广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（PDF版，含答案）

2023-2024 学年度高一第一学期期末考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 如图，U是全集，M ，N，P是U的子集，则阴影部分表示的集合是 （ ）
A．M N P B．M N P
C．( ) ∩ ( ∩ ) D．( ) ∪ ( ∩ )
2. 下列两个函数为同一函数的为（ ）
x2A. y x; y B. y cos x tan x; y sin x
x
C. y log2 x; y log4 x
2 D. y x ; y x2
3. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的
能量 E（单位：焦耳）与地震级数M 之间的关系式为 lgE 4.8 1.5M .2022 年 9 月 18 日 14 时 44 分在中
国台湾花莲发生的 6.9 级地震所释放出来的能量是 2020 年 12 月 30 日 8 时 35分在日本本州东海岸发生
的 5.1 级地震的m倍，则下列各数中最接近m的值为（ ）
A．100 B．310 C．500 D．1000
4. 已知扇形的圆心角为 2 弧度，且圆心角所对的弦长为 4，则该扇形的面积为（ ）
4 4
A． B． C． 4sin2 1 D． 4cos2 1
sin2 1 cos2 1
5．若两个正实数 x, y满足 x y 3，且不等式 4 16 m2 3m 5恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
x 1 y
A． m 4 m 1 B． m m 1或m 4
C． m 1 m 4 D． m m 0或m 3
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a,a b,a c
6. y max{a,b,c} b,b a,b c f (x) max{x 2已知函数 ，设 , x 1 ,3x} ，则 f (x) 的最小值为：

c,c a,c b
3 5 3
A. 1 B. C. 9 D.
2 4
7 3．已知函数 f x cos sin x ， f x 在 , π 内解的个数为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
1 (x=1)
8. 已知函数 f (x) ln x 1 (x 1)，若方程 f
2 (x)+af (x) b 0有九个不同实根，则 ab的取值范围是（ ）

A． ( , 2) ( 2,0) B． ( , 1) ( 1, )
1
C． ( , ] D． ( 2, )
4
二．多选题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得 2 分，错
选或多选得 0 分。
9．下列条件中，其中 p是 q的充分不必要条件的是（ ）
A． p : a 1,b 1； q : a b 2
B． p : tan 1； q : kπ
π
(k Z)
4
C． p : x 1； q : ln ex 1 1
D． p : a2 1；q：函数 f x x2 2 a x 2a在 0,1 上有零点
10．设函数 f x 3 sin xcos x 3 cos2 x ，给出下列命题，正确的是（ ）
2

A． f x 的图象关于点 ,0 对称
3
B．若 f x1 f x2 2，则 x1 x2 min
C．把 f x 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象
12
1 13
D．在 0,2 内使 f x 的所有 x的和为
2 3
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”
为：设 x R ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y x 称为高斯函数．例如： 2.3 3， 3.2 3，
下列命题正确的是（ ）
A． xy x y 1 B． x y x y C． x 1 x 1 D． x + x 2x 2
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12．已知 x0 是函数 f (x) ex x 2 的零点（其中 e 2.71828 为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A． x0 (0,
1) B． ln(2 x0 ) x2 0
C． x0 e
x0 0 D x2 x． 00 e
三．填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 0, ，若 sin( 3 ) ，则 sin(2 ) = .
6 3 6
14．写出一个符合下列要求的函数： 。
① f (x) 的值域为 R ② f (x 1) 为偶函数
5π
15．函数 f x x 1 与函数 g x 2cos x 1

