2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.1 相交线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·迪庆期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵于点，
∴∠EOB=90°，
∵直线，相交于点，
∴∠COE+∠BOD+∠EOB=180°，
∵∠COE=50°，
∴50°+∠BOD+90°=180°，
解得∠BOD=40°.
故答案为：A.
【分析】利用平角的意义，列出关于待求角的关系式，由得出∠EOB=90°，连同代入上述关系式中，转化为待求角的方程求解.
2．（2023七下·大荔期末）如图，请你观察，最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：观察量角器得出∠1对顶角的度数为：130°-25°=105°，
∴∠1=105°，
故答案为：D.
【分析】先观察量角器得出∠1对顶角的度数，即可求解.
3．（2023七下·茶陵期末）如图，直线a，b相交，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，，
∴∠2=180°-∠1=180°-130°=50°，
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2=50°，
∴∠2+∠3=50°+50°=100°，
故答案为：B.
【分析】先利用邻补角求出∠2的度数，再利用对顶角的性质可得∠3=∠2=50°，最后利用角的运算求解即可.
4．（2023七下·泸州期末）如图，若相交于点O，过点O作，则下列结论不正确的是（ ）
A．与互为余角 B．与互为余角
C．与是对顶角 D．与是邻补角
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，
A、∴∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互为余角，故A正确；
B、∵∠2+∠3+∠BOE=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2与∠3互为余角，故B正确；
C、根据图形可得：∠1与∠3是对顶角，∴C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC与∠BOC是邻补角，∵∠BOC>∠BOE，∴∠AOC与∠BOE不是邻补角，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】利用余角、对顶角和邻补角的定义逐项判断即可.
5．（2023七下·禅城期中）已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠AOF，∠AOF+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠AOF，由垂直的定义可得∠AOF+∠2=90°，则∠1+∠2=90°，据此判断.
6．（2023七下·东丽期中）如图图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
A、∠1和∠2不是对顶角，A不符合题意；
B、∠1和∠2是对顶角，B符合题意；
C、∠1和∠2不是对顶角，C不符合题意；
D、∠1和∠2不是对顶角，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据对顶角的定义结合题意即可求解。
7．（2023七下·鲁甸期末）用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；相交线
【解析】【解答】最多时，从一个角向斜下方截，平面与正方体的六个面都有相交。
【分析】最多6个边，最少3个边，生活中可以试验一下，增加感性认识。
8．下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：对顶角一定相等，不相等的角一定不是对顶角．但是，有些相等的角，并不是对顶角，所以选项A和B错误；对顶角相等，但并不一定互补，所以选项D错误；所以选C．
【分析】掌握对顶角和性质解答本题的关键．本题考查对顶角的性质．
二、填空题
9．（2023七下·都昌期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ．
【答案】或
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①当两角为对顶角时，2x-10=100-x，解得x=；
②当两角为邻补角时，2x-10+100-x=180，解得：x=90；
综上，x的值为或，
故答案为：或.
【分析】分类讨论，①当两角为对顶角时，②当两角为邻补角时，再分别列出方程求解即可.
10．（2023七下·清远期中）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是 ．
【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOC=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOD=40°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】由对顶角的性质可得BOC=∠AOD=80°，根据角平分线的概念可得∠DOE=∠AOD=40°，然后利用邻补角的性质进行计算.
11．（2023七下·越秀期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=150°，
∴∠AOC=150°.
∵OM⊥OA，
∴∠MOA=90°，
∴∠COM=∠AOC-∠AOM=150°-90°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=150°，由垂直的概念可得∠MOA=90°，然后根据∠COM=∠AOC-∠AOM进行计算.
12．（2023八下·栾城期末）如图是由射线、、、组成的平面图形，则 °．
【答案】
【知识点】角的运算；相交线
【解析】【解答】∵多边形外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°。
【分析】根据多边形的外角和为360°可得结果。
13．（2023七下·陇县期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，则等于 ．
【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠AOC=∠BOD=80°.
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠AOC=40°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=80°，由角平分线的概念可得∠AOM=∠AOC=40°，然后根据平角的概念进行计算.
三、解答题
14．（2023七上·兴隆期中）一制三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，求的值．
【答案】解：①当在左边且平分时，
∵，，
∴；
②当在右边且平分时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当在右边且平分时，
∵，
∴，
∴，
综上所述的值为或或．
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】分类讨论： ①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时， 再分别求解即可.
15．（2023·肇东月考）如图，O为直线上一点，，平分，．
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
（2）求出的度数；
（3）试判断是否平分，并说明理由。
【答案】（1）解：小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB，一共9个.
