2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.2 垂线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，点O在直线DB上．已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（ ）
A．75°． B．15°． C．105°． D．165°．
2．（2023八上·古南开学考）如图，点在直线上，若，则等于（ ）
A.
A． B． C．
3．（2023七下·巩义期末）如图 于点D， ， ， ，点P是线段BC上的一个动点，则线段AP的长度不可能是（ ）
A．5.5 B．7 C．8 D．4.5
4．（2023七下·南宁期末）如图，要把小河里的水引到田地处，则作，垂足为，沿挖水沟，水沟最短．理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点作已知直线的垂线有且只有一条
5．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
6．如图，OP平分于点，点是射线OB上的一个动点.若，则PQ的最小值（ ）
A．小于5 B．等于5
C．大于5 D．以上情况都有可能
7．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
8．（2023七下·崂山期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路，小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
9．（2017七下·椒江期末）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2020七下·赤壁期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 .
11．（2023·西山模拟）如图，已知，，则 ．
12．在跳远比赛中，某运动员的起跳点为A，落地点为B，如图，量出落地点B到起跳点A所在直线l的距离BH，即为该运动员的成绩．此时，BH BA(填“>”或“<”)，理由： .
13．如图，直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余．若∠COE=72°，则∠AOB的度数是 .
14．（2023七下·桐城期末）如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，则 ．（用含α的式子表示）
（2）若，，则 ．
三、解答题
15．（2022七上·利川期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠AOE=70°，求∠BOF的度数.
16．如图，P是∠ABC内一点．过点P画两条直线，使它们分别垂直于AB和BC．
四、综合题
17．（2023七下·韩城期末）如图，已知直线与交于点，，且.
（1）求的度数；
（2）过点在上方作射线，若，求的度数.
18．（2023七下·肃州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝2∠AOC，求∠DOE的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=75°，
∴∠2=180°-75°=105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用邻补角性质得出∠2=180°-∠BOC，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】∵ ∠AOC=125°
∴ ∠COB=55°
∵ OC⊥OD
∴ ∠COD=90°
∴ ∠BOD=∠COD-∠COB=35°
故答案为：B.
【分析】本题考查邻补角、垂直的定义。根据邻补角，可得∠COB，根据垂直的定义得∠COD，可知 ∠BOD.
3．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于点D，AB=6，AC=9，AD=5，
∴AP长的范围是5≤AP≤9，
∴线段AP的长度不可能是4.5．
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短解答即可．
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：点与线之间，垂线段最短.
故答案为：C.
【分析】本题考查了垂线段的性质：点与线之间，垂线段最短.
5．【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
6．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵OP平分于点 D， ，∴PQmin=5.
故答案为：B.
【分析】考查角平分线上的点到角两边的距离相等，点到直线的距离（垂线段最短）。
7．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，沿垂直马路的方向走过斑马线，走的路程最近。
故答案为：A。
【分析】因为穿过马路走的路线越近越安全，所以依据是垂线段最短。
9．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：点P到MN的距离是，点P到直线MN的垂线段的长度，即PQ⊥MN，故A符合。
故选A。
【分析】直线外一点到已知直线上的垂线段的长度即该点到直线的距离。
10．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为；垂线段最短.
【分析】根据题意可知，利用垂线段的性质：垂线段最短解答即可。
11．【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】
∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°，
∴∠2=∠BOC-∠1=90°-58°24′=31°36′
故答案为：31°36′
【分析】根据图示可知，∠2=∠BOC-∠1，结合垂直的定义和∠1的度数可以求出结果。
12．【答案】<；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：第一空：∵BH⊥AH，垂足为H，
∴BH为点B到起跳点A所在直线l的垂线段，
∴BH＜BA；
第二空：垂线段最短.
故答案为：第一空：＜；第二空：垂线段最短.
【分析】根据图形和垂线的性质“垂线段最短”可求解.