的图象所有交点的横坐标之和为 ． 2
ln e2x 116．函数 f x 在区间 e, 1 U 1,e 1 3 上的最大值与最小值之和为 a b a 0,b 0 ，则 的
x a b
最小值为 ．
解答题：本题共 6 个小题，其中第 17 题 10，第 18 到 22 题每题 12 分，共及 70 分
2
17．（1）计算： 6log 7 2lg5 sin1 0 lg4 8
3
6 27
（2）已知 x 2 x2 6 ，求 x 3 x3的值.
18 π．如图，已知单位圆O与 x轴正半轴交于点M ，点 A,B在单位圆上，其中点A 在第一象限，且 AOB 2 ，
记 MOA , MOB .
(1)若
π
，求点 A,B的坐标；
3
4
(2)若点A 的坐标为 ,m ，求 sin sin 的值.
5
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19．深圳市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产
x 2台，需要另投入成本h x （万元），当年产量小于 60 台时，h x x 20x（万元）；当年产量不
9800
少于 60 台时 h x 102x 2080（万元）.若每台设备的售价为 100 万元，通过市场分析，假设
x
该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润 y（万元）关于年产量 x（台）的函数关系式？
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？
20 f (x) 3sin x cos x 3sin2
3
．设函数 x .
2
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数 y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平
3
移 个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在[ , ]上的值域.
4 4 4
x
21 3 a．已知函数 f x x 1 是奇函数 .3 3
（1）求 a的值，判断 f x 的单调性（不必证明）。
（2）解不等式： log2 f x 2 0.
22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽
象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数 y f x ，如果对于其定义域D中任意给
定的实数 x，都有 x D，并且 f x f x 1，就称函数 y f x 为“倒函数”.
(1)已知 f x 10x 2 x， g x ，判断 y f x 和 y g x 是不是倒函数，并说明理由；
2 x
1
(2)若 f x 是定义在R 上的倒函数，当 x 0 时， f x f x 2023
3 x 4
，方程 是否有整数解？并
x
说明理由；
f x f x
2
1
(3)若 是定义在R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在R 上单调递增.记 F x ，证
f x
明： x1 x2 0是 F x1 F x2 0的充要条件.
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2023-2024 学年度高一第一学期期末考试
参考答案
一．单选和多选题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C A C D D A AC ACD CD ABC
二．填空题答案
1
13.
3
14. f (x) ln x 1 , 或 f (x) (x 1)2 cos(x 1) 或 f (x) (x 1)sin(x 1) ,其他只要符合条件的个函
数都可以。
15.10 16. 2 3
8.【答案】A 画出 f x 的函数图象如右，
由图可知，若方程 f 2 (x)+af (x) b 0有九个不同实根，
则 f x =1或 f x =t，其中0 t 1或 t 1，
2
令 g t t at b， 则 g t 在 0, 有两个零点，其中 1 个零点为 1，
g 1 1 a b 0
2
则 a 4b 0 ，解得 a 1且 a 2，

