人教版数学八年级下册同步练习18.1.1 平行四边形的边、角性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册同步练习18.1.1 平行四边形的边、角性质（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 348.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 10:54:35 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
1.如图， ABCD的周长为30，AD∶AB＝3∶2，那么BC的长度是（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
2.在 ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠A的度数为（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
3.锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A.α－45° B.90°－α
C.135°－α D.180°－2α
4.如图，在 ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝ .
5.如图，△ABC的顶点B在 ODEF的边DE上，若BC恰好平分∠ABE，已知∠2＝110°，则∠1＝ .
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF.
（2）AF∥CE.
7.如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：AD＝AF.
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
8.如图，AC是 ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝（ ）
A.24° B.36°
C.60° D.45°
9.如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE.若CE⊥DE，AE＝10，DE＝6，则 ABCD的面积为（ ）
A.64 B.132
C.128 D.60
10.如图，在 ABCD中，DE平分∠CDA，且点E是线段BC的中点，BC＝10，AE＝6，则DE的长为 .
11.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连接CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 .
12.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有 .
13.如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
（1）求证：CF＝CD.
（2）若AD＝2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
14.（1）在图①，图②，图③中，已知 ABCD的顶点A，B，D的坐标，写图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ， .
（2）在图④中，给出 ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）.
15.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF，EG，AG.
（1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长.
（2）若∠CEG＝∠AGE.
①请判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由.
②求证：∠1＝∠2.
16.问题提出：
（1）如图，△ABC为等边三角形，边长为6 cm，动点M从点B出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以2 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以1 cm/s的速度运动.动点M，N同时出发，当点M在AB上运动且MN⊥AB时，求点M运动的时间.
问题解决：
（2）某小区有一个边长为4 m的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛△ABC举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份.笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在A点站立不动，妈妈在△ABC边上某点D处站立不动，爸爸从点B出发，沿着花坛顺时针方向以2 m/s的速度走动（可看作花坛边上运动的点M），同时笑笑从点C出发，沿着花坛逆时针方向以1 m/s的速度走动（可看作花坛边上运动的点N）.若笑笑出发不到2 s，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C多少米？
11
参考答案
1.A 2.C 3.A 4.40° 5.35°
6.证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF.
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
又∵∠1＝∠2，EF＝EF，
∴△AEF≌△CFE，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE.
7.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F.
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF.
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝AF－AB＝3.
如图，过点D作DH⊥FA，交FA的延长线于H，则∠H＝90°.
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝3，∴DH＝＝3，
∴△ADF的面积＝AF·DH＝×6×3＝9.
8.A
9.C 点拨：∵AE＝10，DE＝6，∴AD＝16.由题意得BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝10，∴CD＝10.∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°.∵DE＝6，CD＝10，∴CE＝＝＝8，∴ ABCD的面积为AD×CE＝16×8＝128.故选C.
10.8 点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD.
∴∠EDA＝∠DEC.∵DE平分∠CDA，∴∠EDC＝∠EDA，∴∠EDC＝∠DEC.∴EC＝CD.
∵点E是线段BC的中点，BC＝10，∴EC＝BE＝5，∴AB＝CD＝EC＝5，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠DAE.∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°.∴△AED是直角三角形.∵AE＝6，AD＝BC＝10，∴DE＝＝＝8.
11.45° 点拨：连接DG，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵AE⊥BC，∴∠GEC＝90°，AE⊥AD，∴∠DAG＝90°.∵EG＝BC，AD＝BC，∴EG＝AD.
在△ADG和△EGC中，，
∴△ADG≌△EGC（SAS），
∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC.∵∠ADG＋∠AGD＝90°，
∴∠EGC＋∠AGD＝90°，
∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG＝45°.∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCG＝45°.
12.△BDE，△EDC，△ABC
13.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△BAE和△CFE中，，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF.
∵AB＝CD，
∴CF＝CD.
（2）解：DE⊥AF，理由如下：
由（1）得，CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD.
∵AB＝CD，∴DF＝2AB.
∵AD＝2AB，∴AD＝DF.又∵AE＝EF，
∴DE⊥AF.
14.解：（1）（5，2）；（e＋c，d）；（c＋e－a，d）
（2）如图，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，
过A作AE⊥BB1于点E，过D作DF⊥CC1于点F，则∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝BA，CD∥BA，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠FCD＝180°.
易知BB1∥CC1，
∴∠EBA＋∠ABC＋∠BCF＝180°.
∴∠EBA＝∠FCD.
