高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质
一、单选题
1．（2019高二下·四川月考）双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（　　）
A．4 B．－4 C．－ D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线的标准方程为 ，即 ，由于虚轴长是实轴长的 倍，所以 ，即 ，也即 .
故答案为：C.
【分析】利用双曲线方程转化为双曲线的标准方程，从而求出实轴长和虚轴长，再利用双曲线的虚轴长是实轴长的2倍求出m的值。
2．设 和 为双曲线 的两个焦点，若 ， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，
故答案为：A
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质以及双曲线里a、b、c的关系整理即可得出a与c的关系，由整体思想结合离心率的公式计算出结果即可。
3．（2019高二上·阜阳月考）“ ， ”是“双曲线 的离心率为 ”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，双曲线 化为标准方程是 ，其离心率是 ；但当双曲线 的离心率为 时，
即 的离心率为 ，则 ，得 ，
所以不一定非要 .
故“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必要条件.
故答案为：D.
【分析】当 时，得出双曲线的标准方程，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出c的值，再利用双曲线离心率公式求出双曲线的离心率，再利用双曲线的离心率公式和双曲线中a,b,c三者的关系式反推出a,b的值，从而得出“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必要条件.
4．已知双曲线 为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为曲线 为等轴双曲线，所以 ，则 ，
即焦点的坐标为 ，其渐近线方程为 ，
因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 ，
则双曲线的标准方程为 ，即 .
故答案为：D
【分析】利用等轴双曲线的性质以及双曲线里a、b、c的关系，即可求出焦点坐标以及渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算出a的值由此得到双曲线的方程。
5．已知双曲线 的离心率是 ，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，所以渐近线方程为 ，即 .
故答案为：A
【分析】根据题意由双曲线的性质以及双曲线里a、b、c的关系整理即可得出a与b的关系，由整体思想即可得出渐近线的方程。
6．已知F1，F2是双曲线E： 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意由双曲线的定义以及点在双曲线上且M F1与 轴垂直， 由此得出a=b结合双曲线里a、b、c的关系由离心率的公式计算出结果即可。
7．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的定义得 ，又 ，
，即 ，
因此 ，即 ，则 ，
解得 ， （舍去），
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由双曲线的定义以及已知条件整理即可得出。利用整体思想计算出a与b的关系再由双曲线里a、b、c的关系由整体思想计算出结果即可。
8．（2019高二下·南宁期中）已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线的右顶点，过 作垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】若 是锐角三角形，则
在直角 中， ， ， ，
即 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】由已知确定 ，在直角 中得到 ，即 ，即可计算得到答案.
9．已知 为圆 上一个动点， 为双曲线 渐近线上动点，则线段 长度的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】双曲线 的右焦点为圆心 ，渐近线方程为 ，即 ，线段 长度取得最小值等价于线段 的长度取得最小值，而线段 的长度取得最小值为 ，线段 长度的最小值为 .
故答案为：A
【分析】根据题意求出双曲线的焦点坐标再题意得出线段 长度取得最小值等价于线段 的长度取得最小值，由点到直线的距离公式即可得出答案。
10．已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则 的方程式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵kAB= =1,∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),
则 - =1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= =2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为 - =1.
故答案为：B.
【分析】根据题意由点的坐标求出直线的斜率再由点斜式得出直线的方程，再设出椭圆的方程联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程结合韦达定理求出两根之和，再由双曲线里a、b、c的关系整理即可计算出a与b的值，由此得到双曲线的方程。
11． 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示：
设 ，由于 为等边三角形，所以 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，在 中， ， ， ， ，
所以根据余弦定理有： ，
整理得： ，即 ，所以离心率 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意设出由双曲线的定义以及等边三角形的性质整理即可得出，由三角形内的几何计算关系即可求出，结合余弦定理代入数值即可得出a与c的关系式，再由离心率的公式计算出结果即可。
二、多选题
12．（2019高二上·章丘月考）已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 ，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．以 为直径的圆的方程为
C． 到双曲线的一条渐近线的距离为1
D． 的面积为1
【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；双曲线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A.代入双曲线渐近线方程得 ,正确.
B.由题意得 ，则以 为直径的圆的方程
不是 ，错误.
C. ，渐近线方程为 ，距离为1，正确.
D. 由题意得 ,设 ，根
据 ，解得 ， ，则
的面积为1.正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出双曲线C渐近线方程，焦点 ， 的面积即可判断.
