2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点，，，共面的是( )
A. B.
C. D.
4.已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.番禺图书馆新谊是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所在一段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为，乙前往图书馆新馆的频率为，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是( )
A. B. C. D.
6.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于，两点均异于点若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.蜜蜂是母系社会生物蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的如图是某只雄蜂的家系图，规定：其“父母”为上溯第代祖辈，其“祖父母”为上溯第代祖辈，以此类推记表示该雄蜂上溯第代的祖辈数量，例如那么，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小正周期为
C. 点为函数图象的一个对称中心
D. 函数的最大值为
11.已知为坐标原点，点，动点满足，是直线上的点，下列结论正确的是( )
A. 点的轨迹是圆 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D.
12.过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，则( )
A. 以线段为直径的圆与轴相切
B. 的最小值为
C. 当时，直线的斜率为
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.等比数列中，，，则______．
14.已知圆：，过点作圆的切线，切点为，则 ______ ．
15.在棱长为的正四面体中，是的中点，则 ______ ．
16.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，然后将下半部分几何体的侧面展开若该平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则该平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的值；
若，求的面积．
18.本小题分
某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了位客户进行调查、经统计，这位客户去年到该超市消费金额单位：万元均在区间内，按，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求该频率分布直方图中的值，并估计这位客户去年到该超市消费金额的平均数；同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表
为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取人进行电话访谈，再从访谈的人中随机抽取人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有人来自区间的概率．
19.本小题分
已知数列是一个首项为，公比为的等比数列，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若数列的前项和，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在直三棱柱中，是上的一点，且平面．
求证：；
若，，为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值．
求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，其中若，，恰好构成等比数列，求的值．
22.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的定义域；
当时，判断函数的奇偶性并证明；
给定实数且，试判断是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值用表示；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：空间中的四点，，，共面，只需满足，且即可，
对于，，其中，所以四点，，，不共面，故A错误；
对于，，其中，所以四点，，，不共面，故B错误；
对于，，其中，所以四点，，，不共面，故C错误；
对于，，其中，所以四点，，，共面，故D正确．
故选：．
空间中的四点，，，共面，只需满足，且即可，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了空间向量共面的判定定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：直线的一个方向向量为，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，即．
故选：．
根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式解方程即可．
本题考查直线方程、直线的方向向量、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设事件表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件表示“乙同学前往图书馆新馆”，
则，，
在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是：
．
故选：．
设事件表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件表示“乙同学前往图书馆新馆”，则，，利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如下图所示：
连接、，设，
由对称性可知，为的中点，，
因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，
故为的中点，
又因为，且、互相垂直且平分，
所以，四边形为正方形，
则，
所以，
所以，该双曲线的离心率为．
故选：．
作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
，
则可设，其中，，其中，
根据图中可知直线和直线为异面直线，
若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小，
根据异面直线公垂线的定义知，，
，，，，
则，则，，
解得，满足，范围，
则此时，
则．
故选：．
以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，，，，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，考查异面直线距离定义以及空间两点距离公式，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
