人教A版（2019）必修第二册《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1． ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果，，，是异面直线，那么
B．若，，，则
C．若，，则
D．如果，，，共面，那么
2．圆柱的母线长为，圆柱的侧面积为，四边形是圆柱的轴截面，若是下底面圆的内接正三角形，且与交于点，则与所成角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．2
3．（2019·全国Ⅲ卷理） 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
4．如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点，设，，若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018高一上·桂林期中）若 、 为异面直线，直线 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
6．已知，为平面，，，为直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，，则
7．空间中，若、、为三条不同直线，、、为三个不同平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
8．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列四个命题：
①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则，
正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（本大题共5小题，共25分）
9．已知两条不同的直线、，两个不同平面、，其中说法错误的是（ ）
A．若，则平行于内的所有直线
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，且，则
10．已知，，为直线，，，为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．，，则
B．，，则
C．，，则
D．，，则
11．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若且则
B．若则
C．若则
D．若则
12．已知，，是三条不同的直线，且平面，平面，，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若与是异面直线，则至少与、中一条相交
B．若不垂直于，则与一定不垂直
C．若，则必有
D．若，，则必有
13．已知两个不重合的平面，及直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题（本大题共5小题，共25分）
14．已知，表示直线，，，表示平面．
①若，，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若，，，则
上述命题中，正确命题的序号是 .
15．在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 结果用数字表示
16．如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 ．
17．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的图是 写出所有正确答案的序号
18．如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60分）
19．（2017高一下·鸡西期末）如图，直三棱柱 中， ， .
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知直线平面，直线平面求证：
21．在斜三棱柱中，平面平面，，，
（1）求证；
（2）若，求三棱锥的体积．
22．已知正方体中，，分别为的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2） ，，交平面于点，求证：，，三点共线．
23．如图，已知平面平面直线，直线，直线，，求证：与是异面直线．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】如果 ， ， ， 是异面直线，那么 或 与 相交，故 错误；
若 ， ，则 或 ，而 ，则 ，故 正确；
若 ， ，则 或 与 相交，故 错误；
如果 ， ， ， 共面，那么 或 与 相交，故 错误．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出真命题的选项。
2．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意，设圆柱 底面圆半径为 ，
又圆柱 母线长 ，
所以其侧面积为 ，
即得 ，
作出图形如下所示：
易知 底面 ，且 ，
所以 与 所成角与 相等，
因为 是下底面圆 的内接正三角形，四边形 是圆柱的轴截面，
所以 ，所以 ，
即得 ，
所以在 中，有
故答案为：A
【分析】由题意，设圆柱 底面圆半径为 ，再利用圆柱 母线长 ，再结合已知条件和圆柱的侧面积公式得出r的值，再利用图形易知 底面 ，且 ，所以 与 所成角与 相等，再利用三角形 是下底面圆 的内接正三角形，四边形 是圆柱的轴截面，所以 ，进而得出BG的长，在 中结合正切函数的定义得出 与所成角的正切值。
3．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】 【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：
∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，
∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= a，
∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，
故答案为：B.
【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.
4．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】注意到面是向四周延伸的，由题意，若 ，则棱 与平面 交于点 ，符合题意排除 ， 项；
若 ， ，则棱 与平面 交于线段 ， C 项符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合特殊值法和直线与平面的位置关系判断方法，进而得出a+y的取值范围。
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为 为异面直线，直线 ，则 与 的位置关系是异面或相交.
