2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.2 垂线 同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时只要确定两个坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线
C．如果把A，B两地间弯曲的河道改直，那么就能缩短原来河道的长度
D．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
4．（2023七下·易县期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
5．（2023七下·密云期末）下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·花都期末）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
7．（2023七下·惠东期末）如图，直线公路l上共有A、B、C、D四个核酸检测点，若从点M用相同速度到任意一个核酸检测点，用时最短的路径是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2022七上·哈尔滨月考）直线AB与直线CD相交于点，，射线，则的度数为 .
10．（2023七上·南岗期中）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是： ．
11．（2023七下·东城期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 ．
12．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
13．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
三、解答题
14．如图，在正方形纸片的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．一只蚂蚁要从长方体盒子的顶点A爬到顶点B，在下面左边的图中画出它爬行的最短路线，并说明理由．
15．如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE=60°，BF⊥AE．求∠CBF和∠FBD的度数．
四、综合题
16．（2023七下·徐汇期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点D作直线的垂线，垂足为E；
（3）点B到直线的距离是线段 的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
17．（2023七下·乌鲁木齐期中）如图，直线相交于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据''两点确定一条直线'' ，故不符合题意；
B、植树时只要确定两个坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线 ，根据''两点确定一条直线'' ，故不符合题意；
C、如果把A，B两地间弯曲的河道改直，那么就能缩短原来河道的长度，根据'' 两点之间线段最短 '' ，故符合题意；
D、 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，根据''垂线段最短''，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、B现象可以用''两点确定一条直线''来解释；C现象可以用''两点之间线段最短''来解释；D现象可以用''垂线段最短''来解释.
2．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵BA=6，DA=3，
∴d的最小值为3，
当d＞6时，射线BC上存在一个点P；
当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P；
当d=3时，射线BC上存在一个点 P；
当d＜3时，射线BC上不存在点 P；
综上所述，d的值可以为7，
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，进而根据垂线段最短即可得到d的最小值为3，再结合题意进行分类讨论即可求解。
5．【答案】B
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵过点P画直线的垂线，
∴根据垂线的定义可知选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义对每个选项逐一判断即可。
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，P是BC边上的动点，
∴AP≥5，
∴AP的长不可能为4.5.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：AP≥5，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短的性质可得：CM最短，故用时最短的路径是MC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
8．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
9．【答案】50°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：50°.
【分析】先作图，根据条件求得的度数，再根据求解即可.
10．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：两点之间，垂线段最短，
故答案为：垂线段最短。
【分析】考查点到直线的距离最短的情况.
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】垂直马路的方向，提示我们：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
故填：垂线段最短。
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。容易误填上两点之间直线段最短，斑马线没有指定两端点，在通过斑马线的所有的直线段中，垂线段最短。
12．【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
13．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
14．【答案】解：最短路线如图线段AB所示，
理由：两点之间线段最短
【知识点】几何体的展开图；垂线段最短
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，连接线段AB，即可得出蚂蚁爬行的最短路线.
15．【答案】解：∵BF⊥AE，
∴∠FBE=∠BFA=90°；
∵∠DBE=60°，
∴∠FBD=∠FBE-∠DBE=90°-60°=30°，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠CBF=∠ABF+∠ABC=90°+60°=160°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据垂直可得∠FBE=∠ABF=90°，求出∠FBD=∠FBE-∠DBE=30°，根据对顶角相等可得∠ABC=∠DBE=60°，即可求出∠CBF.
16．【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）
【知识点】点到直线的距离；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）点B到直线的距离是线段BD的长；
故答案为：BD.
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段CD即为所求；
（2）过点D作DE⊥CB，垂足为E，则E线段D即为所求；
（3）根据点到直线的距离的定义进行求解即可.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】垂线
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据题意即可求解；
（2）根据题意即可求出，进而根据“”即可求解。
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.1.2 垂线 同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时只要确定两个坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线
C．如果把A，B两地间弯曲的河道改直，那么就能缩短原来河道的长度
D．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直
【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据''两点确定一条直线'' ，故不符合题意；
B、植树时只要确定两个坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线 ，根据''两点确定一条直线'' ，故不符合题意；
C、如果把A，B两地间弯曲的河道改直，那么就能缩短原来河道的长度，根据'' 两点之间线段最短 '' ，故符合题意；
D、 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，根据''垂线段最短''，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、B现象可以用''两点确定一条直线''来解释；C现象可以用''两点之间线段最短''来解释；D现象可以用''垂线段最短''来解释.
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
4．（2023七下·易县期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（ ）
A．7 B．2 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵BA=6，DA=3，
∴d的最小值为3，
当d＞6时，射线BC上存在一个点P；
当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P；
当d=3时，射线BC上存在一个点 P；
当d＜3时，射线BC上不存在点 P；
综上所述，d的值可以为7，
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，进而根据垂线段最短即可得到d的最小值为3，再结合题意进行分类讨论即可求解。
5．（2023七下·密云期末）下列利用三角板过点P画直线的垂线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵过点P画直线的垂线，
∴根据垂线的定义可知选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义对每个选项逐一判断即可。
6．（2023七下·花都期末）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，P是BC边上的动点，
∴AP≥5，
∴AP的长不可能为4.5.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：AP≥5，据此判断.
7．（2023七下·惠东期末）如图，直线公路l上共有A、B、C、D四个核酸检测点，若从点M用相同速度到任意一个核酸检测点，用时最短的路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短的性质可得：CM最短，故用时最短的路径是MC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
8．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
二、填空题
9．（2022七上·哈尔滨月考）直线AB与直线CD相交于点，，射线，则的度数为 .
【答案】50°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：50°.
【分析】先作图，根据条件求得的度数，再根据求解即可.
10．（2023七上·南岗期中）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是： ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：两点之间，垂线段最短，
故答案为：垂线段最短。
【分析】考查点到直线的距离最短的情况.
11．（2023七下·东城期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】垂直马路的方向，提示我们：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
故填：垂线段最短。
【分析】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。容易误填上两点之间直线段最短，斑马线没有指定两端点，在通过斑马线的所有的直线段中，垂线段最短。
12．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
13．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
三、解答题
14．如图，在正方形纸片的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．一只蚂蚁要从长方体盒子的顶点A爬到顶点B，在下面左边的图中画出它爬行的最短路线，并说明理由．
【答案】解：最短路线如图线段AB所示，
理由：两点之间线段最短
【知识点】几何体的展开图；垂线段最短
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，连接线段AB，即可得出蚂蚁爬行的最短路线.
15．如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE=60°，BF⊥AE．求∠CBF和∠FBD的度数．
【答案】解：∵BF⊥AE，
∴∠FBE=∠BFA=90°；
∵∠DBE=60°，
∴∠FBD=∠FBE-∠DBE=90°-60°=30°，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠CBF=∠ABF+∠ABC=90°+60°=160°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据垂直可得∠FBE=∠ABF=90°，求出∠FBD=∠FBE-∠DBE=30°，根据对顶角相等可得∠ABC=∠DBE=60°，即可求出∠CBF.
四、综合题
16．（2023七下·徐汇期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点D作直线的垂线，垂足为E；
（3）点B到直线的距离是线段 的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）
【知识点】点到直线的距离；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）点B到直线的距离是线段BD的长；
故答案为：BD.
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段CD即为所求；
（2）过点D作DE⊥CB，垂足为E，则E线段D即为所求；
（3）根据点到直线的距离的定义进行求解即可.
17．（2023七下·乌鲁木齐期中）如图，直线相交于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】垂线
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据题意即可求解；
（2）根据题意即可求出，进而根据“”即可求解。
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