可证四边形为平行四边形，即可证明平面；
根据图形特点建立空间直角坐标系，利用两平面法向量夹角的余弦的绝对值可求得结论．
本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，属中档题．
19.【答案】解：直线与抛物线：相切，
联立，整理得，
，解得或不合题意，舍去，
当时，，解得，
，
故抛物线的方程为，点的坐标为；
显然直线的斜率存在，
可设直线的方程为，，，
联立，整理得，
则，，，
，且以为直径的圆过点，
，即，整理得，
，即，
，即或，
或，
当时，直线的方程为，即，
故直线过定点不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，满足，
即，
故直线过定点，
当直线与垂直时，点到直线的距离最大，
又，
，
故直线的方程为．
【解析】联立，根据，求出，即可得出答案；
由题意可设直线的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据以为直径的圆过点，可得，从而可求得，的关系，从而可求得直线所过的定点，再由直线与垂直时，点到直线的距离最大，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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