（预习衔接讲义）第四单元 正比例（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册数学高频易错尖子生培优（北师大版）
文档属性
| 名称 | （预习衔接讲义）第四单元 正比例（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册数学高频易错尖子生培优（北师大版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 228.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-27 12:56:32 | ||
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文档简介
正比例
1．正比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）．
2．辨识成正比例的量的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定就成正比例。
一．选择题（共5小题）
1．下面各组中，两个量成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长和半径
B．圆柱的底面积和它的体积
C．长方形的周长一定，长和宽
D．加工同一批零件，所用的时间和工作效率
2．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（ ）
A．圆的半径和面积。
B．一个人的身高和他的年龄。
C．路程一定，速度和时间。
D．已知5y＝x，y和x。
3．下面说法中，成正比例关系的两个量是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽
B．一本书已经看的页数和未看的页数
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．飞机的路程一定，飞行的时间和速度
4．下面两种相关联的量，成正比例的是（ ）
A．书的总页数一定，已读的页数和未读的页数。
B．正方形的周长和它的边长。
C．一个圆的面积与它的半径。
D．三角形的面积一定，它的底和高。
5．下面图中表示成正比例关系的图像是（ ）
A． B． C．
二．填空题（共4小题）
6．圆柱的底面积一定，它的体积和高成 。
7．如果（a、b均不为0），那么a和b成 比例。
8．如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 km。
9．一款大众喜爱的奶茶，下图反映了此款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。
（1）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁 毫升。
（2）由图可见，果汁量和牛奶量成 比例关系。
三．判断题（共4小题）
10．人的体重和年龄成正比例．
11．圆的半径和它的面积成正比例关系。
12．实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例． ．
13．圆的周长与它的半径成正比例，圆的面积与它的半径也成正比例． ．
四．计算题（共1小题）
14．在一次自行车越野赛中，小明骑车的时间与路程如下表．
时间（分） 8 10 20 40 60
路程（千米） 2 2.5 5 10 15
（1）路程和时间成什么比例？
（2）时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例？说明理由．
五．应用题（共2小题）
15．买同一本书的本数与所付书费为：
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21
（1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 （选填“正”或“反”）比例。
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 。
（3）点（8，56） （选填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示 。
16．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如图所示。
（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为 km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为 分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝ ，路程与时间成 比例。
（3）列车运行3.5分时，行驶的路程是多少千米？
正比例
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下面各组中，两个量成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长和半径
B．圆柱的底面积和它的体积
C．长方形的周长一定，长和宽
D．加工同一批零件，所用的时间和工作效率
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A、圆的周长和半径不成比例。
B、因为圆柱的体积÷底面积＝高（一定），所以圆柱的底面积和它的体积成正比例。
C、长方形的周长一定，也就是长方形一条长和一条宽的和一定，所以长和宽不成比例。
D、因为工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以加工同一批零件，所用的时间和工作效率成反比例。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
2．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（ ）
A．圆的半径和面积。
B．一个人的身高和他的年龄。
C．路程一定，速度和时间。
D．已知5y＝x，y和x。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】D
【分析】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。据此解答。
【解答】解：选项A，圆的面积÷半径＝半径×π，圆的半径不是一个定值，所以圆的半径和面积不成比例；