三、填空题
13．设 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线交双曲线 左支于 两点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】结合双曲线的定义， ，
又 ，可得 ， ，即 ，
又 ， ， ，故 为直角，
所以 ， ，
所以双曲线 的离心率为 .
故答案为
【分析】首先由双曲线的定义整理得出a的值再由已知的几何关系计算出垂直，结合勾股定理即可得出即求出c的值即可。
14．（2020高二上·成都月考）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是　 　．
【答案】[2，＋∞)
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】过 的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于 的倾斜角
已知 的倾斜角是60°，从而 ，故 .
故答案为：[2，＋∞)
【分析】根据直线与渐进线的关系得到 ，再计算离心率范围得到答案.
15．（2019高二下·雅安月考）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则 的值为　 　．
【答案】2
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'
可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，
由∠F1AF2＝90°，可得
m2+n2＝（2c）2，
即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，
化为a2+a'2＝2c2，
则 2，
即有 2．
故答案为：2．
【分析】可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，再利用椭圆和双曲线的定义结合勾股定理求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形求出椭圆和双曲线的离心率平方的倒数和。
16．已知 为双曲线 的右焦点，过点 向双曲线 的一条渐近线引垂线，垂足为 ，且交另一条渐近线于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ，
若 ，可得在直角三角形 中，
由 ，
可得 ，
， ，
故答案为： .
【分析】根据题意由已知条件可得出，再由三角形内的几何计算关系计算出，利用双曲线里a、b、c的关系整理即可得出离心率的值。
17．（2018高二上·大庆期中）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
双曲线 的渐近线方程 ，
当过焦点的直线与两条渐近线平行时，
直线与双曲线右支分别只有一个交点
因为双曲线正在与渐近线无限接近中 ，
由图可知，斜率不在 的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线 ），
斜率在 的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线 ）．
所以此直线的斜率的取值范围
故答案为
【分析】根据题意由双曲线的方程性质求出其渐近线方程，再过右焦点F（4,0）作出两条渐近线的平行线l1,l2,利用数形结合法观察即可得出符合条件的直线的斜率的取值范围。
四、解答题
18．（2018高二上·湖滨月考）已知 , ,点 满足 ，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 过点 且与轨迹 交于 、 两点.
（i）无论直线 绕点 怎样转动，在 轴上总存在定点 ，使 恒成立，求实数 的值.
（ii）在（i）的条件下，求 面积的最小值.
【答案】（1）由 知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由 ，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ，与双曲线方程联立消y得 ，
解得k2 >3
（i）
，
故得 对任意的 恒成立，
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由 知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知， ，当直线l的斜率存在时，
， M点到直线PQ的距离为 ，则
∴
令 ，则 ，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知 ，故 的最小值为9.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由题意可得点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，故可得其方程；
（2） 当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ，与双曲线方程联立可解得k2 >3 由 ， 可得实数 的值；进而由三角形面积公式及二次函数可求得 面积的最小值.
19．（2019高二上·阜阳月考）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，
设双曲线方程为： ，过点 ．
可得 ，
所求双曲线方程为： ．
（2）解：假设直线l存在．
设 是弦MN的中点，
且 ， ，则 ， ．
，N在双曲线上，
，
，
，
，
直线l的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，得
，
直线l与双曲线无交点，
直线l不存在．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，并且过点 ，从而利用焦点位置、渐近线方程和代点法，从而求出双曲线的标准方程。
（2） 假设直线l存在，设 是弦MN的中点，且 ， ，再利用中点坐标公式结合M,N在双曲线上，用代入法化简变形得出直线l的斜率，从而利用点斜式求出过B点的直线l的方程，再利用直线与双曲线方程联立求交点的方法结合判别式法得出直线l与双曲线无交点，从而推出直线l不存在。
20．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
21．已知双曲线方程 .