13．【答案】18°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：∵∠DOE与∠COE互余，
∴∠DOE+∠COE=90°，
∵∠COE=72°，
∴∠DOE=18°，
∴∠AOB=∠DOE=18°，
故答案为：18°.
【分析】根据互为余角的定义得出∠DOE=18°，再根据对顶角相等即可得出∠AOB=∠DOE=18°.
14．【答案】（1）
（2）或
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=α，
∴∠BOC=α，∠AOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=，
∴∠AOE=180°-α+=180°-；
故第1空答案为：180°-；
（2）分成两种情况：
①如图1，∵∠AOD=68°，
∴∠BOD=112°，∠BOC=68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=34°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=22°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；
②如图2，由①知，∠COE=34°，
又∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=34°+90°=124°。
图1 图2
故第1空答案为：124°或56°。
【分析】（1）根据对顶角及邻补角的性质分别得出∠BOC和∠AOC，再根据角平分线的性质得出∠COE，进一步可求得∠AOE=∠AOC+∠COE即可；
（2）根据如图所示的两种情况，分别求得∠EOF的度数：①∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；②∠EOF=∠COE+∠COF=34°+90°=124°。
15．【答案】解：∵OE平分且，
∴，
∵A、O、B三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出∠AOD的度数，根据邻补角的定义求出∠BOD的度数，根据垂直的定义得∠FOD的度数，最后根据∠BOF=∠FOD-∠BOD计算即可.
16．【答案】解：如图，直线m，直线n，即为所求.
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】分别过点P作直线m垂直与BC，直线n垂直与AB即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）利用 和可求出度数，根据对顶角相等可知度数，从而求出 的度数；
（2）根据度数和 可求出度数，从而求出 的度数.
18．【答案】（1）解：，
，
，
．
，
答：的度数为；
（2）解：，，
，
，
，
答：的度数为．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）利用垂直定义得到∠BOE-90°，再计算出∠BOC的度数，利用对顶角相等得出∠AOD；
（2）根据 ，，得出∠AOC=60°，再根据对顶角相等得到∠BOD=60°，进而得出∠EOD的度数.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.2 垂线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，点O在直线DB上．已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为（ ）
A．75°． B．15°． C．105°． D．165°．
【答案】C
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=75°，
∴∠2=180°-75°=105°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠BOC的度数，再利用邻补角性质得出∠2=180°-∠BOC，即可得出答案.
2．（2023八上·古南开学考）如图，点在直线上，若，则等于（ ）
A.
A． B． C．
【答案】B
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】∵ ∠AOC=125°
∴ ∠COB=55°
∵ OC⊥OD
∴ ∠COD=90°
∴ ∠BOD=∠COD-∠COB=35°
故答案为：B.
【分析】本题考查邻补角、垂直的定义。根据邻补角，可得∠COB，根据垂直的定义得∠COD，可知 ∠BOD.
3．（2023七下·巩义期末）如图 于点D， ， ， ，点P是线段BC上的一个动点，则线段AP的长度不可能是（ ）
A．5.5 B．7 C．8 D．4.5
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于点D，AB=6，AC=9，AD=5，
∴AP长的范围是5≤AP≤9，
∴线段AP的长度不可能是4.5．
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短解答即可．
4．（2023七下·南宁期末）如图，要把小河里的水引到田地处，则作，垂足为，沿挖水沟，水沟最短．理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点作已知直线的垂线有且只有一条
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：点与线之间，垂线段最短.
故答案为：C.
【分析】本题考查了垂线段的性质：点与线之间，垂线段最短.
5．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
6．如图，OP平分于点，点是射线OB上的一个动点.若，则PQ的最小值（ ）
A．小于5 B．等于5
C．大于5 D．以上情况都有可能
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵OP平分于点 D， ，∴PQmin=5.
故答案为：B.
