2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.2.1 平行线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线（ ）
A．有无数条 B．有且只有一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线有且只有一条.
故答案为：B.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，可作答.
2．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判断定理，即可得解.
故答案为：A.
【分析】由平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，故需要作一个角等于已知角，从而根据根据作图痕迹判断即可得解.
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．（2023七下·赵县期末）下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直线，，那么．
其中是真命题的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线a∥b，b⊥c，那么a⊥c，原命题为假命题．
真命题有①②③．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离逐项分析判断即可求解．
5．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
6．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
7．（2023七下·西安月考）下列说法正确的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法不正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可对①作出判断；利用垂直的定义，可对②作出判断；利用对顶角的定义，可对③作出判断；再利用点到直线的距离的定义，可对④作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．（2022·寿光模拟）下列关于过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】A．本选项作了角平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
B．本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
C．本选项只截取了两条线段相等，无法保证两直线平行的位置关系，故本选项符合题意；
D．本选项作了一个角与已知角相等，根据内错角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的作图方法逐项判断即可。
二、填空题
9．（2021七下·自贡期末）命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a//c；则此命题为 命题.（填真或假）
【答案】真
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
∴直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为真命题；
故答案为：真.
【分析】在同一平面内，同垂直与同一条直线的两条直线平行，依此解答即可.
10．（2021七上·长沙期末）由a∥b且b∥c，可推得a∥c，理由是 .
【答案】平行于同一直线的两直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由已知可得命题的条件是a、c都与b平行，结论是a与c平行，
所以理由是平行于同一直线的两直线平行，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行.
【分析】平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
11．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
12．（2021七上·射阳期末）如图，已知 ， ，所以点 三点共线的理由 .
【答案】过直线外一点有一条而且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：
∴直线OM应该与直线ON重合，
∴点 三点共线 （过直线外一定，有一条而且只有一条直线平行于已知直线）
故答案为：平行公理.
【分析】由平行公理得直线OM应该与直线ON重合，故O、M、N三点共线.
13．（2020·渠县模拟）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ．
【答案】③②④①
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，
故答案为：③②④①．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
三、解答题
14．（2023七下·白银期中）已知，点C是边上的一点．用尺规作图画出经过点C与平行的直线．
【答案】解：如图所示：直线即为所求的直线：
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】根据要求作出平行线即可。
15．（2021七下·河西期中）如图，∠AOB内有一点P：
（Ⅰ）过点P画PC∥OB交OA于C；
（Ⅱ）过点P画PD⊥OB于D；
（Ⅲ）连接OP，若OP是∠AOB的平分线，且∠AOB＝60°，求∠AOP和∠CPO的度数．（直接写出答案即可）
【答案】解：（Ⅰ）如图，直线PC即为所求作．
（Ⅱ）如图，线段PD即为所求作．
（Ⅲ）∵∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠POD＝30°，
∵PC∥OD，
∴∠CPO＝∠POD＝30°．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（Ⅰ）过点P作PC//OB交OA于点C；
（Ⅱ）过点P作PD垂直OB于D；
（Ⅲ）利用角平分线的定义，角平分线的性质求解即可。
四、综合题
16．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
17．（2023七下·槐荫期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题：
（1）过C点画直线的垂线，垂足为点E；
（2）过A点画射线，交直线于点F；
（3）点C到直线的距离为线段 的长度；
（4）比较大小：线段 线段（填“>”、“”或“=”）．
【答案】（1）解：如图，直线即为所作；
（2）解：如图，直线即为所作；
（3）
（4）
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C到直线的距离为线段CE的长度，
故答案为：CE；
（4）由题意得CE＜BC，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据作图-垂线段即可求解；
（2）根据作图-平行线即可求解；
（3）直接根据垂线段的定义即可求解；
（4）直接数格子即可比较大小。
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一、选择题
1．已知P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线（ ）
A．有无数条 B．有且只有一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
2．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．（2023七下·赵县期末）下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直线，，那么．
其中是真命题的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
6．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．（2023七下·西安月考）下列说法正确的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022·寿光模拟）下列关于过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2021七下·自贡期末）命题：直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a//c；则此命题为 命题.（填真或假）
10．（2021七上·长沙期末）由a∥b且b∥c，可推得a∥c，理由是 .
