（预习衔接讲义）第四单元第11课时比例的应用（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册数学高频易错尖子生培优（人教版）（含解析）
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| 名称 | （预习衔接讲义）第四单元第11课时比例的应用（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册数学高频易错尖子生培优（人教版）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 187.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-27 16:52:23 | ||
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文档简介
第四单元第11课时比例的应用
1．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
2．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
3．图形的放大与缩小
【知识点归纳】
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
4．比例尺
【知识点归纳】
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺＝图上距离÷实际距离．
一．选择题（共8小题）
1．阳光小区新建一个长方形健身广场，长100m、宽60m。王叔叔把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上，他应选择哪个比例尺比较合适？（ ）
A．1：500 B．1：200 C．1000：1 D．1：5000
2．把线段比例尺改成数值比例尺是（ ）
A．1：30 B．1：90 C．1：3000000 D．1：9000000
3．漳平与华安两地相距48千米，在一幅地图上，量得漳平与华安的图上距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：600000 B．1：80000 C．1：800000 D．1：8000000
4．将如图所示的线段比例尺，改写成数值比例尺是（ ）
A．1：2000000 B．1：4000000 C．1：600000
5．甲、乙两地相距20km，画在设计图纸上的长度是5cm，图纸的比例尺是（ ）
A．1：400000 B．400000：1 C．1：4 D．4：1
6．一块长方形的试验田，长180米，宽60米，如果把它画成平面示意图，画在一张作业纸上，选用（ ）比例尺比较合适。
A．1：200 B．1：2000 C．1：20000 D．1：200000
7．如图，把三角形ABC按2：1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”、“∠1的度数”、“AB与BC的比值”三个要素中，不变化的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3
8．把一张长方形照片按6：1的比例放大，照片长与宽的比是（ ）
A．不变 B．变了 C．6；1 D．1：6
二．填空题（共7小题）
9．一个2mm长的精密零件画到图纸上长4cm，那么这幅图的比例尺是（ ）。如果这幅图纸上有一个零件长6cm，那么这个零件的实际长度是 mm。
10．把如图比例尺改写成数值比例尺是 ；如果实际距离是210km，那么图上距离是 cm。
11．小莉的身高是1.5m，妈妈的身高是160cm，旅游时她和妈妈拍了一张照片，照片上小莉的身高是3cm，这张照片的比例尺是 ，小莉和妈妈实际的身高之比是 。
12．在一幅地图上，用2.5厘米的长度表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是 ．
13．如图，欢欢沿着直尺的方向拉橡皮筋。如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在 厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在 厘米处。
14．如图是一个线段比例尺，改成数值比例尺是 。测得图上宁波到杭州的
距离是3.1厘米，实际距离是 千米。
15．甲地到乙地的实际距离是500km，在比例尺是1：20000000的地图上，甲、乙两地之间的长度是 厘米．
三．判断题（共9小题）
16．一幅地图的比例尺是，把它改写成数值比例尺是1：2400000． （判断对错）
17．把长与宽的比是3：1的长方形按2：1放大后，新长方形的长和宽的比是6：1。 （判断对错）
18．在比例中，图上距离1cm表示实际距离160km （判断对错）
19．把一个长方形按边长1：3的比例缩小后，周长会比原来缩小3倍，面积会比原来缩小6倍。 （判断对错）
20．在比例尺是1：16000000的地图上，图上1cm表示实际的160km。 （判断对错）
21．在一幅平面图上，图上距离是3厘米，实际距离是6米，这幅图的比例尺是1：2． ．（判断对错）
22．一幅地图中某两地的图上距离5cm表示实际距离15km，这幅图的比例尺是1：300000。 （判断对错）
23．图形按比放大时，要使放大前后图形对应线段的比相等。 （判断对错）
24．一个零件长3mm，画在图纸上长4.5cm，这幅图的比例尺是1：15。 （判断对错）
四．计算题（共2小题）
25．将图1的三角形按比例缩小后得到图2的三角形，求未知数x．
26．先计算再填表．
图上距离 实际距离 比例尺
3厘米 1：50000
2.5厘米 50千米
180千米 1：12000000
五．操作题（共1小题）
27．图中每个小方格的面积表示1平方厘米，请将三角形ABC按3：1放大，画在方格纸上。
六．应用题（共7小题）
28．在比例尺1：2500000的的地图上量得A、B两地相距4.8厘米。甲骑自行车以每小时12km的速度从A地骑往B地，同时乙开车以每小时36km的速度从B开往A地。两人几小时后相遇？
29．学校组织同学们参观科技博物馆，如果每辆车坐35人，需要12辆车；如果每辆车坐28人，需要多少辆车？（用比例解）
30．一块长方形菜地，长是200米，量得图纸上长是4厘米，你能求出这幅图的比例尺吗？
