2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
2.以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处可导，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，，则数列前项的积为( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆：的一条切线，切点为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知直线：与直线：相交于点，则到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的有( )
A. B.
C. D.
10.下列说法不正确的有( )
A. 点满足，则点的轨迹是一个椭圆
B. 经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条
C. 过双曲线右焦点的直线交双曲线于、两点，则
D. 直线的倾斜角的取值范围是
11.已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有( )
A. 是递减数列 B.
C. D. 使成立的的最小值为
12.如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，设，，，，已知，，成等差数列，公差为，则( )
A. ，，成等差数列
B. 若，则
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线的离心率为______ ．
14.若是与的等差中项，是与的等比中项，则 ______ ．
15.设函数的导数为，且，则 ______ ．
16.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
过点作曲线的切线，求的方程．
18.本小题分
已知等差数列的公差与等比数列的公比相同，，为数列的前项和，．
求和的通项公式；
记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列相同的数排列两次，求数列前项的和．
19.本小题分
已知数列满足
求数列的通项公式；
记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离是．
求抛物线的方程；
已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值．
21.本小题分
已知数列满足：，且设．
证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
令，求函数在处的导数．
22.本小题分
已知点在椭圆：上，椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
若不过点的直线：交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，求面积的取值范围为坐标原点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在等比数列中，，
，
又，
，
．
故选：．
由等比数列的性质可知，再由求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：椭圆的焦点坐标为，两个长轴端点为，
双曲线的顶点为，焦点坐标为，
即，，
则，
双曲线的方程为．
故选：．
借助题目条件，将双曲线的、求出即可．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合极限的几何意义，即可求解．
本题主要考查极限的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：数列满足，，
，
，
，
，
故数列是周期为的数列，且前四项为：，，，；
数列前项的积为：．
故选：．
根据数列的递推关系式求得数列的周期，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：数列满足，且，
即数列是首项为，公差为的等差数列，
，
又数列满足，且，
故，
，
，
，
，
，
，时，等号成立；
又为正整数，时，，
时，．
的最小值为．
故选：．
先根据等差数列的性质求得，再结合累加法求得数列的通项公式，结合不等式的性质即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的性质以及计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆：的一条切线，切点为，
所以，
设，，
又，
则，
故当时，取最大值：，
故的最大值为．
故选：．
根据切线段的性质得到，再结合椭圆的参数方程即可求解结论．
本题主要考查圆的切线性质以及椭圆的参数方程，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，，，
当时，显然符合题意，此时，
当时，
则，解得，，，
．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式对是否为进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：联立，解得，，
即，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
所以
故选：．
两条直线联立，可得点的坐标，可得到直线的距离的表达式，由的范围，可得的范围．
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：点满足，
其几何意义为到两定点、距离和为的的轨迹，
则点的轨迹是一个椭圆，故A正确；
经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条，一条是，一条是，另一条斜率存在与抛物线相切，故B错误；
过双曲线右焦点的直线交双曲线于、两点，不一定是通径长最短，如，实轴长最短，故C错误；
直线的倾斜角，则，则倾斜角的取值范围是，故D错误．
故选：．
由椭圆的定义判断；分析经过点与抛物线相切的直线条数判断；由双曲线的性质判断；求出直线倾斜角的范围判断．
本题考查圆锥曲线的定义及性质，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：等差数列中，若，
则，
即，
所以是递减数列，A正确；
由，可得，
又，
所以，，
因为，
所以，
所以，B错误；
因为，，，
所以时，取得最大值，C正确；
因为，
，即成立的的最小值为，D正确．
故选：．
由已知结合等差数列的单调性，求和公式及性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，由椭圆定义可知：，，
又，，成等差数列，故，，
则，则，则，，
又，
故，故A正确；
选项，若，此时，，故，且，
设，因为直线斜率一定不为，
设直线为，与联立得：
，即，
则，，
因为，所以，，
联立解得，故，，
由弦长公式可得：，
所以，平方得：，
其中，
故，解得：，即，
由可得：，
整理得：，即，
故，解得：或，
因为，所以舍去，，不正确；
选项，设椭圆上一点，
其中椭圆左右焦点分别为，，
下面证明，，
过点作上椭圆的左准线于点，作椭圆右准线于点，
则由椭圆的第二定义可知：，
其中，，
则，，
故，故，
，，
所以，D正确．
选项，设直线为，由得：，故，C错误．
故选：．
选项，由椭圆定义及，，成等差数列，得到，则，，又，故，A正确；选项，在选项基础上得到，，故，且，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由弦长公式得到，联立得；由焦半径公式推导出，判断选项；在的基础上，得到，判断．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：双曲线方程为，
，，，
该双曲线的离心率为．
故答案为：．
根据双曲线的几何性质直接求解．
本题考查双曲线的几何性，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：是与的等差中项，
，即，
又是与的等比中项，
则，
，
，即．
故答案为：．
根据等差中项与等比中项的性质得到，的值，再结合完全平方公式即可得到结果．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
则，
所以，即，解得，
故，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，焦点，
设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，
设，则，
由，知，
联立两式，消去可得，
令，则，满足上式，
所以，
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
设，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为．
故答案为：．
设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解．
本题考查抛物线中的取值范围问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
17.【答案】解：由，得，
，
在点处的切线方程为，即；
设切点坐标为，
则过切点的切线方程为，
把代入，可得，
整理得：，即．
直线的方程为：．
【解析】求出原函数的导函数．
直接求出函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案；
设切点坐标，写出过切点的切线方程，代入已知点的坐标，求出切点横坐标，进一步得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，明确在某点处与过某点是解决问题的关键，是中档题．
18.【答案】解：设数列的公差为，数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，．
由知，，
所以数列和均为增数列，
而，，，，
所以数列的前项中包含数列的项，数列的项，
所以．
【解析】利用等差数列的求和公式，求得公差即公比，再由等差、等比数列的通项公式，即可得解；
结合数列的单调性，可得数列的前项中包含数列的项，数列的项，再求和即可．
本题考查数列的通项公式与前项和求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与求和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：已知数列满足，
则当时，，
即当时，，
即，，
又满足上式，
即；
由可得，
则，
又对任意的正整数都成立，
则对任意的正整数都成立，
即，
即或，
即实数的取值范围为．
【解析】由已知可得当时，，即，，又满足上式，得解；
由可得，则，然后解不等式即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．
20.【答案】解：易知抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为，
不妨取，
此时，
而点到直线的距离，
解得，
则抛物线的方程为；
由知，直线的方程为，
易知直线斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
此时，
因为点为线段的中点，
所以，
即，
此时的中垂线的方程为，
令，
解得，
即，
所以，
此时，
故当且仅当时，取得最小值，最小值为．
【解析】由题意，先得到抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式再进行求解即可；
设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式列出等式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：，且，，
，，
，，
数列是以为首项，公比为的等比数列，
，；
，
，
，
即，
设，，
两式相减可得，
，
．
【解析】根据递推公式及等比数列的定义与通项公式，即可证明与求解；
根据错位相减法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查根据数列递推公式求数列通项公式，错位相减法求和，属中档题．
22.【答案】解：因为点在椭圆且椭圆的离心率，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
联立，消去并整理得，
此时，
不妨设，，
由韦达定理得，，
因为
，
所以，
即，
因为，，
所以，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不符合题意；
所以，
此时直线的方程为，
而，
所以，
则，
而点到直线的距离，
则面积
，
当且仅当时，，
当时，，
故面积的取值范围为．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；
将直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理、斜率公式以及题目所给信息列出等式求出的取值，再分类讨论即可推出直线的方程，根据弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页