故答案为：D
【分析】根据空间两直线的位置关系进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于 ，没有说明 与 的关系，当 在 内时， 不平行 ，故错误；
对于 ，没有说明 与 的关系，当 在 内时， 不垂直 ，故错误；
对于 ，在平面中，正确，在空间中，可能错误；
对于 ，满足面面平行的判定，故正确.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误；
若 ， ，则由直线与平面垂直的性质定理得 ，故 正确；
若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
8．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】命题①中 与 有可能平行或相交；
命题②中 与 还有可能相交；
命题④中 与 还有可能相交；
， ，
，
又 ，
，故命题③正确．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的个数。
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】 ，若 ，由直线与平面平行的定义，直线 与平面 没有公共点，故直线 与平面 中的直线可能平行或异面 故 错误
，因为位于两个平行平面中的两条直线也有可能垂直，所以 错误
，由平面与平面垂直的判定定理知： 若 ， ，则 所以 正确
，若 ， 且 ，则 与 可能平行或者异面 所以 错误.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合线满平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出说法错误的选项。
10．【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ， ， 为直线， ， ， 为平面，知：
对于 ， ， ，由线面垂直的性质定理得 ，A符合题意；
对于 ， ， ，则 与 相交或平行，B不符合题意；
对于 ， ， ，则 与 相交、平行或异面，C不符合题意；
对于 ， ， ，由面面平行的判定定理得 ，D符合题意．
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】 若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，因此 不正确；
B.若 ， ，则 ，又 ，则 ，因此 正确；
C.若 ，因此 正确；
D.若 ， ，则 ，又 ，可得 或 ，因此 不正确．
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理、线面平行的判定定理，姐呢人找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由于 平面 ， 平面 ， ，若 与 ， 都不相交，即平行，则 ， ，即有 ，与 ， 异面矛盾，则 正确；
若 不垂直于 ，假设 ， ，则 ，则 错误；
若 ， ，即有 ， ， ，则必有 ，则 正确；
若 ， ，若 ，推不出 ，也即推不出 ，则 错误．
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法、线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的选项。
13．【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ，则 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则平面 内存在直线 ，使得 ，
又 ， ，故 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 或 与 相交，故 错误．
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
14．【答案】②④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；
② ， 垂直于 内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 ，又 ，则 ，故正确；
③ ， ， ，则 或 ，或相交，故不正确；
④根据线面垂直的性质，若 ， 则 ，又 ，则 ，故正确，
故答案为②④.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、线线垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的序号。
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由正六棱柱的18条棱中任取两条，共有 种，
考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，
6条侧棱，每一条侧棱与一个底面中的4条直线是互相垂直的异面直线，有上下两个底面，
则其中是互相垂直的异面直线共有 种，
所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率。
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】由题意，正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，如图，是正六边形，边长为： ，
所以截面多边形的周长为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意，正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，再利用图形得出截面是正六边形，再结合正六变形的周长公式得出截面多边形的周长。
17．【答案】③
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】①中的 与 是两条平行且相等的线段，故①不满足条件；
②中的 与 是两条平行且相等的线段，故②也不满足条件；
③中的 与 是两条既不平行，又不相交的直线，故③满足条件．
④中，根据正方体上的点 、 、 、 是其所在棱的中点，
延长 ， 以及外右侧的棱然后根据三角形的相似得 和 是相交直线，
故④不满足条件．
故答案为③.
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法，进而找出直线与是异面直线的图。
18．【答案】（ ， ]
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】在 上取点 使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ， ， ， ，
则 为 的中位线， ，
， ， 四边形 是矩形，
，
四边形 是平行四边形， ，
，
故截面多边形为梯形 ，
设 ，则 ， ，
取 的中点 ，过 作 ，过 作 ，则可证 ，
则 ， ，
，
梯形 的面积为 ，
， ．
故答案为：
【分析】在 上取点 使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ， ， ， ，再利用中点作中位线的方法，则 为 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 ， ， 所以四边形 是矩形，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 ，故截面多边形为梯形 ，设 ，再利用勾股定理得出 ， ，取 的中点 ，过 作 ，过 作 ，则可证 ，再结合中点的性质和梯形的面积公式得出梯形 的面积为 ，再结合x的取值范围和二次函数的图象求最值的方法得出S的取值范围。