当时，，
对于，，故A错误；
对于，，
，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，
，故D错误．
故选：．
由题意可得，，当时，，从而利用次性质，结合作差法对选项一一进行判断即可．
本题考查数列的递推公式，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设数列的公差为，
由，，得，解得，
，故选项A，B正确；
，故选项C错误；
，，
，故选项D正确．
故选：．
设数列的公差为，根据等差数列基本量的计算求出和，再结合等差数列的通项公式与前项和公式判断各个选项即可．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数
，
因为不是偶函数，图象关于轴不对称，A错误；
由知，的最小正周期为，故B正确；
由，
点不是函数图象的一个对称中心，C错误；
由，的最大值是，D正确．
故选：．
化函数为正弦型函数，再依次判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设，则，即，
所以点轨迹是圆，此圆圆心为，半径为，是圆的一条直径．
因为点到直线的距离为，
所以直线与圆相离，所以无最大值，最小值为，
由于已知直线与以为直径的圆相离，，因此ACD正确．
故选：．
设，由数量积的坐标表示求出点轨迹方程，再利用直线和圆的位置关系求解，判断各选项．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，，
中，由抛物线的性质可得弦长，所以的最小值为，当且仅当，即直线与对称轴垂直时取等号，所以B正确；
中，由题意可得的中点坐标，可得到轴的距离，所以可得以为直径的圆与轴不相切，所以不正确；
中，因为，所以D错误；
中，当时，即，而，可得，，又，可得，可得，所以直线的斜率，所以C正确．
故选：．
由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，中，由抛物线的性质可得弦长的表达式，将两根之和代入可得的最小值，判断的真假；中，求出的中点的坐标，再求点到轴的距离，可等于弦长的一半，可得以为直径的圆与轴相切，判断的真假；中，由抛物线的性质求出的表达式，将两根之和及两根之积代入，可得其值，判断的真假；中，由向量的关系，可得，的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积，可得参数的值，再求直线的斜率的值，判断的真假．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：在等比数列中，由，，得，
．
故答案为：．
有已知求出，再由得答案．
本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．
14.【答案】
【解析】解：因为圆：，
所以圆心，半径，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
利用勾股定理求解即可．
本题考查直线与圆相切，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在正四面体中，所有的棱长都为，且各个面都是正三角形，
因为为的中点，所以，
则
．
故答案为：．
利用正四面体的性质以及空间向量的数量积的运算性质化简即可求解．
本题考查了空间向量的数量积的运算性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由在一个周期上图象如图，
其最大值与最小值相差，即截面的最高处与最低处的高度差为，
底面周长为，即底面半径为，故直径为，
所以平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是．
故答案为：．
根据已知画出在，上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值．
本题考查了圆柱的展开图及最短距离问题，属于中档题．
17.【答案】解：由及正弦定理，
可得，
又，所以，
又，则，
所以；
由，，及余弦定理，
可得，
即，
解得，，
所以．
【解析】由已知及正弦定理，可求得，进而求得；
由已知及余弦定理，可求得，，进而求得面积．
本题考查应用正、余弦定理解三角形，属中档题．
18.【答案】解：由题可知，，
解得，
由频率分布直方图可得，
因此，这位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为万元；
记“幸运客户中恰有人来自区间”为事件，
因为区间和频率之比为：，采用分层抽样的方法抽取人进行电话访谈，
故从分组区间中抽取人，分别记为，，从分组区间中抽取人，分别记为，，
从这个人中随机选择人作为“幸运客户”，
则样本空间，，，，，，，，共个样本点，
，，，，，，共个样本点，
所以．
【解析】由题得，，求得，再利用平均数公式求解；
先利用分层抽样得到分组区间中抽取人，分组区间中抽取人，再由古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：，，成等差数列，
，
，
化为，，
解得．
．
数列的前项和，
时，，
时，，满足上式，
，
，
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为：．
【解析】由，，成等差数列，可得，利用通项公式即可得出结论．
由数列的前项和，时，，时，，可得，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
由知平面，
因为平面，所以．
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由线面垂直的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角即可．
本题考查线线垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：设动点，依题意有，
整理得，
动点的轨迹方程为，
当时，轨迹是焦点在轴上的双曲线，
当时，轨迹是焦点在轴上的椭圆，
当时，轨迹是圆，
当时，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点，不在曲线上；
设直线的方程为，，，
由，解得，
由韦达定理有，且，
，，构成等比数列，
，即，
由韦达定理代入化简得，，．
【解析】设动点，依题意有，由此能求出动点的轨迹方程，并能指出随变化时方程所表示的曲线的形状；
设直线的方程为，，，由，得，由此利用韦达定理、等比数列的性质即可求解的值．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，当时，，
必有，解可得，即的定义域为；
当时，，则，其定义域为，
，
则函数为偶函数；
根据题意，假设存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则有，即，
则有，
化简可得：，则有，
进而可得，
变形可得，必有，即，
故存在直线，使得函数的图象关于直线对称．
【解析】根据题意，由对数函数的性质可得，解可得答案；
根据题意，求出的解析式，进而分析可得答案；
根据题意，先假设存在直线，使得函数的图象关于直线对称，由此可得，即，变形分析可得，即可得结论．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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