31．在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得A、B两地之间的距离是8.5cm，在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两地之间的距离是多少厘米？
32．游泳比赛的泳池是一个长方形，把泳池的长和宽分别缩小到原来的后图形如下．
（1）泳池实际的长和宽各是多少米？
（2）泳池的实际占地面积是多少平方米？
33．一辆汽车从顺平开往北京，每小时行驶68千米，2.5小时到达，原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶多少千米？（用比例解答）
34．一辆汽车从甲地开往乙地，180千米用了3小时，照这样的速度，乙地到丙地长540千米，需要几小时才能到达？（用比例方法解）
第四单元第11课时比例的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺计算出各选项的图上距离，再结合规格是“30cm×21cm”的图纸解答即可。
【解答】解：100米＝10000厘米，60米＝6000厘米
A.1000020（厘米）
600012（厘米）
画在规格是“30cm×21cm”的图纸上合适；
B.1000050（厘米）
600030（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上偏大，不合适；
C.1000010000000（厘米）
60006000000（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上太大，不合适；
D.100002（厘米）
60001.2（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上偏小。
故选：A。
【点评】本题考查了实际距离、图上距离、比例尺三者间的关系。
2．【答案】C
【分析】线段比例尺表示图上距离1cm等于实际距离30km，根据比例尺＝图上距离：实际距离，改写成数值比例尺即可。
【解答】解：1cm：30km
＝1cm：3000000cm
＝1：3000000
答：改成数值比例尺是1：3000000。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离：实际距离这个公式。
3．【答案】C
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：6厘米：48千米
＝6厘米：4800000厘米
＝6：4800000
＝1：800000
答：这幅地图的比例尺是1：800000。
故选：C。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
4．【答案】A
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示20千米，根据比例尺＝图上距离：实际距离解答即可。
【解答】解：1厘米：20千米
＝1厘米：2000000厘米
＝1：2000000
答：改写成数值比例尺是1：2000000。
故选：A。
【点评】熟练掌握线段比例尺和数值比例尺的转化是解题的关键。
5．【答案】A
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可直接求得这幅图的比例尺。
【解答】解：20km＝2000000cm
5：2000000＝1：400000
答：图纸的比例尺是1：400000。
故选：A。
【点评】考查了比例尺的意义，表示比例尺的时候，注意统一单位长度。
6．【答案】B
【分析】实际距离和比例尺已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出试验田的长和宽的图上距离，再与练习本的实际长度比较即可选出合适的答案。
【解答】解：因为180米＝18000厘米，60米＝6000厘米，
选项A，1800090（厘米），600030（厘米），画在作业纸上，尺寸过大，不符合实际情况，故不合适；
选项B，180009（厘米），60003（厘米），画在作业纸上比较合适；
选项C，180000.9（厘米），60000.3（厘米），画在作业纸上太小，故不合适；
选项D，180000.09（厘米），60000.03（厘米），画在作业纸上太小，故不合适；
故选：B。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意结合实际情况。
7．【答案】B
【分析】根据图形放大的意义，把三角形ABC按2：1的比放大，是指把三角形ABC的各边放大到原来的2倍，对应角大小不变，对应线段的比值变，进而推出放大前、后同一个三角形任意两边的比值不变。
【解答】解：如图：
把三角形ABC按2：1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”变大了、“∠1的度数”不变、“AB与BC的比值”不变，即三个要素中，不变化的有2个。
故选：B。
【点评】图形放大与缩小后，改变的是大小，形状不变。即放大前、后对应边成比例，对应角大小不变，改变的是面积。
8．【答案】A
【分析】图形放大或缩小后，改变的是大小，形状不变，即原图形长与宽的比和放大或缩小后图形长与宽的比不变。
【解答】解：把一张长方形照片按6：1的比例放大，照片长与宽的比是6：1，即照片长与它的比不变。
故选：A。
【点评】原图形某两条线段的比与放大或缩小后相对应的线段的比不变，改变是大小，即改变的是图形的面积。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】20：1，3。
【分析】（1）图上距离和实际距离已知，依据比例尺的意义，即“比例尺＝图上距离÷实际距离”即可求出这幅地图的比例尺。
（2）图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求得这个零件的实际长度。
【解答】解：（1）4cm：2mm
＝40mm：2mm
＝20：1
答：这幅图的比例尺是20：1。
（2）60.3（厘米）
0.3厘米＝3毫米
答：这个零件的实际长度是3毫米．
故答案为：20：1，3。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。
10．【答案】1：6000000，3.5。
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离60千米，根据比例尺＝图上距离：实际距离可以求出数值比例尺；根据图上距离＝实际距离×比例尺求出图上距离。1千米＝100000厘米，高级单位转化成低级单位乘进率，低级单位转化成高级单位除以进率。据此解答即可。