（2）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=25°，
∵∠BOC=180°-∠AOC，
∴∠BOC=180°-50°=130°，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=25°+130°=155°.
（3）解：平分．
理由：∵∠COE=∠DOE-∠DOC，
∴∠COE=90°-25°=65°，
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=155°-90°=65°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC.
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平角是小于180°的角，利用图形六点多图中小于平角的个数.
（2）利用角平分线的定义求出∠DOC的度数，利用邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，代入计算可求解.
（3）利用∠COE=∠DOE-∠DOC，可求出∠COE的度数，利用∠BOE=∠BOD-∠DOE，代入计算求出∠BOE的度数，可推出∠COE=∠BOE，据此可证得结论.
四、综合题
16．（2022七下·浦北月考）如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线.
（1）写出∠DOE的补角；
（2）若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：∠DOE的补角为：
（2）解：∵OD是∠BOE的平分线，
又∵OF是∠AOE的平分线，
（3）解：射线OD与OF互相垂直，理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∠BOE＋∠AOE=180°，
∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF＝∠BOE＋∠EOA＝（∠BOE＋∠AOE）＝×180°＝90°，
∴OD⊥OF，
∴射线OD与OF的位置关系是垂直.
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DOE=∠BOD，根据邻补角的概念，只需要找出∠DOE与∠BOD的邻补角即可；
（2）由OD是∠BOE的平分线得∠BOD=∠BOE=31°，由邻补角定义得∠AOD=180°-∠BOD=149°，∠AOE=180°-∠BOE=118°，再由OF是∠AOE的平分线得∠EOF=∠AOE=59°，即可求解；
（3）根据角平分线的概念以及角的和差关系可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=(∠BOE+∠AOE)=90°，据此解答.
17．（2022七上·金乡县期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）解：①当在的内部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
；
②当在的外部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
，
故答案为；
（2），，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
【分析】（1）由角的和差关系即可求解；
（2）由邻补角的定义可求∠AOC=180°-∠BOC=140°，由角平分线的定义可得∠COE=∠AOC=70°，根据∠COD=∠DOE-∠COE即可求解；
（3）分两种情况： ①当在的内部时， ②当在的外部时， 根据角的和差关系分别计算即可.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.1 相交线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·迪庆期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·大荔期末）如图，请你观察，最接近（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·茶陵期末）如图，直线a，b相交，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·泸州期末）如图，若相交于点O，过点O作，则下列结论不正确的是（ ）
A．与互为余角 B．与互为余角
C．与是对顶角 D．与是邻补角
5．（2023七下·禅城期中）已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
6．（2023七下·东丽期中）如图图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·鲁甸期末）用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
8．下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
二、填空题
9．（2023七下·都昌期末）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ．
10．（2023七下·清远期中）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是 ．
11．（2023七下·越秀期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为 ．
12．（2023八下·栾城期末）如图是由射线、、、组成的平面图形，则 °．
13．（2023七下·陇县期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，则等于 ．
三、解答题
14．（2023七上·兴隆期中）一制三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，求的值．
15．（2023·肇东月考）如图，O为直线上一点，，平分，．
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
（2）求出的度数；
（3）试判断是否平分，并说明理由。
四、综合题
16．（2022七下·浦北月考）如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线.
（1）写出∠DOE的补角；
（2）若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
17．（2022七上·金乡县期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：∵于点，
∴∠EOB=90°，
∵直线，相交于点，
∴∠COE+∠BOD+∠EOB=180°，
∵∠COE=50°，
∴50°+∠BOD+90°=180°，
解得∠BOD=40°.
故答案为：A.
【分析】利用平角的意义，列出关于待求角的关系式，由得出∠EOB=90°，连同代入上述关系式中，转化为待求角的方程求解.
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：观察量角器得出∠1对顶角的度数为：130°-25°=105°，
∴∠1=105°，
故答案为：D.
【分析】先观察量角器得出∠1对顶角的度数，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，，
∴∠2=180°-∠1=180°-130°=50°，
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2=50°，
∴∠2+∠3=50°+50°=100°，
故答案为：B.
