怀仁市 2023—2024 学年度上学期高二
第二次教学质量调研试题
数学答案
命题：怀仁市教育局高中教研组
（考试时间 40 分钟，满分 80 分）
一、单项选择题： 1~4 DBBC 5~8 ABCC
二．多项选择题： 9. ABC 10.ABD 11. ACD 12. ABD
三．填空题: 13. 4 14. －1 15.－ . 16.①②④
四.解答题：
3x 4y 2 0 x 2
17.解：由 P 2,2 ..........2 分
2x y 2 0 y 2
（1）设直线 L1 3x 4y m 0，将点P 2,2 代入得m 14
所以直线 L1 3x 4y 14 0 .............................5分
x y x y
（2）由题可直线 L2的斜率存在且不为 0，设直线 L2： 1或 1a a b b
将点 P 2,2 代入得b 4，a无解，
所以直线 L2：x y 4 0 . ..................10分
18.解：(1)因为 ，所以 ．
即 ，又因为 ，所以 ，则 ，
所以，数列 是等比数列 ...............5 分.
(2)由(1)数列 是首项为 2公比为 的等比数列，则 ．
所以
，
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则 ．经检验 时也符合，则 ．
又因为 ，所以 ． ............12 分
19.(1)证明 如图所示，连接 BD，取 BD的中点 P，连接 FP，GP，∵P，G分别是 BD，
BC的中点，E，F分别是 SA，SB的中点，∴PG∥CD，EF∥AB，又 AB∥CD，∴EF∥PG，
∴E，F，P，G四点共面，∴PG 平面 EFG，∵F，P分别是 SB，BD的中点，∴SD∥FP，
又 SD 平面 EFG，FP 平面 EFG，∴SD∥平面 EFG......4 分
(2) 解 ∵SA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，∴SA⊥CD，又 AD⊥CD，SA∩AD＝A，且
SA，AD 平面 SAD，∴CD⊥平面 SAD，∴CD⊥SD，∴∠SDA为二面角 S－DC－A的平面
角，即∠SDA＝ ，∴SA＝AD＝2，以 A为坐标原点，分别以 AB，AD，AS所在直线为 x
轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设 BM＝a，0≤a≤2，A(0,0,0)，E(0,0,1)，
F(－1,0,1)，M(－2，a，0)，∴ ＝(－1,0,0)， ＝(－2，a，－1)， ＝(0,0,1)．设
平面 EFM的法向量为 n＝(x，y，z)，则 即 取 z＝1，
得 n＝ . ∴cos〈 ，n〉＝ ＝ ，∴A到平面 EFM的距离为
d＝| |cos〈 ，n〉＝ ＝ ，解得 a＝ (负值舍去)．∴线段 BC上存在一点 M，
使得点 A到平面 EFM的距离为 ，且 ＝ ＝2...........12 分
20.解：(1)当 时， ，故 ，
①，当 时， ②，
两式相减得 ，故 ，
又当 时， ，满足要求，综上， ；................5 分
{#{QQABBQiAogigQBIAAAhCEwV6CgCQkAGAAAoOwAAEIAAAyQFABAA=}#}
(2) ， ， ，
两式相减得， ，
故 ...................12分
21.(1)证明 因为 AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以 AE⊥AB.
又因为 AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，且 AA1，AE 平面 A1ACC1，所以 AB⊥平面 A1ACC1.
又因为 AC 平面 A1ACC1，所以 AB⊥AC.