19．【答案】（1）证明：在直角 中， ，又 ，又 平面
（2）解： .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由直三棱柱可得高AA1⊥底面进而得到⊥底面任意线段，所以根据直角△ADB中的勾股定理换算可得AC⊥BC，再根据直线与平面垂直的判定定理得到直线垂直于整个平面，所以垂直平面内任意直线，即可得证；
（2）由上题可知该直三棱柱底面是Rt三角形，所以直接由体积计算公式得到答案。
20．【答案】证明：设β为过a的平面，且α∩β=l．
∵a∥α，∴a∥l．
∵直线b⊥平面α，l α，
∴b⊥l，
∴b⊥a．
a⊥b．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】 设β为过a的平面，且α∩β=l，再利用a∥α结合面面平行的性质定理证出线线平行，所以a∥l，再利用直线b⊥平面α结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以b⊥l，再利用线线垂直证出线面垂直，所以b⊥a，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出a⊥b。
21．【答案】（1）证明： 平面 平面 ， ，
平面 ，
， ，
，又 ，
平面 ，又 平面 ，
（2）解：由已知及（Ⅰ）， 是等腰直角三角形， ，
平面 平面 ，
斜边上的高等于斜三棱柱 的高，且等于
在 中， ， ，
三棱柱 的体积
又三棱锥 与三棱锥 的体积相等，都等于 ，
三棱锥 的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用平面 平面 ， 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用
， ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由已知及（1），再利用三角形 是等腰直角三角形， ， 再结合平面 平面 ，所以 斜边上的高等于斜三棱柱 的高，且等于 ，在 中， ，再结合三角形的面积公式得出 的值 ，再利用三棱柱的体积公式得出三棱柱 的体积，再结合三棱锥 与三棱锥 的体积相等，都等于 ，进而得出三棱锥 的体积。
22．【答案】（1）证明： 、 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
，
是正方体，
、 ，
四边形 是平行四边形，
，
又由 ，
，
、 、 、 共面．
（2）证明： ， ，
是平面 和平面 的交线，
交平面 于 点，
是平面 和平面 的一个公共点，
两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
， ， 三点共线．
【知识点】三点共线；共面向量定理
【解析】【分析】（1）利用 、 分别为 ， 的中点结合中点作中位线的方法，所以 是 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 是正方体，所以 、 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又由 ，再结合平行的传递性，所以 ，再结合四点共面的判断方法，进而证出 、 、 、 共面。
（2） 利用 ， ，所以 是平面 和平面 的交线，再利用 交平面 于 点，所以点M是平面 和平面 的一个公共点，再利用两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上结合三点共线的判断方法，进而证出 ， ， 三点共线。
23．【答案】解：证明：（利用反证法）
假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b，γ∩β=c．
∵a∥c，a γ，∴a∥γ．
又∵a α，且α∩γ=b，∴a∥b，这与a∩b=A矛盾．
因此b与c不可能共面，B与c是异面直线．；
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】利用已知条件结合反证法和异面直线的判断方法，进而证出b与c是异面直线。
1 / 1人教A版（2019）必修第二册《8.4空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1． ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果，，，是异面直线，那么
B．若，，，则
C．若，，则
D．如果，，，共面，那么
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】如果 ， ， ， 是异面直线，那么 或 与 相交，故 错误；
若 ， ，则 或 ，而 ，则 ，故 正确；
若 ， ，则 或 与 相交，故 错误；
如果 ， ， ， 共面，那么 或 与 相交，故 错误．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出真命题的选项。
2．圆柱的母线长为，圆柱的侧面积为，四边形是圆柱的轴截面，若是下底面圆的内接正三角形，且与交于点，则与所成角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由题意，设圆柱 底面圆半径为 ，
又圆柱 母线长 ，
所以其侧面积为 ，
即得 ，
作出图形如下所示：
易知 底面 ，且 ，
所以 与 所成角与 相等，
因为 是下底面圆 的内接正三角形，四边形 是圆柱的轴截面，
所以 ，所以 ，
即得 ，
所以在 中，有
故答案为：A
【分析】由题意，设圆柱 底面圆半径为 ，再利用圆柱 母线长 ，再结合已知条件和圆柱的侧面积公式得出r的值，再利用图形易知 底面 ，且 ，所以 与 所成角与 相等，再利用三角形 是下底面圆 的内接正三角形，四边形 是圆柱的轴截面，所以 ，进而得出BG的长，在 中结合正切函数的定义得出 与所成角的正切值。
3．（2019·全国Ⅲ卷理） 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】 【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：
∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，
∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= a，
∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，
故答案为：B.
【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.
4．如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点，设，，若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】注意到面是向四周延伸的，由题意，若 ，则棱 与平面 交于点 ，符合题意排除 ， 项；
若 ， ，则棱 与平面 交于线段 ， C 项符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合特殊值法和直线与平面的位置关系判断方法，进而得出a+y的取值范围。
5．（2018高一上·桂林期中）若 、 为异面直线，直线 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为 为异面直线，直线 ，则 与 的位置关系是异面或相交.
故答案为：D
【分析】根据空间两直线的位置关系进行判断即可.