【解答】解：60km＝6000000cm
则改写成数值比例尺是1：6000000
210km＝21000000cm
210000003.5（cm）
答：如果实际距离是210km，那么图上距离是3.5cm。
故答案为：1：6000000，3.5。
【点评】熟练掌握比例尺、图上距离、实际距离的关系是解决此题的关键。
11．【答案】1：50；15：16。
【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，写出比后再化简即可求得比例尺；再根据比的意义，求出小莉和妈妈实际的身高之比即可。
【解答】解：1.5米＝150厘米
3厘米：150厘米＝1：50
150厘米：160厘米＝15：16
答：这张照片的比例尺是1：50，小莉和妈妈实际的身高之比是15：16。
故答案为：1：50；15：16。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及比的意义，解答时要注意单位的换算。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】这道题是已知图上距离、实际距离，求比例尺，用比例尺＝图上距离：实际距离，统一单位代入即可解决问题．
【解答】解：20千米＝2000000厘米，
2.5：2000000＝1：800000．
答：这幅地图的比例尺是1：800000．
故答案为：1：800000．
【点评】这道题主要考查比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比．
13．【答案】12；20。
【分析】在一定的弹性范围内，橡皮筋相对位置（如点B和点C）的拉长距离成正比例关系。
设点B的位置在x厘米处，根据点B现在的位置：点B原来的位置＝点C现在的位置：点C原来的位置，列出比例求出x的值是点B的位置。
设点C的位置在y厘米处，根据点C现在的位置：点C原来的位置＝点B现在的位置：点B原来的位置，列出比例求出y的值是点C的位置。
【解答】解：设点B现在的位置在x厘米处。
x：9＝16：12
12x＝9×16
12x＝144
12x÷12＝144÷12
x＝12
解：设点C现在的位置在y厘米处。
y：12＝15：9
9x＝12×15
9x＝180
9x÷9＝180÷9
x＝20
如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在12厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在20厘米处。
故答案为：12；20。
【点评】解答本题的关键是根据图示确定比例关系，从而列出比例解决问题。
14．【答案】1：5000000，155。
【分析】线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离50千米，比例尺＝图上距离：实际距离，据此求出数值比例尺；因为图上1厘米代表实际距离50千米，所以宁波到杭州的实际距离是3.1个50千米。
【解答】解：1厘米：50千米
＝1厘米：5000000厘米
＝1：5000000
50×3.1＝155（千米）
答：改成数值比例尺是1：5000000，实际距离是155千米。
故答案为：1：5000000，155。
【点评】明确线段比例尺与数值比例尺的互化的方法是解题的关键。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】要求两地的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可．
【解答】解：500千米＝50000000厘米
500000002.5（厘米）
答：甲、乙两地之间的长度是2.5厘米．
故答案为：2.5．
【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
三．判断题（共9小题）
16．【答案】×
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离240千米，
240千米＝24000000厘米，
比例尺是1：24000000．
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
17．【答案】×
【分析】把长方形按2：1的比例放大，就是把长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，根据比的基本性质，长与宽的比是不变的；据此解答即可。
【解答】解：分析可知，把长与宽的比是3：1的长方形按2：1放大后，新长方形的长和宽的比不变，还是3：1。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题是考查图形的放大与缩小。一个长方形，不论放大或缩小多少倍，长与宽的比不变。
18．【答案】×
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离80千米，据此判断。
【解答】解：在比例中，图上距离1cm表示实际距离80km。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】明确线段比例尺表示的意义是解题的关键。
19．【答案】×
【分析】设原长方形的长为3a，宽为3b，按1：3缩小后长方形的长为a，宽为b。根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”分别求出原长方形的周长、缩小后长方形的周长，用原长方形的周长除以缩小后长方形的周长；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”分别求出原长方形的面积，缩小后长方形的面积，用原长方形的面积除以缩小后长方形的面积。然后根据计算结果作出判断。
【解答】解：设原长方形的长为3a，宽为3b，按1：3缩小后长方形的长为a，宽为b。
2（3a+3b）÷2（a+b）
＝6（a+b）÷2（a+b）
＝3
（3a×3b）÷ab
＝9ab÷ab
＝9
把一个长方形按边长1：3的比例缩小后，周长会比原来缩小3倍，面积会比原来缩小9倍。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查的知识点：图形放大与缩小的意义、长方形周长的计算、长方形面积的计算等。
20．【答案】√