（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 两点，且 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设弦的两端点为 ，因为A(2,1)为中点，
所以 ，因为 在双曲线上所以 ，两式相减得 ，所以 ,所以 ，
所以，所求弦所在直线方程为 ，即 ．
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）解：假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，因为 ，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标再把点的坐标代入到双曲线的方程，结合中点坐标公式由点差法计算出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)由(1)的方法联立直线与椭圆的方程校园后点的关x的方程结合二次函数的性质，即可得出由此得到直线与双曲线无交点，所以直线l不存在 。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质
一、单选题
1．（2019高二下·四川月考）双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（　　）
A．4 B．－4 C．－ D．
2．设 和 为双曲线 的两个焦点，若 ， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
3．（2019高二上·阜阳月考）“ ， ”是“双曲线 的离心率为 ”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
4．已知双曲线 为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的离心率是 ，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．已知F1，F2是双曲线E： 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
7．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2019高二下·南宁期中）已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线的右顶点，过 作垂直于 轴的直线与双曲线交于 、 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知 为圆 上一个动点， 为双曲线 渐近线上动点，则线段 长度的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
10．已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则 的方程式为（　　）
A． B． C． D．
11． 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
12．（2019高二上·章丘月考）已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 ，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．以 为直径的圆的方程为
C． 到双曲线的一条渐近线的距离为1
D． 的面积为1
三、填空题
13．设 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线交双曲线 左支于 两点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率为　 　．
14．（2020高二上·成都月考）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是　 　．
15．（2019高二下·雅安月考）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则 的值为　 　．
16．已知 为双曲线 的右焦点，过点 向双曲线 的一条渐近线引垂线，垂足为 ，且交另一条渐近线于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是　 　.
17．（2018高二上·大庆期中）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是　 　．
四、解答题
18．（2018高二上·湖滨月考）已知 , ,点 满足 ，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 过点 且与轨迹 交于 、 两点.
（i）无论直线 绕点 怎样转动，在 轴上总存在定点 ，使 恒成立，求实数 的值.
（ii）在（i）的条件下，求 面积的最小值.
19．（2019高二上·阜阳月考）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
20．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
21．已知双曲线方程 .
（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 两点，且 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线的标准方程为 ，即 ，由于虚轴长是实轴长的 倍，所以 ，即 ，也即 .
故答案为：C.
【分析】利用双曲线方程转化为双曲线的标准方程，从而求出实轴长和虚轴长，再利用双曲线的虚轴长是实轴长的2倍求出m的值。
2．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，
故答案为：A
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质以及双曲线里a、b、c的关系整理即可得出a与c的关系，由整体思想结合离心率的公式计算出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，双曲线 化为标准方程是 ，其离心率是 ；但当双曲线 的离心率为 时，
即 的离心率为 ，则 ，得 ，
所以不一定非要 .
故“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必要条件.
故答案为：D.
【分析】当 时，得出双曲线的标准方程，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出c的值，再利用双曲线离心率公式求出双曲线的离心率，再利用双曲线的离心率公式和双曲线中a,b,c三者的关系式反推出a,b的值，从而得出“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必要条件.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为曲线 为等轴双曲线，所以 ，则 ，
即焦点的坐标为 ，其渐近线方程为 ，
因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 ，
则双曲线的标准方程为 ，即 .
故答案为：D
【分析】利用等轴双曲线的性质以及双曲线里a、b、c的关系，即可求出焦点坐标以及渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算出a的值由此得到双曲线的方程。
5．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，所以渐近线方程为 ，即 .
故答案为：A
【分析】根据题意由双曲线的性质以及双曲线里a、b、c的关系整理即可得出a与b的关系，由整体思想即可得出渐近线的方程。
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意由双曲线的定义以及点在双曲线上且M F1与 轴垂直， 由此得出a=b结合双曲线里a、b、c的关系由离心率的公式计算出结果即可。
7．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的定义得 ，又 ，
，即 ，
因此 ，即 ，则 ，
解得 ， （舍去），
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由双曲线的定义以及已知条件整理即可得出。利用整体思想计算出a与b的关系再由双曲线里a、b、c的关系由整体思想计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】若 是锐角三角形，则
在直角 中， ， ， ，
即 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】由已知确定 ，在直角 中得到 ，即 ，即可计算得到答案.
9．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】双曲线 的右焦点为圆心 ，渐近线方程为 ，即 ，线段 长度取得最小值等价于线段 的长度取得最小值，而线段 的长度取得最小值为 ，线段 长度的最小值为 .
故答案为：A
【分析】根据题意求出双曲线的焦点坐标再题意得出线段 长度取得最小值等价于线段 的长度取得最小值，由点到直线的距离公式即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】∵kAB= =1,∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),
则 - =1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= =2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为 - =1.
故答案为：B.