g 0 b 0
2
ab a a 1 1 1 a ， ab 0且 ab 2，
2 4
故 ab的取值范围是 ( , 2) ( 2,0) . 故选：A.
12.【答案】ABC 函数 f (x) ex x 2 在R 上单调递增， f 0 e0 2 1 0 ，
f (1
1
) e 2 1 3 2 e 0，
2 2 2
而 x0 是方程 f x ex x 2
1
的零点，因此 x0 (0, ) ，A 正确；2
由 f x0 0得： 2 x ex00 ，两边取对数得： ln(2 x0 ) x0 ，B 正确；
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1 1 1
因0 x0 ，且 y x e
x在 (0,
1) x上单调递增,则 x 00 e 02 ，C 正确；2 2 e
当0 x
1
， 2 x 1 2 x，则 x 00 0 0 x0 1， D 错误. 故选：ABC2
15.【答案】10 因为 f 2 x 2 x 1 1 x f x ，所以函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，
且 f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 f x 的最小值为 f 1 0．
g x 5π 5π 5π 5π 2cos x 1 2cos x 2sin x 2 2 2 2
所以函数 g x 的图象关于直线 x 1对称，且 g x 的最大值为 2．
由于 f x 的图象和 g x 的图象都关于直线 x 1对称，
所以先考虑两个图象在 1, 上的情形，
g x 1, 7 7 9 9 11 易知 在 上单调递减，在 , 上单调递增，在 , 上单调递减，
5 5 5 5 5
11,13 13 在 上单调递增，在 ,3 上单调递减．
5 5 5
13 13 8
易知 f 1 2， f 3 3 1 2，
5 5 5
所以可作出函数 f x 与 g x 的大致图象如图所示，
所以 f x 的图象和 g x 的图象在 1, 上有 5 个
交点．
根据对称性可知两函数图象共有 10 个交点，且两两
关于直线 x 1对称，
因此所有交点的横坐标之和为 2 5 10．
故答案为:10 .
16.【答案】 3 2 / 2 3
ln e2x 1 ln e x e x e x ln e x ln e x e x
f x
x x x
x ln ex e x ln ex e x
1 ，
x x
ln ex e x
令 g x ， x e, 1 1,e ，
x
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ln e x e x
因为定义域关于原点对称，且 g x g x ，
x
所以 g x 为奇函数，所以 g x 在区间 e, 1 1,e 上的最大值与最小值之和为 0，
则函数 f x 在区间 e, 1 1,e 上的最大值与最小值之和为 2，即 a b 2．
又 a 0，b 0，
1 3 1 1 3 a b 1 4 b 3a 1 b 3a所以
2
a b 2 a b 2 a b 2 a b
2 1 b 3a 2 3 2，
2 a b
b 3a
当且仅当 ，a b 2，即
a b a = 3 -1
，b 3 3，等号成立． 故答案为： 3 2
【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到a b 2，从而利用“1”的妙
用得解.
三．解答题答案
2 2
17. 1 解：（ ）原式 6 2 lg5 lg2 ................3 分
3
=8
4 76
...........................5 分；
9 9
（2）因为 x 2 x2 6，...................................6 分
所以 x 1 2 x x 2 x2 2 8 ，........................7 分
所以 x 1 x 2 2 ，.....................................8 分
x 3 x3 x 1 x x 2 x2所以 1 2 2 5 10 2 .....................10 分
π 1 1 3
18.解：（1）因为 ，所以 cos 3， sin ，所以点A 坐标为 , ，..................2 分3 2 2 2 2
π 5π 1
3 1
因为 3，所以 cos ， sin ，所以点 B坐标为 , ，...............5 分2 6 2 2 2 2
1 3 3
所以 A，B两点坐标分别为 , , ,
1
....................6 分
2 2 2 2
4 2 3
（2）由A 点在单位圆上，得 m
2 1，又点A 位于第一象限，则m ，...............8 分
5 5
4
所以点A 的坐标为 ,
3
，即 sin
3
， cos
4
，..............9 分
5 5 5 5
sin sin π cos 4所以 ，.............11 分
2 5
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所以 sin sin
1
...................12 分
5
19.解：（1）由题意可得0 x 60 2 2且x N 时， y 100x x 20x 500 x 80x 500 ....1 分
9800 4900
当 x 60且x N 时，y 100x 102x 2080 500 1580 2 x

..............3 分
x x
所以年利润 y（万元）关于年产量 x（台）的函数关系式为：
x2 80x 500,0 x 60且x N
y 4900 ..........................5 分
1580 2 x , x 60且x N
x
（2）由（1）得0 x 60时， y x 2 80x 500 ，开口向下的抛物线，对称轴为 x 40，........6 分
此时 x 40 2时， ymax 40 80 40 500 1100 万元，.............8 分
当 x 60 y 1580 4900时， 2(x ) 1580 2 4900 2 x 1580 2 2 70 1300 ,........10 分
x x
x 4900当且仅当 即 x 70时等号成立， ymax 1300，...........11 分x
综上所述：年产量为70 台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大...........12 分
20. 解：（1） f (x) 3 3 3 3 sin 2x 2sin 2x 1 sin 2x cos2x2 2 2 2
3sin 2x