选项B，一个人的身高和他的年龄不是相关联的量，不成比例关系；
选项C，路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间的乘积一定，速度和时间成反比例；
选项D，由5y＝x得：＝，y与x的比值一定，y与x成正比例。
故选：D。
【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是存在比值（商）一定还是乘积一定。
3．下面说法中，成正比例关系的两个量是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽
B．一本书已经看的页数和未看的页数
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．飞机的路程一定，飞行的时间和速度
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】A
【分析】两种相关联的量，如果它们的比值一定，两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，两种量成反比例关系。据此解答即可。
【解答】解：A．长方形的面积÷宽＝长，长方形的长一定，它的面积与宽成正比例。
B．已经看的页数+未看的页数＝总页数，一本书已经看的页数和未看的页数不成比例。
C．圆柱的底面积×高＝体积，圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例。
D．时间×速度＝路程，飞机的路程一定，飞行的时间和速度成反比例。
故选：A。
【点评】辨识两种量成正比例关系还是成反比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。
4．下面两种相关联的量，成正比例的是（ ）
A．书的总页数一定，已读的页数和未读的页数。
B．正方形的周长和它的边长。
C．一个圆的面积与它的半径。
D．三角形的面积一定，它的底和高。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A．因为书的总页数一定，则已读的页数和未读的页数的和一定，所以已读的页数和未读的页数不成比例；
B．因为正方形的周长：它的边长＝4，比值一定，所以正方形的周长和它的边长成正比例；
C．因为圆的面积：它半径的平方＝π，所以一个圆的面积与它的半径不成比例；
D．因为底×高＝三角形的面积×2，三角形的面积一定，即底和高的乘积一定，所以三角形的面积一定，它的底和高成反比例；
故选：B。
【点评】此题主要考查正比例和反比例的意义，能根据实际情景辩识正比例、反比例。
5．下面图中表示成正比例关系的图像是（ ）
A．
B．
C．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】A
【分析】首先要知道成正比例关系的一次函数的图象特点是一条递增的直线，再者相关联的两个量应是比值或商一定，而不是和或差一定。
【解答】解：根据成正比例关系的一次函数的图象特点是一条递增的直线，
故可排除C答案，而B虽然是直线，但是它是两个量的和一定，
即：售出+剩下＝总个数（一定），不是比值或商一定，所以也不正确；
而A，路程÷时间＝路程：时间＝速度（一定），路程和时间成正比例关系。
故选：A。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
二．填空题（共4小题）
6．圆柱的底面积一定，它的体积和高成 正比例 。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】正比例。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：圆柱的体积÷高＝底面积（一定），商一定，所以圆柱的底面积一定，它的体积和高成正比例。
故答案为：正比例。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
7．如果（a、b均不为0），那么a和b成 正 比例。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】正。
【分析】将变形为＝，即可根据正比例和反比例的意义判断a和b成什么比例关系。
【解答】解：由可知：＝，即a和b的比值一定，所以a和b成正比例关系。
故答案为：正。
【点评】解答此题的关键在于理解正、反比例的意义，将已知等式变形为两个量的积或比的形式，两个量的积一定，这两个量成反比例，两个量的比值一定，这两个量成正比例。
8．如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 正 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 550 km。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】（1）正；（2）550。
【分析】（1）根据正比例的意义和反比例的意义进行解答即可；
（2）先根据“路程÷时间＝速度”求出汽车的速度，进而根据“速度×时间＝路程”进行解答即可。
【解答】解：（1）根据图可知：500÷5＝100；400÷4＝100；300÷3＝100；200÷2＝100；100÷1＝100；即路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例关系；
（2）100÷1×5.5＝550（千米）
答：该汽车5.5小时行驶550千米。
故答案为：正，550。
【点评】解答此题的关键是：（1）看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；
（2）根据路程、时间和速度三者之间的关系，进行解答。
9．一款大众喜爱的奶茶，下图反映了此款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。
（1）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁 36 毫升。
（2）由图可见，果汁量和牛奶量成 正 比例关系。
【考点】正比例和反比例的意义；辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】36；正。
【分析】（1）看图可以算出牛奶与果汁的比例是多少，再算出54毫升比例的牛奶调配出多少毫升的奶茶，即可算出调配同样的奶茶，要果汁多少毫升。
（2）看图可知，比值一定，牛奶占比越大，果汁占比也越大，果汁量和牛奶量成正比例关系。