【分析】根据“比例尺＝图上距离：实际距离”可知，比例尺1：16000000表示图上1cm相当于16000000cm，然后根据进率：1km＝100000cm，换算单位即可。
【解答】解：16000000cm＝160km
在比例尺是1：16000000的地图上，图上1cm表示实际的160km。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查比例尺的意义以及长度单位的换算。
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：6米＝600厘米
3：600＝1：200
答：这幅图的比例尺是1：200．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
22．【答案】√
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：15千米＝1500000厘米
5：1500000＝1：300000
答：这幅地图的比例尺是1：300000。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
23．【答案】√
【分析】根据图形放大与缩小的意义，图形按比放大（或缩小）时，要使放大（或缩小）前后的图形对应线段的长的比相等，即对称线段成比例。
【解答】解：图形按比放大（或缩小）时，要使放大（或缩小）前后的图形对应线段的长的比相等。
故答案为：√。
【点评】本题考查了图形的放大与缩小，图形放大或缩小后与原图形相似，即对应边成比例（比相等），对应角大小相等。
24．【答案】×
【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，写出比后再化简即可。
【解答】解：4.5cm：3mm
＝45mm：3mm
＝45：3
＝15：1
答：这幅图的比例尺是15：1
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】比例尺＝图上距离：实际距离，注意单位要统一。
四．计算题（共2小题）
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，缩小后的三角形与原三角形对应边成比例，所以设未知边为x，列比例为：1.6：x＝3.2：4.8，利用比例的基本性质解比例即可．
【解答】解：设未知边为x，
1.6：x＝3.2：4.8
3.2 x＝1.6×4.8
x＝2.4
答：未知数为2.4．
【点评】本题主要考查图形的放大与缩小，关键利用放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例做题．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】根据图上距离：实际距离＝比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此解答．
【解答】解：
3150000（厘米）
150000厘米＝1.5千米
50千米＝5000000厘米
2.5：5000000＝1：2000000；
180千米＝18000000厘米
180000001.5（厘米）
填表如下：
图上距离 实际距离 比例尺
3厘米 1.5千米 1：50000
2.5厘米 50千米 1：2000000
1.5厘米 180千米 1：12000000
故答案为：1.5千米，1：2000000，1.5厘米．
【点评】本题主要考查了比例尺、图上距离与实际距离的关系．
五．操作题（共1小题）
27．【答案】
【分析】直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把这个三角形的两直角均放大到原来的3倍所得到的图形，就是原图形按3：1放大后的图形。
【解答】解：根据题意画图如下：
【点评】图形放大或缩小后，改变的是大小，形状不变。
六．应用题（共7小题）
28．【答案】2.5小时。
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A，B两地的实际距离，再根据相遇时间＝总路程÷速度和。
【解答】解：4.812000000（厘米）
12000000厘米＝120千米
120÷（12+36）
＝120÷48
＝2.5（小时）
答：两人2.5小时后相遇。
【点评】此题考查了比例尺、图上距离和实际距离的关系以及时间、速度和路程的关系。
29．【答案】15辆。
【分析】设需要x辆车，因为每辆车坐的人数×车的辆数＝总人数（一定），所以每辆车坐的人数与车的辆数成反比例，列式解答即可。
【解答】解：设需要x辆车，
28x＝35×12
28x＝420
x＝15
答：需要15辆车。
【点评】本题主要考查了比例的应用，关键是得出每辆车坐的人数与车的辆数成反比例。
30．【答案】1：5000。
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅图的比例尺。
【解答】解：200米＝20000厘米
4厘米：20000厘米＝1：5000
答：这幅图的比例尺是1：5000。
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算。
31．【答案】见试题解答内容
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出甲乙两地的实际距离，再据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出在另一幅图上的图上距离．
【解答】解：8.5
＝17000000
＝3.4（厘米）
答：在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两地之间的距离是3.4厘米．
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可代入数据分别求出实际的长和宽；
（2）用实际的长乘实际的宽可求出实际的占地面积．据此解答．
【解答】解：（1）0.0550（米）
0.02121（米）
答：泳池实际的长是50米，宽是21米．
（2）50×21＝1050（平方米）
答：泳池实际占地面积是1050平方米．
【点评】本题重点考查了学生对实际距离＝图上距离÷比例尺和长方形面积公式的掌握．
33．【答案】85千米。
【分析】设原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶x千米，根据“路程＝速度×时间”及从顺平到北京，往返的路程相等，即可列比例解答。
【解答】解：每小时要行驶x千米。