6．已知，为平面，，，为直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于 ，没有说明 与 的关系，当 在 内时， 不平行 ，故错误；
对于 ，没有说明 与 的关系，当 在 内时， 不垂直 ，故错误；
对于 ，在平面中，正确，在空间中，可能错误；
对于 ，满足面面平行的判定，故正确.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
7．空间中，若、、为三条不同直线，、、为三个不同平面，则下列命题正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误；
若 ， ，则由直线与平面垂直的性质定理得 ，故 正确；
若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
8．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列四个命题：
①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则，
正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】命题①中 与 有可能平行或相交；
命题②中 与 还有可能相交；
命题④中 与 还有可能相交；
， ，
，
又 ，
，故命题③正确．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的个数。
二、多选题（本大题共5小题，共25分）
9．已知两条不同的直线、，两个不同平面、，其中说法错误的是（ ）
A．若，则平行于内的所有直线
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，且，则
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】 ，若 ，由直线与平面平行的定义，直线 与平面 没有公共点，故直线 与平面 中的直线可能平行或异面 故 错误
，因为位于两个平行平面中的两条直线也有可能垂直，所以 错误
，由平面与平面垂直的判定定理知： 若 ， ，则 所以 正确
，若 ， 且 ，则 与 可能平行或者异面 所以 错误.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合线满平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出说法错误的选项。
10．已知，，为直线，，，为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．，，则
B．，，则
C．，，则
D．，，则
【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ， ， 为直线， ， ， 为平面，知：
对于 ， ， ，由线面垂直的性质定理得 ，A符合题意；
对于 ， ， ，则 与 相交或平行，B不符合题意；
对于 ， ， ，则 与 相交、平行或异面，C不符合题意；
对于 ， ， ，由面面平行的判定定理得 ，D符合题意．
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
11．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若且则
B．若则
C．若则
D．若则
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】 若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，因此 不正确；
B.若 ， ，则 ，又 ，则 ，因此 正确；
C.若 ，因此 正确；
D.若 ， ，则 ，又 ，可得 或 ，因此 不正确．
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理、线面平行的判定定理，姐呢人找出说法正确的选项。
12．已知，，是三条不同的直线，且平面，平面，，下列命题中正确的命题是（ ）
A．若与是异面直线，则至少与、中一条相交
B．若不垂直于，则与一定不垂直
C．若，则必有
D．若，，则必有
【答案】A,C
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】由于 平面 ， 平面 ， ，若 与 ， 都不相交，即平行，则 ， ，即有 ，与 ， 异面矛盾，则 正确；
若 不垂直于 ，假设 ， ，则 ，则 错误；
若 ， ，即有 ， ， ，则必有 ，则 正确；
若 ， ，若 ，推不出 ，也即推不出 ，则 错误．
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法、线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的选项。
13．已知两个不重合的平面，及直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ，则 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则平面 内存在直线 ，使得 ，
又 ， ，故 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 或 与 相交，故 错误．
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。
三、填空题（本大题共5小题，共25分）
14．已知，表示直线，，，表示平面．
①若，，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若，，，则
上述命题中，正确命题的序号是 .
【答案】②④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；
② ， 垂直于 内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 ，又 ，则 ，故正确；
③ ， ， ，则 或 ，或相交，故不正确；
④根据线面垂直的性质，若 ， 则 ，又 ，则 ，故正确，
故答案为②④.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、线线垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的序号。
15．在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 结果用数字表示
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由正六棱柱的18条棱中任取两条，共有 种，
考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，
6条侧棱，每一条侧棱与一个底面中的4条直线是互相垂直的异面直线，有上下两个底面，
则其中是互相垂直的异面直线共有 种，
所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率。
16．如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 ．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】由题意，正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，如图，是正六边形，边长为： ，
所以截面多边形的周长为 ．
故答案为： ．
【分析】由题意，正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，再利用图形得出截面是正六边形，再结合正六变形的周长公式得出截面多边形的周长。
17．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的图是 写出所有正确答案的序号
【答案】③
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】①中的 与 是两条平行且相等的线段，故①不满足条件；
②中的 与 是两条平行且相等的线段，故②也不满足条件；
③中的 与 是两条既不平行，又不相交的直线，故③满足条件．
④中，根据正方体上的点 、 、 、 是其所在棱的中点，
延长 ， 以及外右侧的棱然后根据三角形的相似得 和 是相交直线，
故④不满足条件．
故答案为③.