【解答】解：（1）牛奶与果汁的配比：60：40＝3：2，所以牛奶配比占奶茶的，果汁配比占奶茶的。
奶茶质量为：54÷
＝54×
＝90（毫升）
果汁质量：90﹣54＝36（毫升）
答：需要果汁36毫升。
（2）看图可知，果汁量和牛奶量成正比例关系。
故答案为：36；正。
【点评】此题考查了比例关系及比的应用。
三．判断题（共4小题）
10．人的体重和年龄成正比例． ×
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为：年龄×体重＝？（不一定），年龄÷体重＝？（不一定）即乘积和比值都不一定，所以人的年龄和体重不成比例，故原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
11．圆的半径和它的面积成正比例关系。 ×
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：圆的面积÷圆的半径＝π×圆的半径，因为圆的半径不是定值，所以π×圆的半径也不是定值，所以圆的半径和它的面积不成正比例。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
12．实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例． √ ．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：图上距离÷比例尺＝实际距离（一定），是比值一定，
所以图上距离和比例尺成正比例；
故答案为：√．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
13．圆的周长与它的半径成正比例，圆的面积与它的半径也成正比例． × ．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．
【解答】解：圆的周长÷它的半径＝2π（一定）
符合正比例的意义，
所以圆的周长与它的半径成正比例；
圆的面积÷它的半径＝π×它的半径，
因为它的半径是变量，所以（π×它的半径）就不一定，是乘积不一定，
所以圆的面积与它的半径不成比例；
故答案为：×．
【点评】此题考查辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断．
四．计算题（共1小题）
14．在一次自行车越野赛中，小明骑车的时间与路程如下表．
时间（分） 8 10 20 40 60
路程（千米） 2 2.5 5 10 15
（1）路程和时间成什么比例？
（2）时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例？说明理由．
【考点】正比例和反比例的意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算路程与时间的比值，然后根据比值判断比例；
（2）依据正、反比例的意义，若两个量的商一定，则这两个量成正比例；若两个量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以进行解答．
【解答】解：（1）8：2＝4，10：2.5＝4，20：5＝4，40：10＝4，60：15＝4，因此，路程与时间的比值（速度）一定，路程和时间成正比例；
（2）因为路程÷时间＝速度（一定），则当速度一定时，路程和时间成正比例；
因为路程÷速度＝时间（一定），则当时间一定时，路程和速度成正比例；
因速度×时间＝路程（一定），当路程一定时，速度和时间成反比例．
【点评】此题主要考查正、反比例的意义，即若a：b＝k（一定），则a和b成正比例；若ab＝k（一定），则a和b成反比例．
五．应用题（共2小题）
15．买同一本书的本数与所付书费为：
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21
（1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 正 （选填“正”或“反”）比例。
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 各点都在同一条直线上 。
（3）点（8，56） 在 （选填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示 买8本书花56元 。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；统计图表的填补；正比例和反比例的意义．
【答案】（1）
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21 28 35 42
正；
（2）
各点都在通一条直线上。（答案不唯一）
（3）在；8本书花56元（答案不唯一）。
【分析】（1）根据所付书费与买的本数之间的关系完成统计表，再判断所付书费与买的本数成什么比例；
（2）根据表中数据先在关系图中描出各点，再连线，然后说出自己的发现；
（3）根据单价、总价和数量之间的关系，判断点（8，56）在不在这条直线上，并解释其意义。
【解答】解：（1）
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21 28 35 42
7÷1＝14÷2＝21÷3＝28÷4＝35÷5＝42÷6＝……＝7，所以所付书费与买的本数成正比例；
（2）
我的发现：各点都在通一条直线上。“”（说法不唯一）
（3）56÷8＝7，所以点点（8，56）在这条直线上，这一点表示买8本书花56元。
故答案为：正；各点都在通一条直线上；在；8本书花56元（说法不唯一）。
【点评】本题考查了从统计表及关系图中读出信息、分析数据、解决问题的能力。
16．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如图所示。
（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为 14 km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为 5 分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝ 速度×时间 ，路程与时间成 正 比例。
（3）列车运行3.5分时，行驶的路程是多少千米？
【考点】正比例和反比例的意义；辨识成正比例的量与成反比例的量；单式折线统计图．
【答案】（1）14，5。（2）速度×时间，正。（3）24.5千米。
【分析】（1）从图中获得信息。
（2）速度×时间＝路程，速度＝路程÷时间，路程与时间成正比例。
