第五章 基本平面图形 专题1 线段与角的常见应用

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第五章 基本平面图形
专题1 线段与角的常见应用
类型① 线段、角的和与差在计算中的应用
1.已知 A,B,C在同一直线上,如果线段AB=10 cm,线段 AC=8cm ,那么线段 BC的长度为 ( )
A.2cm B.12 cm C.18 cm D. 2cm 或18 cm
2.如图,已知线段 a,b, 画一条射线 OM，在射线 OM 上依次截取OA=AB=a,在线段 BO上截取BC=b.则( )
A. OB=a+b B. OB=2b-a C. OC=b-a D. OC=2a-b
3.如图,点 A,B,C三点在一条直线上,如果∠ABD=(x-15)°,∠DBC=(2x+60)°,那么x的值等于__________.
4.如图,∠1 = 15°, ∠AOC=90°,点 B,O,D在同一直线上,则∠2 的度数为_________.
类型 线段、角的倍分关系在计算中的应用
5.已知点 M 是线段AB 的三等分点(把一条线段平均分成三等分的点)，即 或
(1)若AB=6,求 AM的长;
(2)若点 D 在线段 BM 上, 求线段 DM的长；
(3)若 D 是 AB 延长线上的点, BD=5,求线段 DM的长.
6.如图,线段 AB 上有两点M,N,点 M将线段AB 分成2:3两部分,点 N将线段AB分成4:1两部分,且 MN=8,求线段 AM,NB的长分别是多少.
7.如图所示,AB 为一条直线,OC 是 的平分线，OE 在 内, 求的度数.
8.已知∠AOB=120°, 在∠AOB 内部作射线 OC,使得∠AOC:∠BOC=1:2.
(1)如图,在∠BOC 内部作射线ON,使得∠BON = 3 ∠CON; 作射线OM平分∠AOC,求∠MON的度数;
(2)如果过点 O 作射线 OD,使得 2∠AOD=3∠BOD,则∠COD的度数为__________(不需写推演过程).
类型③ 线段中点在计算中的应用
题型 1：利用线段中点的意义计算
9.如图，点C是线段AB 上的一点，点 M 是线段AC 的中点，点 N是线段BC的中点.
(1)如果 AB=12 cm,AM=4 cm,求CN 的长;
(2)如果 MN=8cm,求 AB的长.
题型 2：线段中点在动点中应用
10.如图,点C 是线段 AB中点,且. N,M两点分别从 C,B同时出发以 1 cm/s, 3cm/s的速度沿线段 BA向左运动，设运动时间为 t s.
(1)当点M追上点N时,求t的值;
(2)若点 M,N相距2cm,则t的值为多少
题型3：分类讨论思想在线段中点中的应用
11.如图,已知线段AB,CD,
(1)线段 AB 在线段CD 上(点C,A在点B的左侧，点D在点C的右侧)
①若线段 M,N 分别为AC,BD的中点,求 MN 的长;
②M,N 分别为 AC,BD 的中点, 求证:
(2)线段 CD 在线段AB 的延长线上,M,N分别为AC，BD的中点，②中的结论是否成立 请画出图形，直接写出结论.
12.(1)如图,已知线段 AB,点C是线段AB 上一点,点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点.
①若 则线段 MN 的长度是___________;
②若 求线段 MN 的长度(结果用含 a，b的代数式表示)；
(2)在(1)中,把点 C 是线段 AB 上一点改为：点C 是直线AB上一点，b.其他条件不变，则线段 MN 的长度是__________________________________________(结果用含 a，b的代数式表示).
题型 4：方程思想在线段中点中的应用
13.已知点C,D,E分别为线段AB 上的点(D在E 点左边)，且满足
(1)如图1,若 BC=2AC,AB=9,点D 为AC 中点时,求 BE 的长;
(2)若点C为 BE 的中点,DC=3AD,试探究线段 DE 与CB 之间的数量关系.
14.已知点C为线段AB 上的一点,点 D,E 分别为线段 AC,BD中点.
(1)若 求CE的长;
(2)若 且点 E 在点C 的右侧，试探究线段 AD 与BE 之间的数量关系.