11．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
12．（2021七上·射阳期末）如图，已知 ， ，所以点 三点共线的理由 .
13．（2020·渠县模拟）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ．
三、解答题
14．（2023七下·白银期中）已知，点C是边上的一点．用尺规作图画出经过点C与平行的直线．
15．（2021七下·河西期中）如图，∠AOB内有一点P：
（Ⅰ）过点P画PC∥OB交OA于C；
（Ⅱ）过点P画PD⊥OB于D；
（Ⅲ）连接OP，若OP是∠AOB的平分线，且∠AOB＝60°，求∠AOP和∠CPO的度数．（直接写出答案即可）
四、综合题
16．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
17．（2023七下·槐荫期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题：
（1）过C点画直线的垂线，垂足为点E；
（2）过A点画射线，交直线于点F；
（3）点C到直线的距离为线段 的长度；
（4）比较大小：线段 线段（填“>”、“”或“=”）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线有且只有一条.
故答案为：B.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，可作答.
2．【答案】A
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判断定理，即可得解.
故答案为：A.
【分析】由平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，故需要作一个角等于已知角，从而根据根据作图痕迹判断即可得解.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线a∥b，b⊥c，那么a⊥c，原命题为假命题．
真命题有①②③．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离逐项分析判断即可求解．
5．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法不正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可对①作出判断；利用垂直的定义，可对②作出判断；利用对顶角的定义，可对③作出判断；再利用点到直线的距离的定义，可对④作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】C
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】A．本选项作了角平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
B．本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
C．本选项只截取了两条线段相等，无法保证两直线平行的位置关系，故本选项符合题意；
D．本选项作了一个角与已知角相等，根据内错角相等两直线平行，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的作图方法逐项判断即可。
9．【答案】真
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
∴直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a∥c；则此命题为真命题；
故答案为：真.
【分析】在同一平面内，同垂直与同一条直线的两条直线平行，依此解答即可.
10．【答案】平行于同一直线的两直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由已知可得命题的条件是a、c都与b平行，结论是a与c平行，
所以理由是平行于同一直线的两直线平行，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行.
【分析】平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
11．【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
12．【答案】过直线外一点有一条而且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：
∴直线OM应该与直线ON重合，
∴点 三点共线 （过直线外一定，有一条而且只有一条直线平行于已知直线）
故答案为：平行公理.
【分析】由平行公理得直线OM应该与直线ON重合，故O、M、N三点共线.
13．【答案】③②④①
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，
故答案为：③②④①．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
14．【答案】解：如图所示：直线即为所求的直线：
【知识点】作图-平行线
【解析】【分析】根据要求作出平行线即可。
15．【答案】解：（Ⅰ）如图，直线PC即为所求作．
（Ⅱ）如图，线段PD即为所求作．
（Ⅲ）∵∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠POD＝30°，
∵PC∥OD，
∴∠CPO＝∠POD＝30°．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（Ⅰ）过点P作PC//OB交OA于点C；
（Ⅱ）过点P作PD垂直OB于D；
（Ⅲ）利用角平分线的定义，角平分线的性质求解即可。
16．【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
17．【答案】（1）解：如图，直线即为所作；
（2）解：如图，直线即为所作；
（3）
（4）
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C到直线的距离为线段CE的长度，
故答案为：CE；
（4）由题意得CE＜BC，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据作图-垂线段即可求解；
（2）根据作图-平行线即可求解；
（3）直接根据垂线段的定义即可求解；
（4）直接数格子即可比较大小。
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