在△BEA和△CFD中，
∴△BEA≌△CFD（AAS）.
∴DF＝AE＝a－c，CF＝BE＝d－b.
设C（x，y）.则DF＝e－x，CF＝y－f.
∴e－x＝a－c，y－f＝d－b，
∴x＝e＋c－a，y＝f＋d－b.
∴C（e＋c－a，f＋d－b）.
15.（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝4，
∴CD＝CE＝2CF＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝＝2.
（2）①解：AG＝EG，理由如下：
延长BC交AG的延长线于H，如图所示.
∵∠CEG＝∠AGE，∠AGE＝∠CEG＋∠CHG，
∴∠CEG＝∠CHG.
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴∠AEG＋∠CEG＝90°，∠EAG＋∠CHG＝90°，
∴∠AEG＝∠EAG，
∴AG＝EG.
②证明：由①，得∠CEG＝∠CHG，AG＝EG，
∴AG＝EG＝HG.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BH，
∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG.
在△ADG和△HCG中，
∴△ADG≌△HCG（AAS），∴DG＝CG，
∴CG＝CD＝CE.
∵点F为CE的中点，
∴CF＝CE，∴CF＝CG.
在△CDF和△CEG中， ，
∴△CDF≌△CEG（SAS），∴∠1＝∠2.
16.解：（1）设点M运动的时间为t s（0≤t≤3），则BM＝2t cm，CN＝t cm，∴AM＝（6－2t）cm，AN＝（6－t）cm.
∵MN⊥AB，∴∠AMN＝90°.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∴∠ANM＝30°，∴AM＝AN.
∴6－2t＝（6－t），解得t＝2，
∴点M运动的时间为2s.
（2）点M，D，N的位置如图所示.
∵△ABC是边长为4 m的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4 m，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
设笑笑出发x s，一家人就得奖了，
则笑笑走了x m，笑笑的爸爸走了2x m，
∴CN＝x m，BM＝2x m，
∴AM＝（4－2x）m.
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM＝（4－2x）m，DN∥AB，
∴∠NDC＝∠B＝60°，∠DNC＝∠A＝60°，
∴∠DNC＝∠C＝∠NDC＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴DN＝CD＝CN＝x m，
∴x＝4－2x，
解得x＝，∴CD＝m.
∴妈妈所选的位置D距点C m.
18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
1.如图， ABCD的周长为30，AD∶AB＝3∶2，那么BC的长度是（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
2.在 ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠A的度数为（ ）
A.60° B.90°
C.120° D.150°
3.锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A.α－45° B.90°－α
C.135°－α D.180°－2α
4.如图，在 ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝ .
5.如图，△ABC的顶点B在 ODEF的边DE上，若BC恰好平分∠ABE，已知∠2＝110°，则∠1＝ .
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：
（1）BE＝DF.
（2）AF∥CE.
7.如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：AD＝AF.
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
8.如图，AC是 ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝（ ）
A.24° B.36°
C.60° D.45°
9.如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE.若CE⊥DE，AE＝10，DE＝6，则 ABCD的面积为（ ）
A.64 B.132
C.128 D.60
10.如图，在 ABCD中，DE平分∠CDA，且点E是线段BC的中点，BC＝10，AE＝6，则DE的长为 .
11.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连接CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 .
12.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有 .
13.如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
（1）求证：CF＝CD.
（2）若AD＝2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
14.（1）在图①，图②，图③中，已知 ABCD的顶点A，B，D的坐标，写图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ， .
（2）在图④中，给出 ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）.
15.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF，EG，AG.
（1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长.
（2）若∠CEG＝∠AGE.
①请判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由.
②求证：∠1＝∠2.
16.问题提出：
（1）如图，△ABC为等边三角形，边长为6 cm，动点M从点B出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以2 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以1 cm/s的速度运动.动点M，N同时出发，当点M在AB上运动且MN⊥AB时，求点M运动的时间.
问题解决：
（2）某小区有一个边长为4 m的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛△ABC举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份.笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在A点站立不动，妈妈在△ABC边上某点D处站立不动，爸爸从点B出发，沿着花坛顺时针方向以2 m/s的速度走动（可看作花坛边上运动的点M），同时笑笑从点C出发，沿着花坛逆时针方向以1 m/s的速度走动（可看作花坛边上运动的点N）.若笑笑出发不到2 s，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C多少米？
11
参考答案
1.A 2.C 3.A 4.40° 5.35°
6.证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF.
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
又∵∠1＝∠2，EF＝EF，
∴△AEF≌△CFE，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE.
