2023-2024学年数学苏教版高一上学期寒假复习卷（含解析）

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2023-2024学年数学苏教版高一上学期寒假复习卷
一、单选题
1．“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，已知方程在上有且仅有2个根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最小值是3
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则的最小值是4
10．已知且，则下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．的最大值是0
12．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题
13．已知，．则 ．（用及表示）
14．设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ．
15．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ．
16．已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 .
四、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
18．重庆轻轨九号线发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算：该路轻轨车载客量与发车时间间隔满足：，其中.
(1)求，并说明的实际意义；
(2)若该路轻轨车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路轻轨车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.
19．已知是第三象限角，且.
(1)求；
(2)若，求.
20．已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数在上的值域．
21．已知函数的图象经过点和点，.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求的取值范围；
(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围.
22．设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：
①；
②，，；
③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④，，，必有，，.
(1)若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.
(2)已知A，B，C是“无和划分”（）.
（i）证明：对于任意m，，都有；
（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案：
1．A
【分析】判断“两个三角形全等”和“两个三角形的周长相等”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】当两个三角形全等时，它们的周长一定相等，
当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等，
比如边长为3，4，5的直角三角形和边长为4的正三角形，
故“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件，
故选：A
2．D
【分析】根据交集和补集的概念计算即可.
【详解】由题意可得：，则．
故选：D．
3．B
【分析】根据函数图象的平移规律，结合的图象性质，即可得答案.
【详解】函数，
其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为，
故图象的对称中心是，
故选：B
4．B
【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.
【详解】，
故选：B
5．A
【分析】先求得的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于是奇函数，，
即
，
所以①，由②，
可知，若，则②的解集为与是奇函数矛盾，
所以由①得，其中，此时，
②的解集满足奇函数定义域的要求.
所以
，
当且仅当时等号成立.
故选：A
6．C
【分析】根据三角函数在各个象限的符号即可求解.
【详解】由在第二象限的点，所以，
故的终边位于第三象限，
故选：C
7．C
【分析】利用函数的奇偶性，计算特殊点的函数值，排除法得正确选项.
【详解】函数，，
，
所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误；
，，
BD选项错误；
故选：C
8．C
【分析】首先设，并求出的范围，以及零点个数，即可求解.
【详解】由题意可知，的图象与直线在上仅有2个交点，
由，得，
所以，解得：.
故选：C
9．BCD
【分析】根据基本不等式即可求解AD，根据不等式的性质即可求解BC.
【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A错误；
因为，，所以，则，，所以，B正确；
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，故C正确；
由题设，而，
又，当且仅当时等号成立，所以，D正确．
故选:BCD．
10．AD
【分析】考查和可以得到结论.
【详解】由，所以过顶点 ，故A正确；
同理：过定点，故B错误；
因为，所以过定点，故C错误；
由，所以过定点，故D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断D.
【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确；
∵，则为偶函数，故B正确；
∵，，
令，当时，单调递减，
而在上单调递增，则在上单调递减，故C错误；
∵，，令，
当时，，则的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
12．BD
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
由，解得，所以，
对于A中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确.
故选：BD.
13．/
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由可知，所以.
故答案为：
14．
【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可.
【详解】不等式可化为，
当时，不等式的解集为，
由不等式的解集是区间的真子集，可得；
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，不等式的解集为，符合题意，
综上可得，的取值范围是.
故答案为：
15．/
【分析】结合三角函数的定义及诱导公式求，然后即可求解.
【详解】因为，所以，
由点在角终边上，所以，即，
所以.
故答案为：.
16．或
【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.
【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，
当时，函数单调递减，
当为奇数时，函数为奇函数，
所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.
故答案为：或
17．(1)
(2)存在，
【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式化简集合，再根据集合交集的概念求解即可；
（2）确定，集合是的真子集，得到不等关系，解得答案.
【详解】（1）由解得，所以，
当时，由解得，所以，
所以.
（2）由且解得，
因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，
则有，解得，
故实数存在，取值范围为.
18．(1)，意义见解析
(2)间隔为分钟时，最大净收益为元
【分析】（1）直接根据解析式求，再根据题意说明实际意义；
（2）分别求出当，时的最大值，然后取最大的那个即可.
【详解】（1）由已知，
的实际意义为当轻轨九号线发车时间间隔为分钟时，轻轨车载客量为；
（2）因为，
则当时，
，
当且仅当，即时等号成立；
当时，
，
综上，当发车时间间隔为分钟时，该路轻轨车每分钟的净收益最大，且最大净收益为元.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简；
（2）由，求得，利用同角三角函数的关系求.
【详解】（1）
所以.
（2）因为，所以，又是第三象限角，
所以，所以.
20．(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件代入运算得解；
（2）根据函数单调性定义可判断证明；
（3）利用函数的单调性可求解.
【详解】（1）∵，且，
，
.
（2）函数在上单调递增．
证明：任取，且，
则
∵，
,
即,
∴函数在上单调递增．
（3）由（2）得在上单调递增，
∴在上单调递增，
又，
∴在上的值域为．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将两点坐标代入计算即可求解.
（2）利用零点存在性定理及对数函数的单调性列不等式组，解不等式组即可求解.
（3）先求出的最大值，然后把问题转化为恒成立，构造函数，利用函数单调性求解参数范围即可.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以.
（2）因为关于的方程在区间上有实数根，
所以令，则区间上有零点.
因为，所以，
又在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
又函数在区间上有零点，
则，即，
所以，解得，所以的取值范围.
（3）因为且，所以且，
因为，所以的最大值可能是或，
因为
，所以，
只需，即恒成立，
设，
因为在上单调递增，
在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以，即，
所以，所以的取值范围是.
22．(1)不是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）可取，，从而可求解.
（2）（i）利用假设法存在，，使得，根据题意证得假设不成立，从而求解；（ii）利用，，是“无和划分”，分别设出存在且，且最小值设为，然后分类讨论不同的情况，从而可求解.
【详解】（1）不是.
取，，则，说明A，B，C不是“无和划分”.
（2）（i）假设存在，，使得，记的最小值为，
则，；
设中最小的元素为，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
（否则与，矛盾），所以，
因为，所以，不同属于C.
所以，这与矛盾.
所以假设不成立，原命题成立.
（ii）因为A，B，C是“无和划分”，且存在，，使得，记的最小值为，所以，；
由（1）知，，，，
因为，所以，，所以，
设中最小的元素为，若，则，所以，
所以，（否则与，，矛盾），
所以（否则与，矛盾），
所以，又因为和不同属于C，所以，
这与，矛盾，所以，即.
所以，所以.
所以，，所以（否则与，矛盾），所以.
若，则与和矛盾，所以，所以，
（否则与，矛盾），
（否则与，矛盾），所以.
以此类推，对于任意奇数，都有，.
所以为偶数（否则，，与和矛盾），
所以，均为奇数.
因为，所以（否则与，矛盾），所以，
所以，所以（否则与，矛盾），所以，
以此类推，对于任意大于，小于或等于n的奇数都属于集合.
综上所述，中的所有奇数都属于集合.
【点睛】方法点睛：根据题意对“无和划分”的定义，分别设出集合中最小值记为，然后分别讨论时对应的情况，从而可求解证明.
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