2x＝68×2.5
2x＝170
x＝85
答：每小时要行驶85千米。
【点评】列方程解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
34．【答案】9
【分析】根据速度一定时，路程和时间成正比例，先求出速度，再求出时间即可。
【解答】解：设需要x小时才能到达
540：x＝180：3
180x＝540×3
x＝9
答：需要9小时才能到达。
故答案为：9
【点评】本题是一道比例的应用题，确定速度一定时，路程和时间成正比例是解答此题的关键。
1．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
2．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
3．图形的放大与缩小
【知识点归纳】
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
4．比例尺
【知识点归纳】
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺＝图上距离÷实际距离．
一．选择题（共8小题）
1．阳光小区新建一个长方形健身广场，长100m、宽60m。王叔叔把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上，他应选择哪个比例尺比较合适？（ ）
A．1：500 B．1：200 C．1000：1 D．1：5000
2．把线段比例尺改成数值比例尺是（ ）
A．1：30 B．1：90 C．1：3000000 D．1：9000000
3．漳平与华安两地相距48千米，在一幅地图上，量得漳平与华安的图上距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：600000 B．1：80000 C．1：800000 D．1：8000000
4．将如图所示的线段比例尺，改写成数值比例尺是（ ）
A．1：2000000 B．1：4000000 C．1：600000
5．甲、乙两地相距20km，画在设计图纸上的长度是5cm，图纸的比例尺是（ ）
A．1：400000 B．400000：1 C．1：4 D．4：1
6．一块长方形的试验田，长180米，宽60米，如果把它画成平面示意图，画在一张作业纸上，选用（ ）比例尺比较合适。
A．1：200 B．1：2000 C．1：20000 D．1：200000
7．如图，把三角形ABC按2：1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”、“∠1的度数”、“AB与BC的比值”三个要素中，不变化的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3
8．把一张长方形照片按6：1的比例放大，照片长与宽的比是（ ）
A．不变 B．变了 C．6；1 D．1：6
二．填空题（共7小题）
9．一个2mm长的精密零件画到图纸上长4cm，那么这幅图的比例尺是（ ）。如果这幅图纸上有一个零件长6cm，那么这个零件的实际长度是 mm。
10．把如图比例尺改写成数值比例尺是 ；如果实际距离是210km，那么图上距离是 cm。
11．小莉的身高是1.5m，妈妈的身高是160cm，旅游时她和妈妈拍了一张照片，照片上小莉的身高是3cm，这张照片的比例尺是 ，小莉和妈妈实际的身高之比是 。
12．在一幅地图上，用2.5厘米的长度表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是 ．
13．如图，欢欢沿着直尺的方向拉橡皮筋。如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在 厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在 厘米处。
14．如图是一个线段比例尺，改成数值比例尺是 。测得图上宁波到杭州的
距离是3.1厘米，实际距离是 千米。
15．甲地到乙地的实际距离是500km，在比例尺是1：20000000的地图上，甲、乙两地之间的长度是 厘米．
三．判断题（共9小题）
16．一幅地图的比例尺是，把它改写成数值比例尺是1：2400000． （判断对错）
17．把长与宽的比是3：1的长方形按2：1放大后，新长方形的长和宽的比是6：1。 （判断对错）
18．在比例中，图上距离1cm表示实际距离160km （判断对错）
19．把一个长方形按边长1：3的比例缩小后，周长会比原来缩小3倍，面积会比原来缩小6倍。 （判断对错）
20．在比例尺是1：16000000的地图上，图上1cm表示实际的160km。 （判断对错）
21．在一幅平面图上，图上距离是3厘米，实际距离是6米，这幅图的比例尺是1：2． ．（判断对错）
22．一幅地图中某两地的图上距离5cm表示实际距离15km，这幅图的比例尺是1：300000。 （判断对错）
23．图形按比放大时，要使放大前后图形对应线段的比相等。 （判断对错）
24．一个零件长3mm，画在图纸上长4.5cm，这幅图的比例尺是1：15。 （判断对错）
四．计算题（共2小题）
25．将图1的三角形按比例缩小后得到图2的三角形，求未知数x．
26．先计算再填表．
图上距离 实际距离 比例尺
3厘米 1：50000
2.5厘米 50千米
180千米 1：12000000
五．操作题（共1小题）
27．图中每个小方格的面积表示1平方厘米，请将三角形ABC按3：1放大，画在方格纸上。
六．应用题（共7小题）
28．在比例尺1：2500000的的地图上量得A、B两地相距4.8厘米。甲骑自行车以每小时12km的速度从A地骑往B地，同时乙开车以每小时36km的速度从B开往A地。两人几小时后相遇？
29．学校组织同学们参观科技博物馆，如果每辆车坐35人，需要12辆车；如果每辆车坐28人，需要多少辆车？（用比例解）
30．一块长方形菜地，长是200米，量得图纸上长是4厘米，你能求出这幅图的比例尺吗？
31．在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得A、B两地之间的距离是8.5cm，在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两地之间的距离是多少厘米？
32．游泳比赛的泳池是一个长方形，把泳池的长和宽分别缩小到原来的后图形如下．
（1）泳池实际的长和宽各是多少米？
（2）泳池的实际占地面积是多少平方米？
