2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D. 或
3.双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是( )
A. B. C. D.
4.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
．( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若函数是上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则经过函数图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递减
B. 有极小值
C. 有个极值点
D. 在处取得最大值
10.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为
B. 椭圆的离心率为
C. 面积最大值为
D. 的最大值为
11.已知为等差数列的前项和，若，，则( )
A. 使的的最小值为 B.
C. 当取最小值时， D. 为单调递减的数列
12.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点在第一象限，为坐标原点，若，则( )
A. B. 直线的斜率是
C. 线段的中点到轴的距离是 D. 的面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为______ ．
14.函数的单调增区间为______ ．
15.抛物线上到直线距离最近的点的坐标是_________。
16.一条光线从点射出，经直线反射到圆：上，则光线经过的最短路径的长度为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列满足，数列为等差数列，且，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
19.本小题分
已知数列满足，，
求通项公式；
令，求数列前项的和．
20.本小题分
过点作直线与抛物线相交于，两点．
若直线的斜率是，求弦的长度；
设原点为，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ当时，恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆右顶点为，上顶点为，过，两点的直线平分圆的周长，且与坐标轴时成的三角形的面积为．
求椭圆的方程；
若直线：与相交于，两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由定义得抛物线的准线方程为．
故选：．
利用抛物线的定义，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：等比数列中，，
，，
，，
，
故选：．
利用等比数列的性质求出，再利用等比数列的通项公式求解即可．
本题考查等比数列的性质和通项公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由双曲线的一个顶点为，可设双曲线方程为，则，
则渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又，解得，
所以所求双曲线的方程为．
故选：．
根据题意列出方程求出，，即可得解．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中，，和的关系．
设点在轴上方，坐标为，根据题意可知，，进而根据求得和的关系，从而求得离心率．
【解答】
解：设点在轴上方，坐标为，
为等腰直角三角形，
，即，即，
故椭圆的离心率．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，数列为等差数列，则，，成等差数列，
则有，即，
解可得：．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，，成等差数列，由此分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故选：．
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，当、、三点共线时，小值．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数是上的增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故选：．
根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相应函数的最值求得参数范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设的对称中心为，
所以，
化简可得，
故且，解得，，
则函数图象的对称中心为，易知点在圆的内部，
因为点到圆心的距离为，
所以所求最短弦长为．
故选：．
根据待定系数法求解对称中心，即可根据圆的弦长公式求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；
又或时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，，时，有极值，所以有个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故选：．
结合图象，利用导数与函数的关系逐一分析判断即可．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：：由三角形的周长为，正确；
：由，，故椭圆的离心率为，错误；
：令直线：，代入椭圆方程整理得：，
所以，且，，
而，
令，则，
当且仅当时等号成立，显然等号不成立，
又在上递增，即时最小，此时最大为，正确．
：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时，故的最大值为，正确．
故选：．
由椭圆定义求焦点三角形周长；根据椭圆离心率定义求离心率；令直线：代入椭圆，应用韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可．当轴求出最小值，即可得最大值．
本题考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则有，变形可得，
若，则，变形可，
故，，且，B正确；
故当取最小值时，，C正确；
同时，
，，且，，
结合二次函数的性质可得使的的最小值为，A正确；
同时，，数列为等差数列，其公差为，是递增数列，D错误．
故选：．
根据题意，等差数列中，设其公差为，由等差数列前项和公式可得和，由此可得、C正确，进而由和的表达式，分析可得A正确，D错误，综合可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得直线的斜率不为，则可设直线，
联立整理得，则，
因为，所以，所以，所以，
所以，则，即，解得，
因为，
所以，解得，则A正确；
对于，因为，所以，则直线的斜率是，因为点在第一象限，
所以直线的斜率大于，所以直线的斜率是，则B错误；
对于，设线段的中点为，则，即线段的中点到轴的距离是，则C正确；
对于，因为，
所以，
则的面积，故D正确．
故选：．
设直线，与抛物线方程联立，根据、韦达定理得出，再由求出可判断；求出可得直线的斜率，再由点在第一象限可判断；设线段的中点为，根据求出线段的中点到轴的距离可判断；利用求出的面积可判断．
本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，，，
所以该数列的前项之和为．
故答案为：．
根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可．
本题靠分组求和法，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
令，解得：，
在递增，
故答案为：．
先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递增区间．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
设出的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得到直线的距离的表达式，根据的范围求得距离的最小值．
本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的数学思想和基本的运算能力．
【解答】
解：设为抛物线上任一点，
则到直线的距离
时，取最小值
此时．
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：由圆：，可得圆心坐标为，半径为，如图所示，
设点关于直线对称的点为，
可得，解得，，即，
点为入射点，光线经过的路径长为，由对称性和圆的性质，
可得，
当，，共线时取等号，
光线经过的最短路径的长度为，
又由，可得，
即最短路径的长度为．
故答案为：．
求得点关于直线的对称点，根据圆的性质得到，可求最短距离．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：设数列的前项和为，则，
当时，，
当时，，
当时，显然符合通项，
所以，
因为为等差数列，因为，，所以公差，
则；
由知，
所以数列的前项和：
．
【解析】设数列的前项和为，由计算可得的通项，由数列为等差数列，根据，求出首项和公差，再根据等差数列通项公式计算可得；
由知，，再利用等比数列求和公式以及裂项相消法求和计算可得．
本题考查了数列的通项和前项和的求解，属于中档题．
18.【答案】解：因为，且，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为，
令，解得或，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
故当时，有极大值为，当时，有极小值为．
综上所述，极大值为，极小值为．
【解析】先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由，，可得，
即有是首项为，公比为的等比数列，
则，即；
，
则数列前项的和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
【解析】将已知数列的递推式两边加上，运用等比数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得直线的方程为，与抛物线联立，可得，
设，，则，，
可得；
设直线的方程为，与抛物线联立，可得，，
，，
，
则，
所以直线与直线的斜率之积为定值．
【解析】求得直线的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得所求；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得结论．
本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ的定义域是，
，
时，，在上单调递增，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
综上：时，在上单调递增，
时，在递减，在递增；
Ⅱ，时，，
当时，恒成立，
即在恒成立，
令，，
则，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故H，
故的取值范围是．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ问题转化为在恒成立，令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
22.【答案】解：由题意可知，，所以直线的方程为，
因为过，两点的直线平分圆的周长，所以直线的方程过圆心，即，
又因为直线与坐标轴时成的三角形的面积为，所以，
两式联立可得，所以椭圆的方程为．
由直线的方程为，则到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，，则，
由弦长公式可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
【解析】根据题意写出直线的方程，结合题意求出，的值即可求解；
先求出到直线的距离，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得弦长，得出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值，从而得到参数的值．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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