【分析】根据题意由点的坐标求出直线的斜率再由点斜式得出直线的方程，再设出椭圆的方程联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程结合韦达定理求出两根之和，再由双曲线里a、b、c的关系整理即可计算出a与b的值，由此得到双曲线的方程。
11．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示：
设 ，由于 为等边三角形，所以 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，在 中， ， ， ， ，
所以根据余弦定理有： ，
整理得： ，即 ，所以离心率 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意设出由双曲线的定义以及等边三角形的性质整理即可得出，由三角形内的几何计算关系即可求出，结合余弦定理代入数值即可得出a与c的关系式，再由离心率的公式计算出结果即可。
12．【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；双曲线的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A.代入双曲线渐近线方程得 ,正确.
B.由题意得 ，则以 为直径的圆的方程
不是 ，错误.
C. ，渐近线方程为 ，距离为1，正确.
D. 由题意得 ,设 ，根
据 ，解得 ， ，则
的面积为1.正确.
故答案为：ACD.
【分析】求出双曲线C渐近线方程，焦点 ， 的面积即可判断.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】结合双曲线的定义， ，
又 ，可得 ， ，即 ，
又 ， ， ，故 为直角，
所以 ， ，
所以双曲线 的离心率为 .
故答案为
【分析】首先由双曲线的定义整理得出a的值再由已知的几何关系计算出垂直，结合勾股定理即可得出即求出c的值即可。
14．【答案】[2，＋∞)
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】过 的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于 的倾斜角
已知 的倾斜角是60°，从而 ，故 .
故答案为：[2，＋∞)
【分析】根据直线与渐进线的关系得到 ，再计算离心率范围得到答案.
15．【答案】2
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'
可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，
由∠F1AF2＝90°，可得
m2+n2＝（2c）2，
即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，
化为a2+a'2＝2c2，
则 2，
即有 2．
故答案为：2．
【分析】可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，再利用椭圆和双曲线的定义结合勾股定理求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形求出椭圆和双曲线的离心率平方的倒数和。
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ，
若 ，可得在直角三角形 中，
由 ，
可得 ，
， ，
故答案为： .
【分析】根据题意由已知条件可得出，再由三角形内的几何计算关系计算出，利用双曲线里a、b、c的关系整理即可得出离心率的值。
17．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
双曲线 的渐近线方程 ，
当过焦点的直线与两条渐近线平行时，
直线与双曲线右支分别只有一个交点
因为双曲线正在与渐近线无限接近中 ，
由图可知，斜率不在 的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线 ），
斜率在 的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线 ）．
所以此直线的斜率的取值范围
故答案为
【分析】根据题意由双曲线的方程性质求出其渐近线方程，再过右焦点F（4,0）作出两条渐近线的平行线l1,l2,利用数形结合法观察即可得出符合条件的直线的斜率的取值范围。
18．【答案】（1）由 知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由 ，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ，与双曲线方程联立消y得 ，
解得k2 >3
（i）
，
故得 对任意的 恒成立，
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由 知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知， ，当直线l的斜率存在时，
， M点到直线PQ的距离为 ，则
∴
令 ，则 ，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知 ，故 的最小值为9.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）由题意可得点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，故可得其方程；
（2） 当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ，与双曲线方程联立可解得k2 >3 由 ， 可得实数 的值；进而由三角形面积公式及二次函数可求得 面积的最小值.
19．【答案】（1）解：双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，
设双曲线方程为： ，过点 ．
可得 ，
所求双曲线方程为： ．
（2）解：假设直线l存在．
设 是弦MN的中点，
且 ， ，则 ， ．
，N在双曲线上，
，
，
，
，
直线l的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，得
，
直线l与双曲线无交点，
直线l不存在．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，并且过点 ，从而利用焦点位置、渐近线方程和代点法，从而求出双曲线的标准方程。
（2） 假设直线l存在，设 是弦MN的中点，且 ， ，再利用中点坐标公式结合M,N在双曲线上，用代入法化简变形得出直线l的斜率，从而利用点斜式求出过B点的直线l的方程，再利用直线与双曲线方程联立求交点的方法结合判别式法得出直线l与双曲线无交点，从而推出直线l不存在。
20．【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
21．【答案】（1）解：设弦的两端点为 ，因为A(2,1)为中点，
所以 ，因为 在双曲线上所以 ，两式相减得 ，所以 ,所以 ，
所以，所求弦所在直线方程为 ，即 ．
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）解：假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，因为 ，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标再把点的坐标代入到双曲线的方程，结合中点坐标公式由点差法计算出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)由(1)的方法联立直线与椭圆的方程校园后点的关x的方程结合二次函数的性质，即可得出由此得到直线与双曲线无交点，所以直线l不存在 。
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