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法，进而找出直线与是异面直线的图。
18．如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ．
【答案】（ ， ]
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】在 上取点 使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ， ， ， ，
则 为 的中位线， ，
， ， 四边形 是矩形，
，
四边形 是平行四边形， ，
，
故截面多边形为梯形 ，
设 ，则 ， ，
取 的中点 ，过 作 ，过 作 ，则可证 ，
则 ， ，
，
梯形 的面积为 ，
， ．
故答案为：
【分析】在 上取点 使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ， ， ， ，再利用中点作中位线的方法，则 为 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 ， ， 所以四边形 是矩形，所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 ，故截面多边形为梯形 ，设 ，再利用勾股定理得出 ， ，取 的中点 ，过 作 ，过 作 ，则可证 ，再结合中点的性质和梯形的面积公式得出梯形 的面积为 ，再结合x的取值范围和二次函数的图象求最值的方法得出S的取值范围。
四、解答题（本大题共5小题，共60分）
19．（2017高一下·鸡西期末）如图，直三棱柱 中， ， .
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明：在直角 中， ，又 ，又 平面
（2）解： .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由直三棱柱可得高AA1⊥底面进而得到⊥底面任意线段，所以根据直角△ADB中的勾股定理换算可得AC⊥BC，再根据直线与平面垂直的判定定理得到直线垂直于整个平面，所以垂直平面内任意直线，即可得证；
（2）由上题可知该直三棱柱底面是Rt三角形，所以直接由体积计算公式得到答案。
20．已知直线平面，直线平面求证：
【答案】证明：设β为过a的平面，且α∩β=l．
∵a∥α，∴a∥l．
∵直线b⊥平面α，l α，
∴b⊥l，
∴b⊥a．
a⊥b．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】 设β为过a的平面，且α∩β=l，再利用a∥α结合面面平行的性质定理证出线线平行，所以a∥l，再利用直线b⊥平面α结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以b⊥l，再利用线线垂直证出线面垂直，所以b⊥a，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出a⊥b。
21．在斜三棱柱中，平面平面，，，
（1）求证；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明： 平面 平面 ， ，
平面 ，
， ，
，又 ，
平面 ，又 平面 ，
（2）解：由已知及（Ⅰ）， 是等腰直角三角形， ，
平面 平面 ，
斜边上的高等于斜三棱柱 的高，且等于
在 中， ， ，
三棱柱 的体积
又三棱锥 与三棱锥 的体积相等，都等于 ，
三棱锥 的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用平面 平面 ， 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用
， ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由已知及（1），再利用三角形 是等腰直角三角形， ， 再结合平面 平面 ，所以 斜边上的高等于斜三棱柱 的高，且等于 ，在 中， ，再结合三角形的面积公式得出 的值 ，再利用三棱柱的体积公式得出三棱柱 的体积，再结合三棱锥 与三棱锥 的体积相等，都等于 ，进而得出三棱锥 的体积。
22．已知正方体中，，分别为的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2） ，，交平面于点，求证：，，三点共线．
【答案】（1）证明： 、 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
，
是正方体，
、 ，
四边形 是平行四边形，
，
又由 ，
，
、 、 、 共面．
（2）证明： ， ，
是平面 和平面 的交线，
交平面 于 点，
是平面 和平面 的一个公共点，
两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
， ， 三点共线．
【知识点】三点共线；共面向量定理
【解析】【分析】（1）利用 、 分别为 ， 的中点结合中点作中位线的方法，所以 是 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 是正方体，所以 、 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又由 ，再结合平行的传递性，所以 ，再结合四点共面的判断方法，进而证出 、 、 、 共面。
（2） 利用 ， ，所以 是平面 和平面 的交线，再利用 交平面 于 点，所以点M是平面 和平面 的一个公共点，再利用两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上结合三点共线的判断方法，进而证出 ， ， 三点共线。
23．如图，已知平面平面直线，直线，直线，，求证：与是异面直线．
【答案】解：证明：（利用反证法）
假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b，γ∩β=c．
∵a∥c，a γ，∴a∥γ．
又∵a α，且α∩γ=b，∴a∥b，这与a∩b=A矛盾．
因此b与c不可能共面，B与c是异面直线．；
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】利用已知条件结合反证法和异面直线的判断方法，进而证出b与c是异面直线。
1 / 1