【分析】考查角平分线上的点到角两边的距离相等，点到直线的距离（垂线段最短）。
7．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
8．（2023七下·崂山期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路，小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，沿垂直马路的方向走过斑马线，走的路程最近。
故答案为：A。
【分析】因为穿过马路走的路线越近越安全，所以依据是垂线段最短。
9．（2017七下·椒江期末）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：点P到MN的距离是，点P到直线MN的垂线段的长度，即PQ⊥MN，故A符合。
故选A。
【分析】直线外一点到已知直线上的垂线段的长度即该点到直线的距离。
二、填空题
10．（2020七下·赤壁期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 .
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为；垂线段最短.
【分析】根据题意可知，利用垂线段的性质：垂线段最短解答即可。
11．（2023·西山模拟）如图，已知，，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】
∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°，
∴∠2=∠BOC-∠1=90°-58°24′=31°36′
故答案为：31°36′
【分析】根据图示可知，∠2=∠BOC-∠1，结合垂直的定义和∠1的度数可以求出结果。
12．在跳远比赛中，某运动员的起跳点为A，落地点为B，如图，量出落地点B到起跳点A所在直线l的距离BH，即为该运动员的成绩．此时，BH BA(填“>”或“<”)，理由： .
【答案】<；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：第一空：∵BH⊥AH，垂足为H，
∴BH为点B到起跳点A所在直线l的垂线段，
∴BH＜BA；
第二空：垂线段最短.
故答案为：第一空：＜；第二空：垂线段最短.
【分析】根据图形和垂线的性质“垂线段最短”可求解.
13．如图，直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余．若∠COE=72°，则∠AOB的度数是 .
【答案】18°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：∵∠DOE与∠COE互余，
∴∠DOE+∠COE=90°，
∵∠COE=72°，
∴∠DOE=18°，
∴∠AOB=∠DOE=18°，
故答案为：18°.
【分析】根据互为余角的定义得出∠DOE=18°，再根据对顶角相等即可得出∠AOB=∠DOE=18°.
14．（2023七下·桐城期末）如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，则 ．（用含α的式子表示）
（2）若，，则 ．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=α，
∴∠BOC=α，∠AOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=，
∴∠AOE=180°-α+=180°-；
故第1空答案为：180°-；
（2）分成两种情况：
①如图1，∵∠AOD=68°，
∴∠BOD=112°，∠BOC=68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=34°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=22°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；
②如图2，由①知，∠COE=34°，
又∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=34°+90°=124°。
图1 图2
故第1空答案为：124°或56°。
【分析】（1）根据对顶角及邻补角的性质分别得出∠BOC和∠AOC，再根据角平分线的性质得出∠COE，进一步可求得∠AOE=∠AOC+∠COE即可；
（2）根据如图所示的两种情况，分别求得∠EOF的度数：①∠EOF=∠BOE+∠BOF=34°+22°=56°；②∠EOF=∠COE+∠COF=34°+90°=124°。
三、解答题
15．（2022七上·利川期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠AOE=70°，求∠BOF的度数.
【答案】解：∵OE平分且，
∴，
∵A、O、B三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出∠AOD的度数，根据邻补角的定义求出∠BOD的度数，根据垂直的定义得∠FOD的度数，最后根据∠BOF=∠FOD-∠BOD计算即可.
16．如图，P是∠ABC内一点．过点P画两条直线，使它们分别垂直于AB和BC．
【答案】解：如图，直线m，直线n，即为所求.
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】分别过点P作直线m垂直与BC，直线n垂直与AB即可.
四、综合题
17．（2023七下·韩城期末）如图，已知直线与交于点，，且.
（1）求的度数；
（2）过点在上方作射线，若，求的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）利用 和可求出度数，根据对顶角相等可知度数，从而求出 的度数；
（2）根据度数和 可求出度数，从而求出 的度数.
18．（2023七下·肃州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝2∠AOC，求∠DOE的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
．
，
答：的度数为；
（2）解：，，
，
，
，
答：的度数为．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）利用垂直定义得到∠BOE-90°，再计算出∠BOC的度数，利用对顶角相等得出∠AOD；
（2）根据 ，，得出∠AOC=60°，再根据对顶角相等得到∠BOD=60°，进而得出∠EOD的度数.
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