........................2 分
3
2k 2x 2k 3 5 11因为： k x k . ...............4 分
2 3 2 12 12
5 11
所以函数的单调递减区间是[k , k ] (k Z ) ...................5 分
12 12
（2）由题可知， g(x) 3sin(x

) 3sin(x ) ....................7 分
4 3 12
1 3 1 2
因为 x x ，....................9 分
4 4 3 12 3
3
所以 sin(x ) 1 ....................11 分
2 12
故 g(x)
3 3
在[ , ]上的值域为[ , 3] ................12 分
4 4 2
0
21. 3 a解：（1）由已知得函数 f x 的定义域是 R，则有 f 0 0，所以 f 0 a 1
30 1
0 解得 .....1 分
3
x x x x
即 f x
3 1 3 1
x 1 f x
3 1 1 3
f x
3 3 3 3x 1 ，此时 3 3 x 1 3 1 3x 满足题意............2 分
x x
（2 分段处，写经验证 f x
3 1 3 1

3x 1

3 3 3x 1 为奇函数也给分）
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x
f x 3 1 3
x 1 1 2 1
x 1 f x3 3 3 3x 1 3 3 3x 1，由此可判断出 是 R上的递增函数............5 分
（2）由 log2 f (x) 2 0 得 log2 f x 2，.....................6 分
所以 0 f (x)
1
.....................7 分
4
0 1 2 1 1 1 1 2即： x 或
1
x 0 ................................8 分3 3 3 1 4 4 3 3 3 1
1 1 7 1 1 1
所以 x 或 x ...................................9 分2 3 1 8 8 3 1 2
1
所以 ≤ 3 <1 或1 < 3 ≤ 7........................................10 分
7
所以 log3 7 ≤x< 0或 0 所以不等式 log2 f x 2 0的解集为 log3 7,0 0, log3 7 .................12 分
22. x x解：（1）函数 f x 的定义域为R ，对任意的 x R ， f x f x 10 10 1，
所以，函数 f x 为倒函数，..........................................1 分
函数 g x 2 x 的定义域为 x x 2 ，该函数的定义域不关于原点对称，
2 x
故函数 g x 不是倒函数；..........................................2 分
1 x 4
（2）当 x 0 时，则 x 0，由倒函数的定义可得 f x 3 xf x ，
由 f 0 1满足倒函数的定义，........................................3 分
当 x 0 时， f (x)
1
x 4 1，此时， f (x) 2023无解...........................4 分3 x
当 x 0时，函数 y 3x ， y x4 均为增函数，故函数 f x 在 0, 上为增函数，
当 x 0时，3x 1， x4 0， f x 1，
若函数 f x 2023有整数解 x0 ，则 x0 0, ，..........................5 分
设 h x f x 2023，则函数 h x 在 0, 上单调递增，
因为 h 5 35 54 2023 0， h 6 36 64 2023 0，......................6 分
故方程 f x 2023无整数解，....................................7 分
（3）因为函数 y f x 是R 上的倒函数，其函数值恒大于 0 ，且在R 上是严格增函数，
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2
f x 1 1所以， F x f x f x f x ，................8 分
f x f x
任取m、 n R 且m n，则 m< n，所以， f m f n ， f n f m ，
所以， F m F n f m f m f n f n
f m f n f n f m 0 .............................9 分
（单调性的证明也可以通分证明，证明化简过程为 2 分）
所以，函数 F x 为R 上的增函数，..........................10 分
因为 F x f x f x F x ，故函数 F x 为R 上的奇函数.
当 x1 x2 0时，即 x1 x2，则 F x1 F x2 F x2 ，所以， F x1 F x2 0，
即“ x1 x2 0 ” “ F x1 F x2 0 ”；..................................11 分
若 F x1 F x2 0，则 F x1 F x2 F x2 ，所以， x1 x2，即 x1 x2 0 .
所以，“ x1 x2 0 ” “ F x1 F x2 0 ”.
因此， x1 x2 0是 F x1 F x2 0的充要条件..........................12 分
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