7.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F.
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF.
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝AF－AB＝3.
如图，过点D作DH⊥FA，交FA的延长线于H，则∠H＝90°.
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝3，∴DH＝＝3，
∴△ADF的面积＝AF·DH＝×6×3＝9.
8.A
9.C 点拨：∵AE＝10，DE＝6，∴AD＝16.由题意得BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝10，∴CD＝10.∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°.∵DE＝6，CD＝10，∴CE＝＝＝8，∴ ABCD的面积为AD×CE＝16×8＝128.故选C.
10.8 点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD.
∴∠EDA＝∠DEC.∵DE平分∠CDA，∴∠EDC＝∠EDA，∴∠EDC＝∠DEC.∴EC＝CD.
∵点E是线段BC的中点，BC＝10，∴EC＝BE＝5，∴AB＝CD＝EC＝5，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠DAE.∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°.∴△AED是直角三角形.∵AE＝6，AD＝BC＝10，∴DE＝＝＝8.
11.45° 点拨：连接DG，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵AE⊥BC，∴∠GEC＝90°，AE⊥AD，∴∠DAG＝90°.∵EG＝BC，AD＝BC，∴EG＝AD.
在△ADG和△EGC中，，
∴△ADG≌△EGC（SAS），
∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC.∵∠ADG＋∠AGD＝90°，
∴∠EGC＋∠AGD＝90°，
∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG＝45°.∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCG＝45°.
12.△BDE，△EDC，△ABC
13.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△BAE和△CFE中，，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF.
∵AB＝CD，
∴CF＝CD.
（2）解：DE⊥AF，理由如下：
由（1）得，CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD.
∵AB＝CD，∴DF＝2AB.
∵AD＝2AB，∴AD＝DF.又∵AE＝EF，
∴DE⊥AF.
14.解：（1）（5，2）；（e＋c，d）；（c＋e－a，d）
（2）如图，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，
过A作AE⊥BB1于点E，过D作DF⊥CC1于点F，则∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝BA，CD∥BA，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠FCD＝180°.
易知BB1∥CC1，
∴∠EBA＋∠ABC＋∠BCF＝180°.
∴∠EBA＝∠FCD.
在△BEA和△CFD中，
∴△BEA≌△CFD（AAS）.
∴DF＝AE＝a－c，CF＝BE＝d－b.
设C（x，y）.则DF＝e－x，CF＝y－f.
∴e－x＝a－c，y－f＝d－b，
∴x＝e＋c－a，y＝f＋d－b.
∴C（e＋c－a，f＋d－b）.
15.（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝4，
∴CD＝CE＝2CF＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝＝2.
（2）①解：AG＝EG，理由如下：
延长BC交AG的延长线于H，如图所示.
∵∠CEG＝∠AGE，∠AGE＝∠CEG＋∠CHG，
∴∠CEG＝∠CHG.
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，
∴∠AEG＋∠CEG＝90°，∠EAG＋∠CHG＝90°，
∴∠AEG＝∠EAG，
∴AG＝EG.
②证明：由①，得∠CEG＝∠CHG，AG＝EG，
∴AG＝EG＝HG.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BH，
∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG.
在△ADG和△HCG中，
∴△ADG≌△HCG（AAS），∴DG＝CG，
∴CG＝CD＝CE.
∵点F为CE的中点，
∴CF＝CE，∴CF＝CG.
在△CDF和△CEG中， ，
∴△CDF≌△CEG（SAS），∴∠1＝∠2.
16.解：（1）设点M运动的时间为t s（0≤t≤3），则BM＝2t cm，CN＝t cm，∴AM＝（6－2t）cm，AN＝（6－t）cm.
∵MN⊥AB，∴∠AMN＝90°.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∴∠ANM＝30°，∴AM＝AN.
∴6－2t＝（6－t），解得t＝2，
∴点M运动的时间为2s.
（2）点M，D，N的位置如图所示.
∵△ABC是边长为4 m的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4 m，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
设笑笑出发x s，一家人就得奖了，
则笑笑走了x m，笑笑的爸爸走了2x m，
∴CN＝x m，BM＝2x m，
∴AM＝（4－2x）m.
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM＝（4－2x）m，DN∥AB，
∴∠NDC＝∠B＝60°，∠DNC＝∠A＝60°，
∴∠DNC＝∠C＝∠NDC＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴DN＝CD＝CN＝x m，
∴x＝4－2x，
解得x＝，∴CD＝m.
∴妈妈所选的位置D距点C m.