33．一辆汽车从顺平开往北京，每小时行驶68千米，2.5小时到达，原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶多少千米？（用比例解答）
34．一辆汽车从甲地开往乙地，180千米用了3小时，照这样的速度，乙地到丙地长540千米，需要几小时才能到达？（用比例方法解）
第四单元第11课时比例的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺计算出各选项的图上距离，再结合规格是“30cm×21cm”的图纸解答即可。
【解答】解：100米＝10000厘米，60米＝6000厘米
A.1000020（厘米）
600012（厘米）
画在规格是“30cm×21cm”的图纸上合适；
B.1000050（厘米）
600030（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上偏大，不合适；
C.1000010000000（厘米）
60006000000（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上太大，不合适；
D.100002（厘米）
60001.2（厘米）
把它画在规格是“30cm×21cm”的图纸上偏小。
故选：A。
【点评】本题考查了实际距离、图上距离、比例尺三者间的关系。
2．【答案】C
【分析】线段比例尺表示图上距离1cm等于实际距离30km，根据比例尺＝图上距离：实际距离，改写成数值比例尺即可。
【解答】解：1cm：30km
＝1cm：3000000cm
＝1：3000000
答：改成数值比例尺是1：3000000。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离：实际距离这个公式。
3．【答案】C
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：6厘米：48千米
＝6厘米：4800000厘米
＝6：4800000
＝1：800000
答：这幅地图的比例尺是1：800000。
故选：C。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
4．【答案】A
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示20千米，根据比例尺＝图上距离：实际距离解答即可。
【解答】解：1厘米：20千米
＝1厘米：2000000厘米
＝1：2000000
答：改写成数值比例尺是1：2000000。
故选：A。
【点评】熟练掌握线段比例尺和数值比例尺的转化是解题的关键。
5．【答案】A
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可直接求得这幅图的比例尺。
【解答】解：20km＝2000000cm
5：2000000＝1：400000
答：图纸的比例尺是1：400000。
故选：A。
【点评】考查了比例尺的意义，表示比例尺的时候，注意统一单位长度。
6．【答案】B
【分析】实际距离和比例尺已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出试验田的长和宽的图上距离，再与练习本的实际长度比较即可选出合适的答案。
【解答】解：因为180米＝18000厘米，60米＝6000厘米，
选项A，1800090（厘米），600030（厘米），画在作业纸上，尺寸过大，不符合实际情况，故不合适；
选项B，180009（厘米），60003（厘米），画在作业纸上比较合适；
选项C，180000.9（厘米），60000.3（厘米），画在作业纸上太小，故不合适；
选项D，180000.09（厘米），60000.03（厘米），画在作业纸上太小，故不合适；
故选：B。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意结合实际情况。
7．【答案】B
【分析】根据图形放大的意义，把三角形ABC按2：1的比放大，是指把三角形ABC的各边放大到原来的2倍，对应角大小不变，对应线段的比值变，进而推出放大前、后同一个三角形任意两边的比值不变。
【解答】解：如图：
把三角形ABC按2：1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”变大了、“∠1的度数”不变、“AB与BC的比值”不变，即三个要素中，不变化的有2个。
故选：B。
【点评】图形放大与缩小后，改变的是大小，形状不变。即放大前、后对应边成比例，对应角大小不变，改变的是面积。
8．【答案】A
【分析】图形放大或缩小后，改变的是大小，形状不变，即原图形长与宽的比和放大或缩小后图形长与宽的比不变。
【解答】解：把一张长方形照片按6：1的比例放大，照片长与宽的比是6：1，即照片长与它的比不变。
故选：A。
【点评】原图形某两条线段的比与放大或缩小后相对应的线段的比不变，改变是大小，即改变的是图形的面积。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】20：1，3。
【分析】（1）图上距离和实际距离已知，依据比例尺的意义，即“比例尺＝图上距离÷实际距离”即可求出这幅地图的比例尺。
（2）图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求得这个零件的实际长度。
【解答】解：（1）4cm：2mm
＝40mm：2mm
＝20：1
答：这幅图的比例尺是20：1。
（2）60.3（厘米）
0.3厘米＝3毫米
答：这个零件的实际长度是3毫米．
故答案为：20：1，3。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。
10．【答案】1：6000000，3.5。
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离60千米，根据比例尺＝图上距离：实际距离可以求出数值比例尺；根据图上距离＝实际距离×比例尺求出图上距离。1千米＝100000厘米，高级单位转化成低级单位乘进率，低级单位转化成高级单位除以进率。据此解答即可。
【解答】解：60km＝6000000cm
则改写成数值比例尺是1：6000000
210km＝21000000cm
210000003.5（cm）
答：如果实际距离是210km，那么图上距离是3.5cm。
故答案为：1：6000000，3.5。
【点评】熟练掌握比例尺、图上距离、实际距离的关系是解决此题的关键。
11．【答案】1：50；15：16。
