2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学人教A版选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学人教A版选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 427.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 10:48:44 | ||
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文档简介
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2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆，，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆，的离心率分别是，，则（ ）
A．且 B．且．
C．且 D．且
5． 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ）
A．7 B．14 C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
C．已知向量，，则在方向上的投影向量为
D．为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
10．已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则 B．若，则的面积为9
C． D．的最小值为8
11．已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是0 B．的最大值为1
C．的最大值为 D．的最小值为
12．已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积是
B．的内切圆的半径为
C．点M的纵坐标为2
D．若点P是C上的一动点，则的最大值为6
三、填空题
13．已知点，圆的半径为1，圆心是直线和直线的交点.若过点的直线与圆有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
14．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ．
15．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点、，且，若点在轴上的射影为，则 .
16．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则 .
四、解答题
17．已知直线.
（1）若不经过第三象限，求的取值范围；
（2）求坐标原点到直线距离的最小值，并求此时直线的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，平面，为线段上的一点．
（1）证明：平面平面 ；
（2）当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．
（1）点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
20．已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
21．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程.
（2）若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.
22．已知椭圆：（）经过三点，，中的两点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,D
12．【答案】A,B,D
13．【答案】
14．【答案】或
15．【答案】
16．【答案】14
17．【答案】（1）解：直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故的取值范围是
（2）解：设原点到直线l的距离为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
18．【答案】（1）证明：由底面是菱形可知，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
由于平面，
可得平面平面；
（2）解：连结，过点作的垂线，垂足为，连结，
由（1）可得，又，且平面，
所以平面；
易知为与平面所成的角，
，因为为定值，且，
所以当点为的中点时，取得最小值，此时取得最大值；
以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
又底面是菱形，，所以，
则，
点为的中点，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
即可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题设四边形为菱形，都为等边三角形，连接，
所以为等边三角形，若为中点，连接，
则，又面面，面面，面，
所以面，
又因为，所以两两垂直
故可构建空间直角坐标系，如下图示，
则，所以，
所以点到直线的距离为
（2）解：由（1）知，若是面的一个法向量，
则，取，则，
所以点到平面的距离
20．【答案】（1）解：因为抛物线过点（1，），所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
（2）解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
21．【答案】（1）解：设，
则，整理得，
所以动点M的轨迹方程为；
（2）解：由（1）可知动点M的轨迹为椭圆，且为其焦点，
则，
由余弦定理得，
则，
即，解得，
所以 三角形的面积 .
22．【答案】（1）解：若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为
（2）解：假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形.
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，
此时不妨取，，因为，
所以与不垂直，则不是等腰直角三角形，此时，不符合题意.
②当的斜率存在时，设：，
联立方程组消去，得
则
设，，的中点为，
则，
所以
又可得，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
所以，即，得，无解，
综上：不存在这样的点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆，，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆，的离心率分别是，，则（ ）
A．且 B．且．
C．且 D．且
5． 已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ）
A．7 B．14 C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B．是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
C．已知向量，，则在方向上的投影向量为
D．为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
10．已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则 B．若，则的面积为9
C． D．的最小值为8
11．已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是0 B．的最大值为1
C．的最大值为 D．的最小值为
12．已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积是
B．的内切圆的半径为
C．点M的纵坐标为2
D．若点P是C上的一动点，则的最大值为6
三、填空题
13．已知点，圆的半径为1，圆心是直线和直线的交点.若过点的直线与圆有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
14．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ．
15．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点、，且，若点在轴上的射影为，则 .
16．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则 .
四、解答题
17．已知直线.
（1）若不经过第三象限，求的取值范围；
（2）求坐标原点到直线距离的最小值，并求此时直线的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，平面，为线段上的一点．
（1）证明：平面平面 ；
（2）当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．
（1）点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离．
20．已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
21．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程.
（2）若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.
22．已知椭圆：（）经过三点，，中的两点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,D
12．【答案】A,B,D
13．【答案】
14．【答案】或
15．【答案】
16．【答案】14
17．【答案】（1）解：直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故的取值范围是
（2）解：设原点到直线l的距离为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
18．【答案】（1）证明：由底面是菱形可知，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
由于平面，
可得平面平面；
（2）解：连结，过点作的垂线，垂足为，连结，
由（1）可得，又，且平面，
所以平面；
易知为与平面所成的角，
，因为为定值，且，
所以当点为的中点时，取得最小值，此时取得最大值；
以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
又底面是菱形，，所以，
则，
点为的中点，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
即可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题设四边形为菱形，都为等边三角形，连接，
所以为等边三角形，若为中点，连接，
则，又面面，面面，面，
所以面，
又因为，所以两两垂直
故可构建空间直角坐标系，如下图示，
则，所以，
所以点到直线的距离为
（2）解：由（1）知，若是面的一个法向量，
则，取，则，
所以点到平面的距离
20．【答案】（1）解：因为抛物线过点（1，），所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
（2）解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
21．【答案】（1）解：设，
则，整理得，
所以动点M的轨迹方程为；
（2）解：由（1）可知动点M的轨迹为椭圆，且为其焦点，
则，
由余弦定理得，
则，
即，解得，
所以 三角形的面积 .
22．【答案】（1）解：若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为
（2）解：假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形.
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，
此时不妨取，，因为，
所以与不垂直，则不是等腰直角三角形，此时，不符合题意.
②当的斜率存在时，设：，
联立方程组消去，得
则
设，，的中点为，
则，
所以
又可得，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
所以，即，得，无解，
综上：不存在这样的点.
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