（预习衔接讲义）第四单元比例（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册数学高频易错尖子生培优（人教版）（含答案解析）

第四单元 比例
1．比例的意义和基本性质
【知识点归纳】
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
2．正比例和反比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）．
3．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项
（2）求未知内项
4．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
5．图形的放大与缩小
【知识点归纳】
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
6．比例尺
【知识点归纳】
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺＝图上距离÷实际距离．
一．选择题（共7小题）
1．下列各比中，能与3：8组成比例的是（　　）
A．5：6 B．1.5：4 C．6：1.5 D．4：9
2．甲乙两地相距190千米，在地图上量得的距离是3.8厘米，这幅地图的比例尺是（　　）
A．1：50000000 B．1：50000
C．1：500 D．1：5000000
3．在下面各比中，能与：组成比例的是（　　）
A．4：3 B．3：4 C．
4．在比例0.8：3＝16：60中，如果给3加上6，要使比例成立，60应（　　）
A．加上6 B．加上180 C．乘2 D．加上120
5．x和y成正比例关系，当x＝2时，y；当x＝5时，y＝（　　）
A． B． C．2 D．
6．一种微型零件长0.5毫米，画在一幅图上长5厘米，这幅图的比例尺是（　　）
A．1：10 B．100：1 C．1：100 D．1：1000
7．在下面各比中，能够与：4组成比例的是（　　）
A．1：20 B．5：4 C．20：1 D．5：
二．填空题（共9小题）
8．在一幅线段比例尺为的地图上，图上1厘米表示实际距离 　 　千米，把这个线段比例尺用数值比例尺表示为 　 　。
9．已知一个比例两个外项的积是12.8，其中一个内项是8，则另一个内项是 　 　。
10．如果mn（m、n都不等于0），那么m：n＝　 　（填最简整数比）。
11．一个圆形零件，半径是12mm，画在图上半径是6cm，它是按 　 　的比 　 　（填“放大”或“缩小”）的。
12．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是 　 　．
13．甲数的等于乙数的，那么甲数 　 　乙数。
14．一个精密仪器零件实际长度是2毫米，画在一幅设计图上是10厘米。这幅图的比例尺是 　 　。
15．小华发现小学毕业照片上他的身高是3cm，校门的高度是9cm，当时他实际身高是1.5m，那么校门的实际高度是 　 　m。
16．一个长3cm、宽2cm的长方形按5：1放大，得到的图形面积是 　 　cm2。
三．判断题（共8小题）
17．比例尺是一种测量长度的工具，商店里可以买到。 　 　（判断对错）
18．比例尺1：10与比例尺10：1表示的意义一样。 　 　（判断对错）
19．在比例中，两个外项的积是最小的合数，一个内项是，则另一个内项是9。 　 　（判断对错）
20．在比例A：1.2：B中，A和B一定互为倒数。 　 　（判断对错）
21．任何一个比例中，两个外项的积减去两个内项的积，差都是0．　 　．（判断对错）
22．如果8A＝9B，那么B：A＝9：8。 　 　（判断对错）
23．能与：组成比例的比有无数个。 　 　（判断对错）
24．用0.3、0.5、3.5和2.4这四个数能组成比例。 　 　（判断对错）
四．计算题（共2小题）
25．解方程。
3.2x﹣2.4＝7.2
60%x﹣25%x＝7
26．解方程。
（1）4+7x＝102 （2）25：：
（3）x+25%x＝30 （4）x：0.4＝5：
五．操作题（共2小题）
27．把平行四边形按1：2缩小，把圆形按2：1扩大。
28．画一画，把长方形按1：3的比缩小；把三角形按2：1的比放大。
六．应用题（共6小题）
29．铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解）
30．601班同学测量国旗旗杆高度，量得旗杆在阳光下的影长为16.2米。同一时刻量得一根长4米竹竿的影长为1.8米。那么国旗旗杆的高度是多少米？（用比例解）
31．铺设一段轻轨，工程队原计划每天铺设400m，16天可以铺完。实际每天只铺设320m，实际需要几天铺完？（先用比例知识解答，再用其他方法作检验）
32．一辆汽车从甲城开往乙城，3小时行驶了156千米。用同样的速度再行驶2.5小时到达乙城，甲、乙两城相距多少千米？（用比例解答）
33．学校数学兴趣小组为了知道操场边最高的一棵大树的高度，首先在大树的旁边立了一根竹竿，竹竿的高度、影长分别是1.5米和0.5米，此时又测量出这棵大树的影长是8米，这棵大树的实际高度是多少米？（用比例知识解答）
34．一间大厅，用边长为6分米的方砖铺地，需用216块；若改铺边长为4分米的方砖，需要用多少块？（用比例知识解答）
第四单元比例
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；由此依次算出各选项的比值，找出与3：8比值相等的选项组成比例。
【解答】解：3：8
A.5：6
B.1.5：4
C.6：1.5＝4
D.4：9
答：能与3：8组成比例的是1.5：4。
故选：B。
【点评】本题主要考查比例的意义的应用，结合题意分析解答即可。
2．【答案】D
【分析】图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺；根据1千米＝100000厘米，所以190千米＝19000000厘米，再用3.8比19000000，最后根据比的基本性质：比的前项和比的后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小仍然不变，把原式化简成最简整数比即可。