【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，写出比后再化简即可求得比例尺；再根据比的意义，求出小莉和妈妈实际的身高之比即可。
【解答】解：1.5米＝150厘米
3厘米：150厘米＝1：50
150厘米：160厘米＝15：16
答：这张照片的比例尺是1：50，小莉和妈妈实际的身高之比是15：16。
故答案为：1：50；15：16。
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及比的意义，解答时要注意单位的换算。
12．【答案】见试题解答内容
【分析】这道题是已知图上距离、实际距离，求比例尺，用比例尺＝图上距离：实际距离，统一单位代入即可解决问题．
【解答】解：20千米＝2000000厘米，
2.5：2000000＝1：800000．
答：这幅地图的比例尺是1：800000．
故答案为：1：800000．
【点评】这道题主要考查比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比．
13．【答案】12；20。
【分析】在一定的弹性范围内，橡皮筋相对位置（如点B和点C）的拉长距离成正比例关系。
设点B的位置在x厘米处，根据点B现在的位置：点B原来的位置＝点C现在的位置：点C原来的位置，列出比例求出x的值是点B的位置。
设点C的位置在y厘米处，根据点C现在的位置：点C原来的位置＝点B现在的位置：点B原来的位置，列出比例求出y的值是点C的位置。
【解答】解：设点B现在的位置在x厘米处。
x：9＝16：12
12x＝9×16
12x＝144
12x÷12＝144÷12
x＝12
解：设点C现在的位置在y厘米处。
y：12＝15：9
9x＝12×15
9x＝180
9x÷9＝180÷9
x＝20
如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在12厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在20厘米处。
故答案为：12；20。
【点评】解答本题的关键是根据图示确定比例关系，从而列出比例解决问题。
14．【答案】1：5000000，155。
【分析】线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离50千米，比例尺＝图上距离：实际距离，据此求出数值比例尺；因为图上1厘米代表实际距离50千米，所以宁波到杭州的实际距离是3.1个50千米。
【解答】解：1厘米：50千米
＝1厘米：5000000厘米
＝1：5000000
50×3.1＝155（千米）
答：改成数值比例尺是1：5000000，实际距离是155千米。
故答案为：1：5000000，155。
【点评】明确线段比例尺与数值比例尺的互化的方法是解题的关键。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】要求两地的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可．
【解答】解：500千米＝50000000厘米
500000002.5（厘米）
答：甲、乙两地之间的长度是2.5厘米．
故答案为：2.5．
【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
三．判断题（共9小题）
16．【答案】×
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离240千米，
240千米＝24000000厘米，
比例尺是1：24000000．
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
17．【答案】×
【分析】把长方形按2：1的比例放大，就是把长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，根据比的基本性质，长与宽的比是不变的；据此解答即可。
【解答】解：分析可知，把长与宽的比是3：1的长方形按2：1放大后，新长方形的长和宽的比不变，还是3：1。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题是考查图形的放大与缩小。一个长方形，不论放大或缩小多少倍，长与宽的比不变。
18．【答案】×
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离80千米，据此判断。
【解答】解：在比例中，图上距离1cm表示实际距离80km。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】明确线段比例尺表示的意义是解题的关键。
19．【答案】×
【分析】设原长方形的长为3a，宽为3b，按1：3缩小后长方形的长为a，宽为b。根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”分别求出原长方形的周长、缩小后长方形的周长，用原长方形的周长除以缩小后长方形的周长；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”分别求出原长方形的面积，缩小后长方形的面积，用原长方形的面积除以缩小后长方形的面积。然后根据计算结果作出判断。
【解答】解：设原长方形的长为3a，宽为3b，按1：3缩小后长方形的长为a，宽为b。
2（3a+3b）÷2（a+b）
＝6（a+b）÷2（a+b）
＝3
（3a×3b）÷ab
＝9ab÷ab
＝9
把一个长方形按边长1：3的比例缩小后，周长会比原来缩小3倍，面积会比原来缩小9倍。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查的知识点：图形放大与缩小的意义、长方形周长的计算、长方形面积的计算等。
20．【答案】√
【分析】根据“比例尺＝图上距离：实际距离”可知，比例尺1：16000000表示图上1cm相当于16000000cm，然后根据进率：1km＝100000cm，换算单位即可。
【解答】解：16000000cm＝160km
在比例尺是1：16000000的地图上，图上1cm表示实际的160km。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查比例尺的意义以及长度单位的换算。
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：6米＝600厘米
3：600＝1：200