【分析】先利用邻补角求出∠2的度数，再利用对顶角的性质可得∠3=∠2=50°，最后利用角的运算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，
A、∴∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互为余角，故A正确；
B、∵∠2+∠3+∠BOE=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2与∠3互为余角，故B正确；
C、根据图形可得：∠1与∠3是对顶角，∴C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC与∠BOC是邻补角，∵∠BOC>∠BOE，∴∠AOC与∠BOE不是邻补角，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】利用余角、对顶角和邻补角的定义逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠AOF，∠AOF+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠AOF，由垂直的定义可得∠AOF+∠2=90°，则∠1+∠2=90°，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
A、∠1和∠2不是对顶角，A不符合题意；
B、∠1和∠2是对顶角，B符合题意；
C、∠1和∠2不是对顶角，C不符合题意；
D、∠1和∠2不是对顶角，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据对顶角的定义结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；相交线
【解析】【解答】最多时，从一个角向斜下方截，平面与正方体的六个面都有相交。
【分析】最多6个边，最少3个边，生活中可以试验一下，增加感性认识。
8．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：对顶角一定相等，不相等的角一定不是对顶角．但是，有些相等的角，并不是对顶角，所以选项A和B错误；对顶角相等，但并不一定互补，所以选项D错误；所以选C．
【分析】掌握对顶角和性质解答本题的关键．本题考查对顶角的性质．
9．【答案】或
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①当两角为对顶角时，2x-10=100-x，解得x=；
②当两角为邻补角时，2x-10+100-x=180，解得：x=90；
综上，x的值为或，
故答案为：或.
【分析】分类讨论，①当两角为对顶角时，②当两角为邻补角时，再分别列出方程求解即可.
10．【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOC=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOD=40°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】由对顶角的性质可得BOC=∠AOD=80°，根据角平分线的概念可得∠DOE=∠AOD=40°，然后利用邻补角的性质进行计算.
11．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=150°，
∴∠AOC=150°.
∵OM⊥OA，
∴∠MOA=90°，
∴∠COM=∠AOC-∠AOM=150°-90°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=150°，由垂直的概念可得∠MOA=90°，然后根据∠COM=∠AOC-∠AOM进行计算.
12．【答案】
【知识点】角的运算；相交线
【解析】【解答】∵多边形外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°。
【分析】根据多边形的外角和为360°可得结果。
13．【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠AOC=∠BOD=80°.
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠AOC=40°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=80°，由角平分线的概念可得∠AOM=∠AOC=40°，然后根据平角的概念进行计算.
14．【答案】解：①当在左边且平分时，
∵，，
∴；
②当在右边且平分时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当在右边且平分时，
∵，
∴，
∴，
综上所述的值为或或．
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】分类讨论： ①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时， 再分别求解即可.
15．【答案】（1）解：小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB，一共9个.
（2）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=25°，
∵∠BOC=180°-∠AOC，
∴∠BOC=180°-50°=130°，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=25°+130°=155°.
（3）解：平分．
理由：∵∠COE=∠DOE-∠DOC，
∴∠COE=90°-25°=65°，
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=155°-90°=65°，
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC.
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平角是小于180°的角，利用图形六点多图中小于平角的个数.
（2）利用角平分线的定义求出∠DOC的度数，利用邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，代入计算可求解.
（3）利用∠COE=∠DOE-∠DOC，可求出∠COE的度数，利用∠BOE=∠BOD-∠DOE，代入计算求出∠BOE的度数，可推出∠COE=∠BOE，据此可证得结论.
16．【答案】（1）解：∠DOE的补角为：
（2）解：∵OD是∠BOE的平分线，
又∵OF是∠AOE的平分线，
（3）解：射线OD与OF互相垂直，理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∠BOE＋∠AOE=180°，
∴∠DOF＝∠DOE＋∠EOF＝∠BOE＋∠EOA＝（∠BOE＋∠AOE）＝×180°＝90°，
∴OD⊥OF，
∴射线OD与OF的位置关系是垂直.
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DOE=∠BOD，根据邻补角的概念，只需要找出∠DOE与∠BOD的邻补角即可；
（2）由OD是∠BOE的平分线得∠BOD=∠BOE=31°，由邻补角定义得∠AOD=180°-∠BOD=149°，∠AOE=180°-∠BOE=118°，再由OF是∠AOE的平分线得∠EOF=∠AOE=59°，即可求解；
（3）根据角平分线的概念以及角的和差关系可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=(∠BOE+∠AOE)=90°，据此解答.
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：①当在的内部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
；
②当在的外部时，
，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
，
故答案为；
（2），，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
【分析】（1）由角的和差关系即可求解；
（2）由邻补角的定义可求∠AOC=180°-∠BOC=140°，由角平分线的定义可得∠COE=∠AOC=70°，根据∠COD=∠DOE-∠COE即可求解；
（3）分两种情况： ①当在的内部时， ②当在的外部时， 根据角的和差关系分别计算即可.
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