2023-2024学年云南省保山市文山州高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省保山市文山州高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则( )
A. B. C. D.
5.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图，其平面图为如图的扇形，已知，扇面曲边四边形的面积是，则( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.若，是方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象的一个对称中心为
D. 函数在上有个零点
11.已知，，且，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
12.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有当时，则下列结论正确的是( )
A. 函数是最小正周期为的周期函数
B. 当时，
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 函数在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数，则 ______ ．
14.函数的部分图象如图所示，则的解析式为______ ．
15.若不等式对任意恒成立，则的取值范围为______ ．
16.已知函数，则函数的定义域为______ ；
若，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ作出函数在的图象；
Ⅱ求方程的所有实数根的和．
18.本小题分
设．
Ⅰ将化为最简形式；
Ⅱ已知，求的值．
19.本小题分
已知函数，且．
Ⅰ若，解不等式；
Ⅱ若在上的最大值与最小值的差为，求的值．
20.本小题分
已知函数最大值为．
Ⅰ求常数的值；
Ⅱ求函数在上的单调递增区间．
21.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
Ⅰ求的值并利用定义证明函数的单调性；
Ⅱ若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
古人云：“北人参，南三七”，三七又被誉为“南国神草”，文山是三七的主产地，是“中国三七之乡”通过对文山某三七店铺某月天每天销售袋装三七粉的调查发现：每袋的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足日销售量单位：袋与时间单位：天的部分数据如下表所示：
Ⅰ给出以下四个函数模型：
；；；．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
Ⅱ设袋装三七粉在该月的日销售收入为单位：元，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，的否定是，．
故选：．
结合含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，或，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据必要不充分条件的定义求解．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，
所以，
则．
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，
因为，
所以，
则扇面曲边四边形的面积是，
所以．
故选：．
由题意利用扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，
解得，
因为，即或，
所以．
故选：．
由已知结合方程的根与系数关系及同角平方关系即可求解．
本题主要考查了同角平方关系的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
构造函数，，，，作出函数图象，
结合函数图象可知，．
故选：．
由题意得，，，，构造函数，，，，作出函数图象，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了函数零点的判断，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，显然错误；
当时，，则，B正确；
当时，，，即，C正确；
当时，，D错误．
故选：．
举出反例检验选项A；结合不等式的性质检验选项B，，．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象；
对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：当时，，故C正确；
对于：由于，故，故函数在该区间上有两个零点，故D正确．
故选：．
首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以，A正确；
，当且仅当时取等号，B正确；
，当且仅当时取等号，
所以，C错误；
，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由可知函数为奇函数，，可得，
所以函数的一个周期是，故A错误；
因为时，，时，，故B正确；
因为是奇函数，则关于点中心对称，
又函数的一个周期是，故关于点中心对称，故C正确；
当时，，则，即此时，
由，可得，
故，由复合函数的单调性可知此时单调递增，故D错误．
故选：．
根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性一一判定选项即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】．
【解析】解：因为为幂函数，
所以，即，
所以，．
故答案为：．
结合幂函数定义可求，进而可求函数解析式，然后把代入即可求解．
本题主要考查了幂函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由图可知，，，则，
则，
又，解得，
，，
故答案为：
根据函数的最大值求出，根据周期可得，再由五点作图法求出，可得函数的解析式．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式对任意恒成立，
令，，则对任意恒成立，
当，即时，则，显然成立；
当，即时，则，解得或，
；
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
题意转化为令，，则对任意恒成立，利用一次函数的性质，分类讨论，，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于函数，应有，即，
解得且，
故函数的定义域为；
若，则，
所以．
故答案为：；．
由题意得，解不等式即可求解函数定义域；然后结合函数的奇偶性可求函数值．
本题主要考查了函数定义域的求解，还考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：
若，则或，
若，则，
即的实数根为或或，
综上，所有实数根之和为．
【解析】根据二次函数与幂函数的性质作图即可；
直接解方程求和即可．
本题考查了分段函数的图象，函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想，属基础题．
18.【答案】解：Ⅰ；
Ⅱ已知，
所以，
所以．
【解析】Ⅰ利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解；
Ⅱ利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ当时，化为：，解得，
所以不等式的解集为；
Ⅱ当时，函数在上为单调递增函数，
则当时，，当时，，
所以，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，，
则，解得，
综上，实数的值为或．
【解析】Ⅰ代入的值，利用对数的运算性质即可求解；Ⅱ讨论，，得出函数的单调性，由此求出最值，然后建立方程即可求解．
本题考查了对数函数的性质，考查了学生的分类讨论思想的应用，属于基础题．
20.【答案】解：
，
故，
所以；
Ⅱ由Ⅰ得，，
令，，
解得，，，
故函数在上的单调递增区间为
【解析】Ⅰ先结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的最值即可求解；
Ⅱ结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
此时，，满足题意，
所以的值为．
证明：设，且，
则，
由，得，所以，，，
所以，即
所以是减函数；
Ⅱ因为是上的减函数，且为奇函数，
故不等式可化为，
所以恒成立，即恒成立，
因为，
所以，
即的取值范围是．
【解析】Ⅰ由奇函数的性质可得，从而可求得的值，并进行验证，利用函数单调性的定义证明即可；
Ⅱ由函数的单调性与奇偶性将不等式脱去“”，再利用参变量分离法，即可求解的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ由表格数据知：先递增后递减，显然模型均不符合；
故合适的模型为且，将数据代入可得，
，则，故G，
表格其他数据也满足上述函数式，
所以．
Ⅱ由题设，当，
当且仅当时等号成立，此时最小值为元；
当单调递减，故最小值为元；综上，的最小值为元．
【解析】Ⅰ根据表格数据变化趋势判断合适模型，再将数据代入求参数，即可得函数解析式．
Ⅱ由，应用基本不等式、分式型函数的单调性求最小值即可．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
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