答：这幅图的比例尺是1：200．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
22．【答案】√
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：15千米＝1500000厘米
5：1500000＝1：300000
答：这幅地图的比例尺是1：300000。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
23．【答案】√
【分析】根据图形放大与缩小的意义，图形按比放大（或缩小）时，要使放大（或缩小）前后的图形对应线段的长的比相等，即对称线段成比例。
【解答】解：图形按比放大（或缩小）时，要使放大（或缩小）前后的图形对应线段的长的比相等。
故答案为：√。
【点评】本题考查了图形的放大与缩小，图形放大或缩小后与原图形相似，即对应边成比例（比相等），对应角大小相等。
24．【答案】×
【分析】先统一单位，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，写出比后再化简即可。
【解答】解：4.5cm：3mm
＝45mm：3mm
＝45：3
＝15：1
答：这幅图的比例尺是15：1
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】比例尺＝图上距离：实际距离，注意单位要统一。
四．计算题（共2小题）
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，缩小后的三角形与原三角形对应边成比例，所以设未知边为x，列比例为：1.6：x＝3.2：4.8，利用比例的基本性质解比例即可．
【解答】解：设未知边为x，
1.6：x＝3.2：4.8
3.2 x＝1.6×4.8
x＝2.4
答：未知数为2.4．
【点评】本题主要考查图形的放大与缩小，关键利用放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例做题．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】根据图上距离：实际距离＝比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺，据此解答．
【解答】解：
3150000（厘米）
150000厘米＝1.5千米
50千米＝5000000厘米
2.5：5000000＝1：2000000；
180千米＝18000000厘米
180000001.5（厘米）
填表如下：
图上距离 实际距离 比例尺
3厘米 1.5千米 1：50000
2.5厘米 50千米 1：2000000
1.5厘米 180千米 1：12000000
故答案为：1.5千米，1：2000000，1.5厘米．
【点评】本题主要考查了比例尺、图上距离与实际距离的关系．
五．操作题（共1小题）
27．【答案】
【分析】直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把这个三角形的两直角均放大到原来的3倍所得到的图形，就是原图形按3：1放大后的图形。
【解答】解：根据题意画图如下：
【点评】图形放大或缩小后，改变的是大小，形状不变。
六．应用题（共7小题）
28．【答案】2.5小时。
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A，B两地的实际距离，再根据相遇时间＝总路程÷速度和。
【解答】解：4.812000000（厘米）
12000000厘米＝120千米
120÷（12+36）
＝120÷48
＝2.5（小时）
答：两人2.5小时后相遇。
【点评】此题考查了比例尺、图上距离和实际距离的关系以及时间、速度和路程的关系。
29．【答案】15辆。
【分析】设需要x辆车，因为每辆车坐的人数×车的辆数＝总人数（一定），所以每辆车坐的人数与车的辆数成反比例，列式解答即可。
【解答】解：设需要x辆车，
28x＝35×12
28x＝420
x＝15
答：需要15辆车。
【点评】本题主要考查了比例的应用，关键是得出每辆车坐的人数与车的辆数成反比例。
30．【答案】1：5000。
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅图的比例尺。
【解答】解：200米＝20000厘米
4厘米：20000厘米＝1：5000
答：这幅图的比例尺是1：5000。
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算。
31．【答案】见试题解答内容
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出甲乙两地的实际距离，再据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出在另一幅图上的图上距离．
【解答】解：8.5
＝17000000
＝3.4（厘米）
答：在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这两地之间的距离是3.4厘米．
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可代入数据分别求出实际的长和宽；
（2）用实际的长乘实际的宽可求出实际的占地面积．据此解答．
【解答】解：（1）0.0550（米）
0.02121（米）
答：泳池实际的长是50米，宽是21米．
（2）50×21＝1050（平方米）
答：泳池实际占地面积是1050平方米．
【点评】本题重点考查了学生对实际距离＝图上距离÷比例尺和长方形面积公式的掌握．
33．【答案】85千米。
【分析】设原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶x千米，根据“路程＝速度×时间”及从顺平到北京，往返的路程相等，即可列比例解答。
【解答】解：每小时要行驶x千米。
2x＝68×2.5
2x＝170
x＝85
答：每小时要行驶85千米。
【点评】列方程解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
34．【答案】9
【分析】根据速度一定时，路程和时间成正比例，先求出速度，再求出时间即可。
【解答】解：设需要x小时才能到达
540：x＝180：3
180x＝540×3
x＝9
答：需要9小时才能到达。
故答案为：9
【点评】本题是一道比例的应用题，确定速度一定时，路程和时间成正比例是解答此题的关键。