【解答】解：由分析可知：
190千米＝19000000厘米
3.8：19000000＝1：5000000
答：这幅地图的比例尺是1：5000000。
故选：D。
【点评】解答此题的关键是掌握比例尺的相关公式，结合题意分析解答即可。
3．【答案】B
【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。算出各选项的比值，找出与：比值相等的选项组成比例。
【解答】解：：
3
＝3：4
A．4：3≠3：4，即A不符合题意；
B．3：4＝3÷4，即B符合题意；
C．：44：3≠3：4，即C不符合题意。
故选：B。
【点评】此题考查比例的意义，只有两个比的比值相等才可以组成比例。
4．【答案】D
【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，由于3加上6，此时变为：3+6＝9，另一个内项没变，此时的内项积是9×16＝144，由于要使60变化，那么说明0.8没有变，用144除以0.8即可求出另一个外项，即144÷0.8＝180，60乘3会得到180，或者60加上120得到180，据此即可选择。
【解答】解：由分析可知：
3+6＝9
9×16÷0.8
＝144÷0.8
＝180
180÷60＝3
180﹣60＝120
答：60应加上120或者乘3。
故选：D。
【点评】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
5．【答案】D
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。据此解答即可。
【解答】解：5：y＝2：
2y＝5
2y
y2
y
y
答：当x＝5时，y。
故选：D。
【点评】根据正比例的意义，列出正比例方程是解题的关键。
6．【答案】B
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离，代入数据解答即可。
【解答】解：5cm：0.5mm
＝5cm：0.05cm
＝100：1
所以这幅图的比例尺是100：1。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离÷实际距离这个公式。
7．【答案】A
【分析】先求出：4的比值，然后逐项求出每一个比的比值，再根据比例的意义，与：4的比值相等的两个比就能组成比例。
【解答】解：：4
A.1：20，能组成比例；
B.5：4，不能组成比例；
C.20：1＝20，不能组成比例；
D.5：20，不能组成比例。
故选：A。
【点评】此题考查比例的意义和性质的运用：判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积判断。
二．填空题（共9小题）
8．【答案】1：2000000，。
【分析】由线段比例尺可知：图上1厘米代表实际距离20千米，根据“比例尺＝图上距离：实际距离”把线段比例尺转化为数值比例尺，据此解答。
【解答】解：由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离20千米；
比例尺＝图上距离：实际距离，1千米＝100000厘米
1厘米：20千米
＝1：20×100000
＝1：2000000
因此图上1厘米表示实际距离20千米，把这个线段比例尺用数值比例尺表示为1：2000000。
故答案为：1：2000000，。
【点评】解答本题的关键是掌握比例尺的意义以及厘米和千米单位之间的换算。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【解答】解：12.8÷8＝1.6
则已知一个比例两个外项的积是12.8，其中一个内项是8，则另一个内项是1.6。
故答案为：1.6。
【点评】此题考查了比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。要求学生掌握。
10．【答案】8：15
【分析】本题利用比例的基本性质进行解答，mn，把比例式的乘积式转化为比例式就是：m：n，然后利用比的意义化简成最简整数比就是8：15。
【解答】解：m：n
m：n（）：（）＝8：15
故答案为：8：15。
【点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。
11．【答案】5：1，放大。
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比，由此解答即可；因为图上距离大于实际距离，所以是放大的。据此解答可。
【解答】解：6厘米＝60毫米
60毫米：12毫米＝5：1
答：一个圆形零件，半径是12mm，画在图上半径是6cm，它是按5：1的比放大的。
故答案为：5：1，放大。
【点评】本题考查了图形的放大和缩小知识，结合比例尺知识分析解答即可。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】比例的性质是指在比例里，两内项的积等于两外项的积；又最小的质数是2，进而根据倒数的意义求解．
【解答】解：由一个比例的两个外项互为倒数，可知两个内项也互为倒数；
再根据其中一个内项是最小的质数，最小的质数是2，因为2的倒数是，所以另一个内项是．
故答案为：．
【点评】此题考查比例性质的运用，也考查了倒数的意义及运用．
13．【答案】＜。
【分析】根据题意可得：甲乙，有比例的基本性质可得：甲：乙：，求出甲：乙的比值即可比较大小。
【解答】解：根据题意，甲乙
甲：乙：
甲÷乙
1，所以甲＜乙。
故答案为：＜。
【点评】此题考查比例的基本性质的灵活运用。
14．【答案】50：1。
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：10厘米：2毫米
＝100毫米：2毫米
＝50：1
答：这幅图的比例尺是50：1。