（3）速度×时间＝路程，代入即可。
【解答】解：（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为14km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为5分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝速度×时间，路程与时间成正比例。
（3）14÷2＝7（千米/分）
3.5×7＝24.5（千米）
答：行驶的路程是24.5千米。
故答案为：（1）14，5。（2）速度×时间，正。（3）24.5千米。
【点评】此题考查了正比例的应用知识，要求学生掌握。
1．正比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）．
2．辨识成正比例的量的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定就成正比例。
一．选择题（共5小题）
1．下面各组中，两个量成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长和半径
B．圆柱的底面积和它的体积
C．长方形的周长一定，长和宽
D．加工同一批零件，所用的时间和工作效率
2．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（ ）
A．圆的半径和面积。
B．一个人的身高和他的年龄。
C．路程一定，速度和时间。
D．已知5y＝x，y和x。
3．下面说法中，成正比例关系的两个量是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽
B．一本书已经看的页数和未看的页数
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．飞机的路程一定，飞行的时间和速度
4．下面两种相关联的量，成正比例的是（ ）
A．书的总页数一定，已读的页数和未读的页数。
B．正方形的周长和它的边长。
C．一个圆的面积与它的半径。
D．三角形的面积一定，它的底和高。
5．下面图中表示成正比例关系的图像是（ ）
A． B． C．
二．填空题（共4小题）
6．圆柱的底面积一定，它的体积和高成 。
7．如果（a、b均不为0），那么a和b成 比例。
8．如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 km。
9．一款大众喜爱的奶茶，下图反映了此款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。
（1）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁 毫升。
（2）由图可见，果汁量和牛奶量成 比例关系。
三．判断题（共4小题）
10．人的体重和年龄成正比例．
11．圆的半径和它的面积成正比例关系。
12．实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例． ．
13．圆的周长与它的半径成正比例，圆的面积与它的半径也成正比例． ．
四．计算题（共1小题）
14．在一次自行车越野赛中，小明骑车的时间与路程如下表．
时间（分） 8 10 20 40 60
路程（千米） 2 2.5 5 10 15
（1）路程和时间成什么比例？
（2）时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例？说明理由．
五．应用题（共2小题）
15．买同一本书的本数与所付书费为：
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21
（1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 （选填“正”或“反”）比例。
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 。
（3）点（8，56） （选填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示 。
16．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如图所示。
（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为 km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为 分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝ ，路程与时间成 比例。
（3）列车运行3.5分时，行驶的路程是多少千米？
正比例
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下面各组中，两个量成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长和半径
B．圆柱的底面积和它的体积
C．长方形的周长一定，长和宽
D．加工同一批零件，所用的时间和工作效率
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A、圆的周长和半径不成比例。
B、因为圆柱的体积÷底面积＝高（一定），所以圆柱的底面积和它的体积成正比例。
C、长方形的周长一定，也就是长方形一条长和一条宽的和一定，所以长和宽不成比例。
D、因为工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以加工同一批零件，所用的时间和工作效率成反比例。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
2．下面各题中的两种量，成正比例关系的是（ ）
A．圆的半径和面积。
B．一个人的身高和他的年龄。
C．路程一定，速度和时间。
D．已知5y＝x，y和x。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】D
【分析】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。据此解答。
【解答】解：选项A，圆的面积÷半径＝半径×π，圆的半径不是一个定值，所以圆的半径和面积不成比例；
选项B，一个人的身高和他的年龄不是相关联的量，不成比例关系；
选项C，路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间的乘积一定，速度和时间成反比例；