以 A为坐标原点，分别以 AB，AC，AA1所在直线为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 Axyz，
则 A(0,0,0)，E ，F ，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．
设 D(x0，y0，z0)， ＝λ ，且λ∈[0,1]，即(x0，y0，z0－1)＝λ(1,0,0)，则
D(λ，0,1)，所以 ＝ .因为 ＝ ，
所以 · ＝ － ＝0， 所以 DF⊥AE .............4 分
(2)解 存在一点 D，使得平面 DEF与平面 ABC所成的锐二面角的余弦值为 .理由如下：
由题可知平面 ABC的一个法向量为 m＝(0,0,1)．
设平面 DEF的法向量为 n＝(a，b，c)，则
因为 ＝ ， ＝ ，所以
即
令 c＝2(1－λ)＝2－2λ，则 a＝3，b＝1＋2λ，
所以平面 DEF的一个法向量为 n＝(3，1＋2λ，2－2λ)．
{#{QQABBQiAogigQBIAAAhCEwV6CgCQkAGAAAoOwAAEIAAAyQFABAA=}#}
因为平面 DEF与平面 ABC所成的锐二面角的余弦值为 ，
所以|cos〈m，n〉|＝ ＝ ，即 ＝ ，
解得λ＝ 或λ＝ (舍)，所以当 D为 A1B1的中点时满足要求．............12 分
22 解：（1）因为焦距为 2，所以，由椭圆的对称性得 F1M F2N ．
又因为 F1M F1N 2 3，所以 F1N F2N 2 3．则 2a 2 3,a 3，b
2 2．
所以椭圆的方程为 ＋ ＝1. ..........4 分
（2）联立方程 ＋ ＝1和 y＝kx＋m，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，①
所以Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，所以 m2<2＋3k2.又|m|> ，
所以 2＋3k2>3，即 k2> ，解得 k> 或 k<－ .
所以实数 k的取值范围为 ∪ ...........8 分
(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①式得 x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
设直线 OA，OB的斜率分别为 k1，k2，因为直线 OA，AB，OB的斜率成等比数列，
所以 k1k2＝ ＝k2，即 ＝k2(m≠0)，
化简得 2＋3k2＝6k2，即 k2＝ .因为|AB|＝ |x1－x2|＝ ，
点 O到直线 l的距离 h＝ ＝ |m|，
所以 S△OAB＝ |AB|·h＝ · ≤ × ＝ ，
当 m＝± 时，x1x2＝0，直线 OA或 OB的斜率不存在，等号取不到，
所以△OAB的面积的取值范围为 ...........12 分
{#{QQABBQiAogigQBIAAAhCEwV6CgCQkAGAAAoOwAAEIAAAyQFABAA=}#}怀仁市2023-2024学年度上学期高二
第二次教学质量调研试题
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各
题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围：选择性必修第一册全册，选择性必修第二册第四章。
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知直线的方向向量是,平面的一个法向量是,则与的位置关系是
A.⊥ B.// C.与相交但不垂直 D.//或a
2.已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是
A. B. C. D.
3.已知抛物线的焦点为,点,若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为
A. B. C. D.
4..已知点,圆,点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
5.如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是
A. B. C. D.
6.直线与曲线有交点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则的值为
A. B.101 C. D.1012
8.点为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线,若曲线上两点满足△面积的最大值为8,△面积的最小值为1,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列命题中正确的是
A.已知是两个互相垂直的单位向量，,且,则实数
B.已知正四面体的棱长为1,则
C.已知,则向量在上的投影向量的模是
D.已知.为空间向量的一个基底),则向量不可能共面
10.圆和圆的交点为,则有
A.公共弦所在直线的方程为
B.线段中垂线的方程为
C.公共弦的长：
D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为：
11.已知是等差数列的前项的和，满足,设,数列的前项的和为,则下列结论中正确的是
A. B.使得成立的最大的的值为4045
C. D.当=2022时，取得最小值
12.已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点,则
A.的最小值为 B.△周长的最小值为16
C.的最大值为9. D.直线与的斜率之积：
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知：圆,过点向圆引两条切线为切点，则=
14.在如图所示的平行六面体中，已知,,
,为上一点，且,若,则的值为
15.已知数列的前项和为,且满足,则=
16.已知双曲线的左，右焦点分别为,直线与双曲线在第一、三象限分别交于点为坐标原点.有下列结论：
①四边形是平行四边形；
②若轴，垂足为,则直线的斜率为
③若,则四边形的面积为;
④若△为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10):已知直线与直线交于点。
(1)直线经过点,且平行于直线,求直线的方程；
(2)直线经过点,且与两个坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程。
(注：结果都写成直线方程的一般式)
18.已知数列满足,且.
(1)设,求证：数列是等比数列；
(2)若数列满足,求实数的取值范围.
19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，⊥平面,二面角的大小为，分别是的中点.
(1)求证：//平面;
(2)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
20.(本小题满分12分)记数列的前项和为 ,对任意正整数,有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和,
21.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，,分别是棱的中点，,为棱上的点.
(1)求证：.
(2)是否存在一点,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知,分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为2,动弦平行于轴，且.直线,设直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若,求实数的取值范围；
(3)若直线的斜率成等比数列(其中为坐标原点),求△的面积的取值范围.