故答案为：50：1。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
15．【答案】4.5。
【分析】根据实际中的物体缩小到同一张照片中比例尺不变可知，照片中小华的身高与实际身高的比等于照片中校门的高度与实际高度的比，据此校门的实际高度是x米，列正比例解答。
【解答】解：设校门的实际高度是xm。
3：1.5＝9：x
3x＝13.5
x＝4.5
答：校门的实际高度是4.5m。
故答案为：4.5。
【点评】列比例解答应用题与列一般方程解答应用题类似，先根据题商设出未知数，再找出含有未知数的等是关系式。
16．【答案】150。
【分析】此题只要求出放大后的长和宽，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”可求出；然后根据“长方形的面积＝长×宽”即可得出结论。
【解答】解：3×5＝15（cm）
2×5＝10（cm）
15×10＝150（cm2）
答：得到的图形的面积是150cm2。
故答案为：150。
【点评】此题考查的是对比例尺知识的应用，要明确比例尺、图上距离和实际距离的关系。
三．判断题（共8小题）
17．【答案】×
【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，据此判断。
【解答】解：比例尺是图上距离与实际距离的比，由此可知比例尺是一个比，不是测量长度的一种工具，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查比例尺的意义，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
18．【答案】×
【分析】比例尺1：10表示图上距离1厘米表示实际距离10厘米，比例尺10：1表示图上距离10厘米表示实际距离1厘米。
【解答】解：由分析可得，比例尺1：10表示图上距离1厘米表示实际距离10厘米，比例尺10：1表示图上距离10厘米表示实际距离1厘米。原题叙述错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查比例尺的意义。
19．【答案】×
【分析】根据比例的基本性质“在比例中，两外项之积等于两内项之积”，最小的合数是4，两外项之积是4，计算出两内项之积，是4就正确，否则错误。
【解答】解：最小的合数是4，则两外项之积是4；
，两内项之积是2，不能组成比例。
故答案为：×。
【点评】本题可根据比例的基本性质，比较两内项之积和两外项之积，得出答案。
20．【答案】√
【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，计算并完成判断即可。
【解答】解：A：1.2：B
AB＝1.2
AB＝1
所以AB互为倒数，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查比例的基本性质的应用。
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的基本性质可知，在比例里两个外项的积等于两个内项的积，由此知道任何一个比例中，两个外项的积减去两个内项的积，差都是0．
【解答】解：因为在比例里两个外项的积等于两个内项的积，
所以任何一个比例中，两个外项的积减去两个内项的积，差都是0．
故答案为：√．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质的灵活应用．
22．【答案】×
【分析】根据比例的基本性质，即在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，逆向思考，进行判断即可。
【解答】解：8A＝9B，根据比例的基本性质，如果A是内项，则8也是内项，9和B是外项，那么B：A＝8：9；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，要熟练掌握。
23．【答案】√
【分析】根据比例的意义和比基本性质进行判断即可。
【解答】解：：
根据比的基本性质可知，比值是的比有无数个，所以能与：组成比例的比有无数个。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查比的意义及比的基本性质的应用。
24．【答案】×
【分析】根据比例的性质，看看给出的四个数中是否是有两个数相乘的积等于另两个数相乘的积，如果有，就说明这四个数能组成比例，否则就不能组成比例。
【解答】解：0.3、0.5、3.5和2.4不能组成两个数的积等于另外两个数的积，所以不能组成比例，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查比例的意义和性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两个比的比值是否相等或两内项的积是否等于两外项的积，再作出判断。
四．计算题（共2小题）
25．【答案】x＝288；x＝3；x；x＝20。
【分析】根据乘法分配律把方程变形为：（）x＝24，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以即可解出x的值；
先根据等式的基本性质1，方程两边同时加上2.4，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以3.2即可解出x的值；
先根据比例的基本性质把比例变形为：x＝4，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以即可解出x的值；
根据乘法分配律把方程变形为（60%﹣25%）x＝7，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以0.35即可解出x的值。
【解答】解：xx＝24
（）x＝24
x24
x＝288
3.2x﹣2.4＝7.2
3.2x﹣2.4+2.4＝7.2+2.4
3.2x＝9.6
3.2x÷3.2＝9.6÷3.2
x＝3
：x：4
x＝4
x
x
