2023-2024学年四川省泸州市叙永一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省泸州市叙永一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数在上是减函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设，若关于的不等式在上有解，则( )
A. B. C. D.
6.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.年月日时分，长征二号遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米秒，则至少约为结果精确到，参考数据：，( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
8.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 的定义域为 B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数 D. 无最小值，无最大值
11.已知函数在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是( )
A. 在区间上有且仅有个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
12.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，且，则 ______ ．
14.如图，正六边形的边长为，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则，，围成的阴影部分的面积为 ．
15.已知是第二象限的角化简：的值为______ ．
16.已知正实数，满足，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
集合，．
若，求实数的取值范围；
当时，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知角是第三象限角，．
求，的值；
求的值．
20.本小题分
为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量单位：与时间单位：的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
求的值；
若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21.本小题分
已知函数，且函数图象中相邻两条对称轴间的距离为．
求的值及函数的单调递增区间；
当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值．
22.本小题分
已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足．
Ⅰ求函数，的解析式；
Ⅱ若函数，且方程恰有三个解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先求出，再由交集的定义求出．
【解答】
解：全集，，，
，
则．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：命题“，使”是假命题，
则，，
所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：．
由题意可知，，，再结合判别式，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由可得或，
当时，由基本不等式可得，当时，等号成立；
当时，，，由基本不等式可得，所以充分性满足；
当时，设，
则有，由对勾函数的性质可得，即，可得，所以必要性满足．
故“”是“”的充要条件．
故选：．
由可得或，从而可得；由，可得，进而可得，即可得答案．
本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：幂函数 在上是减函数，则，且，
求得，故，故，
故选：．
由题意利用幂函数的定义和性质可得，且，由此求得的值，可得的解析式，从而求得的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知不等式转化为在上有解，
只需，
又函数在上单调递增，所以当时，，
所以，
故选：．
由已知不等式转化为在上有解，只需，然后根据对勾函数的性质求出最大值即可求解．
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数的草图，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】
解：定义在的奇函数在单调递减，且，
的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为当时，千米秒，
所以，所以，
所以，
当吨，千米秒时，有，所以吨．
故选：．
把，千米秒，代入函数式中可得，再代入吨，千米秒，即可求得的值．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到，
再把所得的图象向左平移个单位长度，得到，
然后再把所得的图象向下平移个单位长度，得到函数的图象，
即，
，
若，则必有，
由，得，
即，得，，
，
，，，，
，，若的最大值，则必有最大，最小，
则当时，最大为，当时，最小为，
则的最大值为，
故选：．
根据三角函数的图象变换关系求出，结合函数的最值得到，然后结合最值性质求出，的值进行计算即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，结合函数最值是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据集合与元素间的关系可得，，，均正确，而，
故选：．
根据集合与元素间的关系以及空集的定义可解．
本题考查集合与元素，集合与集合间的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，故A错误；
对于，，故为奇函数，故B正确；
对于，法：，同理得，，在定义域上不是减函数；
法：在单调递减，在单调递减，
当，，时，，当时，，，，
所以在定义域上不是减函数，故C错误；
对于，由上面的分析知，的值域为，
所以无最小值，也无最大值，故D正确；
故选：．
分析的定义域、值域、奇偶性及单调性可得答案．
本题考查函数的定义域、值域、奇偶性与单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数，
令，则，
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，
则，，，，
即，
，故C正确；
对于，，
，
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；
对于，周期，由，则，
，
又，所以的最小正周期可能是，故B正确；
对于，，，
又
又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误．
故选：．
令，则，由函数在区间，上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性质可依次判断．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，均为正数，且，
由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即，时等号成立，故A选项错误；
，当且仅当即时，等号成立，故B选项正确；
，，
结合二次函数的性质可知，，故C选项正确；
，故D错误．
故选：．
根据，，且，结合基本不等式即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
将平方，利用完全平方公式化简，并将已知方程代入即可．
本题考查有理数指数幂的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接，，则是边长为的等边三角形，
所以的面积，
因为正六边形，所以，
所以扇形的面积为，
由割补法可知，阴影部分的面积．
故答案为：．
连接，，由割补法可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积，得解．
本题考查扇形的面积公式，熟练掌握割补法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为是第二象限的角，
所以．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查代数式的最小值的求法，考查导数性质、基本不等式、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
构造函数，由，得在上是增函数，由
，得到恒成立，由此能求出的最小值．
【解答】
解：构造函数，则，
在上是增函数，
，
恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
故答案为：．
17.【答案】解：
；
．
【解析】利用指数运算公式化简即可；
利用公式化简即可．
本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题．
18.【答案】解：集合，．
当时，则，可得时，满足．
当时，，即时，要使成立，
需，
可得，
综上，的取值范围是．
【解析】根据集合的运算，，对讨论，即可求实数的取值范围；
根据，建立关系式，即可求实数的取值范围．
本题考查了集合中基本运算，属于基础题．
19.【答案】解：是第三象限角，且，
，
则，；
．
【解析】由为第三象限角，且的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出，的值；
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可知，故；
因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，
解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
【解析】把代入即可求得的值；
根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意可得，
，即，
即，
由，，
得，，
则的单调递增区间为．
因为，
所以，
所以当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值．
【解析】由题意可求函数周期，进而利用周期公式即可求解的值，利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；
利用函数的定义域求出函数的值域，进一步即可求出函数的最值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22.【答案】解：Ⅰ因为是偶函数，是奇函数，
且，
又因为，，
所以，
即，
由解得，
解得；
Ⅱ所以，
所以，
所以，，
作出的图象，如图所示：
又因为方程恰有三个解，
即方程恰有三个解，
所以恰有三个解，
解得或，
又因为，
所以的图象与的图象有个交点且与有一个交点，
所以，解得．
所以实数的取值范围为
【解析】Ⅰ根据奇函数、偶函数的性质求解即可；
Ⅱ先求得，，作出图象，将问题转化为的图象与的图象有个交点且与有一个交点，结合图象列出不等式组，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
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