选项D，由5y＝x得：＝，y与x的比值一定，y与x成正比例。
故选：D。
【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是存在比值（商）一定还是乘积一定。
3．下面说法中，成正比例关系的两个量是（ ）
A．长方形的长一定，它的面积与宽
B．一本书已经看的页数和未看的页数
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．飞机的路程一定，飞行的时间和速度
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】A
【分析】两种相关联的量，如果它们的比值一定，两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，两种量成反比例关系。据此解答即可。
【解答】解：A．长方形的面积÷宽＝长，长方形的长一定，它的面积与宽成正比例。
B．已经看的页数+未看的页数＝总页数，一本书已经看的页数和未看的页数不成比例。
C．圆柱的底面积×高＝体积，圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例。
D．时间×速度＝路程，飞机的路程一定，飞行的时间和速度成反比例。
故选：A。
【点评】辨识两种量成正比例关系还是成反比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。
4．下面两种相关联的量，成正比例的是（ ）
A．书的总页数一定，已读的页数和未读的页数。
B．正方形的周长和它的边长。
C．一个圆的面积与它的半径。
D．三角形的面积一定，它的底和高。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A．因为书的总页数一定，则已读的页数和未读的页数的和一定，所以已读的页数和未读的页数不成比例；
B．因为正方形的周长：它的边长＝4，比值一定，所以正方形的周长和它的边长成正比例；
C．因为圆的面积：它半径的平方＝π，所以一个圆的面积与它的半径不成比例；
D．因为底×高＝三角形的面积×2，三角形的面积一定，即底和高的乘积一定，所以三角形的面积一定，它的底和高成反比例；
故选：B。
【点评】此题主要考查正比例和反比例的意义，能根据实际情景辩识正比例、反比例。
5．下面图中表示成正比例关系的图像是（ ）
A．
B．
C．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】A
【分析】首先要知道成正比例关系的一次函数的图象特点是一条递增的直线，再者相关联的两个量应是比值或商一定，而不是和或差一定。
【解答】解：根据成正比例关系的一次函数的图象特点是一条递增的直线，
故可排除C答案，而B虽然是直线，但是它是两个量的和一定，
即：售出+剩下＝总个数（一定），不是比值或商一定，所以也不正确；
而A，路程÷时间＝路程：时间＝速度（一定），路程和时间成正比例关系。
故选：A。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
二．填空题（共4小题）
6．圆柱的底面积一定，它的体积和高成 正比例 。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】正比例。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：圆柱的体积÷高＝底面积（一定），商一定，所以圆柱的底面积一定，它的体积和高成正比例。
故答案为：正比例。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
7．如果（a、b均不为0），那么a和b成 正 比例。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】正。
【分析】将变形为＝，即可根据正比例和反比例的意义判断a和b成什么比例关系。
【解答】解：由可知：＝，即a和b的比值一定，所以a和b成正比例关系。
故答案为：正。
【点评】解答此题的关键在于理解正、反比例的意义，将已知等式变形为两个量的积或比的形式，两个量的积一定，这两个量成反比例，两个量的比值一定，这两个量成正比例。
8．如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 正 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 550 km。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】（1）正；（2）550。
【分析】（1）根据正比例的意义和反比例的意义进行解答即可；
（2）先根据“路程÷时间＝速度”求出汽车的速度，进而根据“速度×时间＝路程”进行解答即可。
【解答】解：（1）根据图可知：500÷5＝100；400÷4＝100；300÷3＝100；200÷2＝100；100÷1＝100；即路程÷时间＝速度（一定），所以路程和时间成正比例关系；
（2）100÷1×5.5＝550（千米）
答：该汽车5.5小时行驶550千米。
故答案为：正，550。
【点评】解答此题的关键是：（1）看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；
（2）根据路程、时间和速度三者之间的关系，进行解答。
9．一款大众喜爱的奶茶，下图反映了此款奶茶中果汁和牛奶的配比关系。
（1）如果有54毫升牛奶，要调配同样的奶茶，需要果汁 36 毫升。
（2）由图可见，果汁量和牛奶量成 正 比例关系。
【考点】正比例和反比例的意义；辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】36；正。
【分析】（1）看图可以算出牛奶与果汁的比例是多少，再算出54毫升比例的牛奶调配出多少毫升的奶茶，即可算出调配同样的奶茶，要果汁多少毫升。
（2）看图可知，比值一定，牛奶占比越大，果汁占比也越大，果汁量和牛奶量成正比例关系。
【解答】解：（1）牛奶与果汁的配比：60：40＝3：2，所以牛奶配比占奶茶的，果汁配比占奶茶的。
奶茶质量为：54÷
＝54×
＝90（毫升）
果汁质量：90﹣54＝36（毫升）
答：需要果汁36毫升。
（2）看图可知，果汁量和牛奶量成正比例关系。
故答案为：36；正。
【点评】此题考查了比例关系及比的应用。
三．判断题（共4小题）
10．人的体重和年龄成正比例． ×