60%x﹣25%x＝7
（60%﹣25%）x＝7
0.35x＝7
0.35x÷0.35＝7÷0.35
x＝20
【点评】本题主要考查小数和分数方程求解以及解比例，熟练运用等式的基本性质和比例的基本性质是关键。
26．【答案】（1）x＝14；（2）x＝70；（3）x＝24；（4）x＝12。
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去4，然后再同时除以7求解；
（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程x＝25，然后方程两边再同时除以求解；
（3）先化简，然后再根据等式的性质，方程两边同时除以1.25求解；
（4）根据比例的基本性质，把比例化为方程x＝0.4×5，然后方程两边再同时除以求解。
【解答】解：（1）4+7x＝102
4+7x﹣4＝102﹣4
7x＝98
7x÷7＝98÷7
x＝14
（2）25：：
x＝25
x＝20
x20
x＝70
（3）x+25%x＝30
1.25x＝30
1.25x÷1.25＝30÷1.25
x＝24
（4）x：0.4＝5：
x＝0.4×5
x＝2
x2
x＝12
【点评】熟练掌握比例的基本性质和等式的基本性质是解题的关键，注意等号要对齐。
五．操作题（共2小题）
27．【答案】
【分析】把平行四边形的底和高都缩小到原来的一半，画出来。
把原来圆的直径扩大2倍后画出来。
【解答】接：如图：
【点评】熟悉扩大与缩小的方法是解决本题的关键。
28．【答案】
【分析】（1）按1：3的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的，形状不变，据此解答即可；
（2）按2：1的比例画出三角形放大后的图形，就是把原三角形的底和高分别扩大到原来的2倍，形状不变，据此解答即可。
【解答】解：如图：
【点评】本题是考查图形的放大与缩小，使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
六．应用题（共6小题）
29．【答案】2天。
【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设120×（1+20%）米，设这样可以提前x天完成，实际用了（12﹣x）天完成。根据“工作量＝工作效率×工作时间”，这条煤气管道的长度（即工作量）一定，据此可列比例“120×12＝120×（1+20%）×（12﹣x）”解答。
【解答】解：设提前x天完成任务。
120×12＝120×（1+20%）×（12﹣x）
120×12＝120×120%×（12﹣x）
1440＝144×（12﹣x）
1440÷144＝144×（12﹣x）÷144
10＝12﹣x
10+x＝12﹣x+x
10+x＝12
10+x﹣10＝12﹣10
x＝2
答：这样可以提前2天完成。
【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等式。
30．【答案】36米。
【分析】根据题意，物体的高度与影长成正比例，设国旗旗杆的高度是x米，列出比例式，解比例即可。
【解答】解：设国旗旗杆的高度是x米，
4：1.8＝x：16.2
1.8x＝4×16.2
1.8x＝64.8
x＝36
答：国旗旗杆的高度是36米。
【点评】此题首先判断物体的高度与影长成正比例，然后设出未知数，列出比例式，解决问题。
31．【答案】20。
【分析】根据题意知道，一条路的总长度一定，每天铺设的米数×铺设的天数＝一段轻轨的总长度（一定），所以每天铺设的米数与铺设的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可；
检验是可以先求出轻轨的总长度，然后除以实际每天铺设的长度，进而求出实际需要几天铺完。
【解答】解：设实际需要x天铺完。
400×16＝320x
6400＝320x
x＝6400÷320
x＝20
检验：400×16÷320
＝6400÷320
＝20（天）
答：实际需要20天铺完。
【点评】关键是根据题意知道工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，由此列出比例解决问题。
32．【答案】286千米。
【分析】根据“速度＝路程÷时间”即可求出这辆汽车的速度，根据比与除法的关系，这辆汽车的速度等于路程与时间的比。由于这辆汽车的速度不变，设甲、乙两城相距x千米，即可列比例“x：（3+2.5）＝156：3
”解答。
【解答】解：设甲、乙两城相距x千米.
x：（3+2.5）＝156：3
x：5.5＝156：3
3x＝5.5×156
3x÷3＝5.5×156÷3
x＝286
答：甲、乙两城相距286千米。
【点评】列比例解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
33．【答案】24米。
【分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是竹竿的高度与影子的比等于树的高与影子的比，设这树的高为x米，组成比例，解比例即可。
【解答】解：设这棵树的实际高度是x米，则：
1.5：0.5＝x：8
0.5x＝1.5×8
0.5x＝12
x＝24
答：这棵树的实际高度是24米。
【点评】解答此题的关键是，判断实际高度与影子成正比例，由此列出比例解决问题。
34．【答案】486。
【分析】一间大厅的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即每一块方砖的面积×所需块数＝大厅面积（一定），也就是两种相关联的量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。
【解答】解：设需要用x块。
4×4×x＝6×6×216
16x＝7776
16x÷16＝7776÷16
x＝486
答：需要486块。
【点评】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，再列比例式解答；注意：列比例式时不要把边长当成面积。