类型④ 角平分线在计算中的应用
题型 1：角平分线的意义在计算中的应用
15.如图, OE 平分OD平分
(1)如图1,求 度数；
(2)如图 2,若 其他条件不变，请直接写出 的度数.
题型2：分类讨论思想在角平分线中的应用
16.如图,已知在内部画射线 OC，得到三个角，分别为 若这三个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为 的“幸运线”.(本题中所研究的角都是大于( 而小于 的角.)
(1)角的平分线_________这个角的“幸运线”(填“是”或“不是”);
(2)射线 OC 是 的“幸运线”，若求出 的度数.
题型3：方程思想在角平分线中的应用
17.如图1,A,O,B三点在一条直线上，且. 射线 OM,ON 分别平分. 和如图2，在图 1 的基础上，将射线OA 以每秒 的速度绕点 O 逆时针旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点O逆时针旋转，当射线 OC 与射线OB 重合时, 停止运动. 设射线OA的 运动时间为 t 秒.
(1)运动开始前，如图1，
(2)旋转过程中，当 t 为何值时，射线 OD平分
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. D 2. D 3.45 4.105°
5.解:(1)分为两种情况:
①当 时,如图 1:
因为 所以
②当 时,如图 2:
因为 所以
综上所述,AM 的长为 2 或4;
(2)分为两种情况：
①当 时,如图 3:
因为 AD=7,BD=5,所以
因为 所以 AM=4,
所以
②当 时,如图4:
因为 所以 所以
因为 BD＞BM,所以点 D在线段 BM的延长线上，不符合题意.所以 DM 的长是 3;
(3)分为两种情况：
①当 时,如图5:
因为 AD=7,BD=5,所以AB=AD-BD=7-5=2,
因为 所以 所以
②当 时,如图6:
因为 AD=7,BD=5,所以
因为 所以 所以
综上所述，DM 的长是 或
6.解:因为点 M将 AB 分成2:3两部分,所以
因为点 N将AB 分成4:1两部分,所以
又因为 所以 所以 所以
所以
故AM=8,NB=4.
答:线段 AM,NB的长分别是8,4,
7.解:因为∠AOC=30°,OC是∠AOD的平分线,
所以∠AOD=2∠AOC=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°,
又因为∠BOE=2∠DOE,所以
8.解:(1)因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°, ∠AOC:∠BOC=1+2,
所以
因为∠BOC=∠BON+∠CON=80°,∠BON=3∠CON,所以
因为 OM平分∠AOC,所以
所以∠MON=∠COM+∠CON=40°.
(2)分类讨论:①如图1,当OD在∠AOB 内部时,
设
因为2∠AOD=3∠BOD,所以
因为∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°,所以 解得 x=48,所以∠BOD=48°.
因为∠BOC=80°,所以∠COD=80°-48°=32°;
②如图2,当OD在∠AOB 外部时,
设∠BOD=y°,则
因为∠BOD+∠AOD+∠AOB=360°,所以 解得 y=96,
所以∠BOD=96°,所以∠COD=80°+96°=176°.
故答案为:32°或176°.
9.解:(1)因为点 M 是线段AC 的中点,AM=4cm,所以AC=2AM,所以AC=8cm,
因为 AB=12cm,所以 BC=AB-AC=4(cm),
因为点 N是线段BC的中点，所以
答:CN的长为 2cm;
(2)因为点 M 是线段AC 的中点,点 N 是线段BC 的中点,所以BC=2NC,AC=2MC,
因为 MN=NC+MC=8(cm),所以AB=BC+AC=2NC+2MC=2MN=16(cm),
答:AB 的长为 16 cm.
10.解:(1)由题意得 3t-t=5,解得 t=2.5,
所以当点 M 追上点N 时, t的值为 2.5s ;
(2)当点 M 未追上点 N 时,3t-t=5-2,得t=1.5;
当点M追上点 N后,3t-t=5+2,得t=3.5;
综上所述,当t=1.5s或t=3.5s时,点 M与N 相距2cm .