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为：年龄×体重＝？（不一定），年龄÷体重＝？（不一定）即乘积和比值都不一定，所以人的年龄和体重不成比例，故原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
11．圆的半径和它的面积成正比例关系。 ×
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：圆的面积÷圆的半径＝π×圆的半径，因为圆的半径不是定值，所以π×圆的半径也不是定值，所以圆的半径和它的面积不成正比例。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
12．实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例． √ ．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：图上距离÷比例尺＝实际距离（一定），是比值一定，
所以图上距离和比例尺成正比例；
故答案为：√．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
13．圆的周长与它的半径成正比例，圆的面积与它的半径也成正比例． × ．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．
【解答】解：圆的周长÷它的半径＝2π（一定）
符合正比例的意义，
所以圆的周长与它的半径成正比例；
圆的面积÷它的半径＝π×它的半径，
因为它的半径是变量，所以（π×它的半径）就不一定，是乘积不一定，
所以圆的面积与它的半径不成比例；
故答案为：×．
【点评】此题考查辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断．
四．计算题（共1小题）
14．在一次自行车越野赛中，小明骑车的时间与路程如下表．
时间（分） 8 10 20 40 60
路程（千米） 2 2.5 5 10 15
（1）路程和时间成什么比例？
（2）时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例？说明理由．
【考点】正比例和反比例的意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算路程与时间的比值，然后根据比值判断比例；
（2）依据正、反比例的意义，若两个量的商一定，则这两个量成正比例；若两个量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以进行解答．
【解答】解：（1）8：2＝4，10：2.5＝4，20：5＝4，40：10＝4，60：15＝4，因此，路程与时间的比值（速度）一定，路程和时间成正比例；
（2）因为路程÷时间＝速度（一定），则当速度一定时，路程和时间成正比例；
因为路程÷速度＝时间（一定），则当时间一定时，路程和速度成正比例；
因速度×时间＝路程（一定），当路程一定时，速度和时间成反比例．
【点评】此题主要考查正、反比例的意义，即若a：b＝k（一定），则a和b成正比例；若ab＝k（一定），则a和b成反比例．
五．应用题（共2小题）
15．买同一本书的本数与所付书费为：
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21
（1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 正 （选填“正”或“反”）比例。
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 各点都在同一条直线上 。
（3）点（8，56） 在 （选填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示 买8本书花56元 。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；统计图表的填补；正比例和反比例的意义．
【答案】（1）
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21 28 35 42
正；
（2）
各点都在通一条直线上。（答案不唯一）
（3）在；8本书花56元（答案不唯一）。
【分析】（1）根据所付书费与买的本数之间的关系完成统计表，再判断所付书费与买的本数成什么比例；
（2）根据表中数据先在关系图中描出各点，再连线，然后说出自己的发现；
（3）根据单价、总价和数量之间的关系，判断点（8，56）在不在这条直线上，并解释其意义。
【解答】解：（1）
书/本 0 1 2 3 4 5 6 ……
书费/元 0 7 14 21 28 35 42
7÷1＝14÷2＝21÷3＝28÷4＝35÷5＝42÷6＝……＝7，所以所付书费与买的本数成正比例；
（2）
我的发现：各点都在通一条直线上。“”（说法不唯一）
（3）56÷8＝7，所以点点（8，56）在这条直线上，这一点表示买8本书花56元。
故答案为：正；各点都在通一条直线上；在；8本书花56元（说法不唯一）。
【点评】本题考查了从统计表及关系图中读出信息、分析数据、解决问题的能力。
16．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如图所示。
（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为 14 km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为 5 分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝ 速度×时间 ，路程与时间成 正 比例。
（3）列车运行3.5分时，行驶的路程是多少千米？
【考点】正比例和反比例的意义；辨识成正比例的量与成反比例的量；单式折线统计图．
【答案】（1）14，5。（2）速度×时间，正。（3）24.5千米。
【分析】（1）从图中获得信息。
（2）速度×时间＝路程，速度＝路程÷时间，路程与时间成正比例。
（3）速度×时间＝路程，代入即可。
【解答】解：（1）图中的点A表示时间为2分钟时，行驶的路程为14km，当行驶的路程为35km时，行驶的时间为5分钟。
（2）如果用s表示路程，t表示列车行驶的时间，那么s＝速度×时间，路程与时间成正比例。
（3）14÷2＝7（千米/分）
3.5×7＝24.5（千米）
答：行驶的路程是24.5千米。
故答案为：（1）14，5。（2）速度×时间，正。（3）24.5千米。
【点评】此题考查了正比例的应用知识，要求学生掌握。