2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学北师大版必修第二册（含答案）

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2023-2024学年寒假查漏补缺检测卷-高中数学北师大版必修第二册
一、选择题
1． 若复数为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．已知复数满足，，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．设，，，则的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知角 的终边经过点 ， 则 的值为 （　　）
A． B． C．1 D．
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（13年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（　　）(参考数据：)
A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m
7．已知正四棱锥的底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（　　）
A． B．2 C． D．
8．若两异面直线 与 的方向向量分别是 ， ，则直线 与 的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、多项选择题
9． 已知下列各角： (1) ： (2) ； (3) ； (4) ， 其中是第二象限角的是（　　）
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
10．下列结论正确的是（　　）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
11．函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．的最小正周期是
B．是奇函数.
C．在上单调递增
D．直线是曲线的一条对称轴
12．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（　　）
A．函数在区间上为增函数
B．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在上的最大值为1
三、填空题
13．已知，则的值为　 　．
14．已知平面向量，，若与共线，则　 　.
15．将函数的图象向右平移个并位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是　 　.
16． 在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于　 　.
四、解答题
17．已知i是虚数单位，.
（1）求；
（2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
18．已知，且为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．已知
（1）化简；
（2）若，求的值．
20．如图，三棱柱 的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．
（1）证明：平面FND；
（2）若P为FC的中点，求二面角的余弦值．
22．已知角满足 ▲ .请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）.
条件①：角的终边与单位圆的交点为.
条件②：角满足；
条件③：角满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C
12．【答案】A,B,C
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：根据复数的运算法则，
可得，
所以.
（2）解：设，则，
因为是纯虚数，所以且，
解得，所以.
18．【答案】（1）解：因为，且为第二象限角，（没说明第二象限角求值的扣1分）
所以；
（2）解：
19．【答案】（1）解：
（2）解：由（1）易得，
所以
20．【答案】（1）解：设 与 相交于点 ，连接 ，则 为 中点，
为 中点， .
又 平面 ， 平面
平面 .
（2）解： 正三棱柱 ， 底面 .
又 ， ，
就是二面角 的平面角.
， ， .
，即二面角 的大小是
（3）解：由（2）作 ， 为垂足.
，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ， .
， 平面 ，连接 ，则 就是直线 与平面 所成的角.
， ， 在 中， ，
， .
.
直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD中，，，，，
M为AD的中点，且，
∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，
∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面MDCN，平面MDCN，
∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
（2）解：解法一：由（1）知平面MDCN，又，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
∴，，，
设平面FND的法向量为，则，
令，令，则，∴，
设平面PND的法向量为，则，
令，则，，∴，
∴，
∴二面角的正弦值为．
22．【答案】（1）解：条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，所以，
又因为，可得，所以，可得
条件②，因为角满足，
又因为，即可得，所以，可得.
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，所以，即.
（2）解：，
由（1）可知：，当时，原式；
当时，原式
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