11.解:(1)①因为 AB=6,CD=14,所以AC+BD=CD-AB=8,
因为点 M,N分别为AC,BD的中点,所以
所以
②证明：由①可得
所以
(2)不成立;
因为点 M,N分别为AC,BD的中点,所以
①当C点在D 点的左侧，点 N在点C 的右侧时,如图1或图 2:
MN=MC+CN=MC+BN-BC
②当C点在D 点的左侧，点N在点C 的左侧时，如图3或图4：
③当 D 点在C 点的左侧时，如图5 或图6：
MN =CM-CN
综上所述， 或 MN= 故结论不成立.
12.解:(1)①因为点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点,AC=BC=4,
所以 所以
故答案为：4；
②因为点 M,N分别是线段 AC,BC的中点,AC=a,BC=b,
所以 所以
(2)当点C在线段AB 上时,由(1)可得
当点C 在 BA 的延长线上时，如图1或图2，
因为点 M,N 分别是线段AC,BC的中点,AC=a,BC=b,
所以 所以
当点C 在AB 的延长线上时，如图3 或图4，
因为点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点,AC=a,BC=b,
所以 所以
综上所述， 或 或
故答案为： 或 或
13.解:(1)如图1,设 AC=x,
因为
所以 所以x+2x=9,所以x=3,所以AC=3,BC=2AC=6,
因为 D为AC 中点,所以
所以 所以 BE 的长为 3.
(2)如图2,设 DE=a,BC=b,
因为点 C为BE 的中点，所以 EC=BC=b.所以 DC=DE+EC=a+b,
因为 DC=3AD,所以
所以
又因为 所以AB=2DE,所以 所以7b=2a.
所以7BC=2DE.所以线段 DE 与 CB 之间的数量关系为7BC=2DE.
14.解:(1)因为点 D 为线段 AC 中点,所以
又因为 BC=10,所以BD=DC+CB=12,
因为E为线段BD中点，所以 所以CE=DE-DC=4;
(2)如图,
因为 D为线段AC 中点，所以设 AD=DC=m,
因为 AB=5CE,所以设CE=n,AB=5n,
因为 E为线段BD 中点，所以DE=EB=m+n,所以AB=3m+2n=5n,即m=n,
因为 AD=m,BE=m+n=2m,所以2AD=BE.
15.解:(1)因为∠AOC=90°,∠BOC=60°, 所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+60°=150°,
因为 OD平分∠AOB,所以
因为OE平分∠BOC,所以
所以∠DOE=∠DOB-∠EOB=75°-30°=45°;
(2)因为∠AOC=x°,∠BOC=60°,所以
因为OD平分∠AOB,所以
因为OE平分∠BOC,所以
所以
16.解:(1)如图1,OC是∠AOB 的角平分线,
图1
所以∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,所以射线OC为∠AOB 的“幸运线”.
即角的平分线是这个角的“幸运线”，
故答案为：是：
(2)①当∠BOC=2∠AOC 时,如图2,
图2
若设∠AOC=x,则∠BOC=2x,
因为∠BOC+∠AOC=∠AOB=60°,所以2x+x=60,所以x=20,即∠AOC=20°;
②当∠AOB=2∠AOC时,如图3,
图3
因为∠AOB=60°,所以 30°;
③当∠AOC=2∠BOC时,如图4,
图 4
若设∠BOC=y,则∠AOC=2y,
因为∠BOC+∠AOC=∠AOB=60°,所以y+2y=60°.所以 y=20°,即∠AOC=2y=40°.
综上所述,∠AOC的度数为 20°或30°或40°.
17.解:(1)因为 A,O,B三点在一条直线上,∠AOC=24°,∠BOD=78°,
所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-78°=102°,
因为OM,ON分别平分∠AOD和∠BOD,
所以
故答案为:39.51;
(2)由题意,知
因为射线OM 平分∠AOD,所以
因为∠BOD=78°-6°t,所以 51°-t°=78°-6°t,所以t=5.4s;
(3)存在某一时刻使得分以下几种情况：
情况一:若ON在OB 上方,此时∠DOM+
即 ，解得
情况二:若 ON 在OB 下方,
此时
即 解得 (不符合题意，舍去)；
情况三：当 停止运动时，OA 继续旋转时,当OA 旋转 时，
有 此时
综上所述,符合条件的 t 的值为 12 s或33 s.
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