2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.2.1 平行线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021八上·金华期中）下列命题中，①在同一平面内，若 a⊥b ， ，则 ；②相等的角是对顶角；③能被2整除的数也能被4整除；④两点之间线段最短.真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故为真命题；
②相等的角不一定是对顶角，故为假命题；
③能被2整除的数不一定能被4整除，故为假命题；
④两点之间线段最短，故为真命题.
故答案为：B.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断①；根据相等的角可能为平行线所截的同位角可判断②；2能被2整除，但不能被4整除，据此判断③；根据线段的性质可判断④.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、经过一点有一条直线与已知直线平行，不正确，故A不符合题意；
B、经过一点有无数条直线与已知直线平行，不正确，故B不符合题意；
C、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，故C不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，再对各选项逐一判断.
3．（2022七下·环江期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理及推论进行判断.
4．（2020八上·淮南期末）已知直线 及直线 外一点 ，要求利用尺规作图过 点作直线 的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．左边作法正确，右边作法错误 D．右边作法正确，左边作法错误
【答案】A
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F，
作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F，
作法2中，先作 的平分线，
∴
再以点D为圆心DA为半径作圆，交 的平分线于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即内错角相等，
连接 ，
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴两种作法都符合题意
故答案为：A.
【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线。
5．（2020七上·南岗期中）下列说法正确的是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③ 是直线 外一点， 、 、 分别是直线 上的三点， ， ， ，则点 到直线 的距离一定是1；
④相等的角是对顶角；
⑤同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同旁内角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①符合题意；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②不符合题意；
③直线外一点到直线上各点连结所有的线中，垂线段最短；故③错；
④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；故④不符合题意；
⑤两直线平行，同旁内角互补；但同旁内角不一定相等；故⑤错；
故答案为：A．
【分析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；垂线段最短；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；两直线平行，同旁内角互补，据此逐一判断即可.
6．（2019七上·哈尔滨月考）下列说法正确的是（ ）
①平面内，不相交的两条直线是平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④相等的角是对顶角；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】①平面内，不相交的两条直线是平行线，说法符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法符合题意；
③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法不符合题意；
④相等的角不一定是对顶角，故说法不符合题意；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离可能是1，故说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，即可得出结论．
7．（2019七下·兰州期中）如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行.
故答案为：D
【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据.
8．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】这一点与直线的位置关系不明确，因此可能在直线上或在直线外，故答案为：D。
【分析】平行公理的条件要记牢：过直线外一点。当这一点在直线上时，不能做平行线。
二、填空题
9．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
10．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是 ．
【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
11．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
12．直线L同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，则A， B，C三点 ，理论根据是 ．
【答案】在一条直线上；直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】由已知过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，AB与BC又有一个公共点B,因此A， B，C三点共线。
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若出现两条直线，则它们为同一直线.
三、解答题
13．利用直尺或圆规画图（不写画法、保留作图痕迹，以答卷上的图为准）
（1）利用图a中的网格，过P点画直线AB的平行线；
（2）已知：如图b，线段a，b；请按下列步骤画图；
①画线段BC，使得BC=a﹣b；
②在直线BC外取一点A，使线段BA=a﹣b，画线段AB和射线AC．
【答案】解：（1）如图a所示．
（2）请按下列步骤画图：
①画线段BC，使得BC=a﹣b；
②在直线BC外任取一点A，使线段BA=a﹣b，画直线AB和射线AC．
【知识点】作图-平行线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点即可；
（2）①画一条直线；用圆规以任意一点B为圆心截取a的长交直线于P点；再以P点为圆心截取b的长交线段于C点；则BC为所求线段；
②在直线BC外任取一点A，画直线AB和射线AC即可．
14．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
【答案】a与d平行，理由是平行具有传递性
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为a∥b，b∥c
所以a∥c,
又c∥d,
所以a∥d.
【分析】平行的传递性仍根据“平行于同一条直线的两条直线平行”。
四、作图题
15．如图，
方格纸上有点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线AO．
（2）过点B画直线AO的垂线，垂足为D．
（3）取线段AB的中点M，过点M画BD的平行线，交AO于点N．
【答案】（1）解：如图，直线AO就是所求的直线；
（2）解：如图，DB就是所求的直线AO的垂线；
（3）解：如图，MN就是所求的过AB中点且平行BD的直线.
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线，直线可以向两个方向无限延伸，作图即可；
（2）利用方格纸的特点及垂线的定义作图即可；
（3）利用方格纸的特点及平行线的定义作图即可.
五、综合题
16．（2019七下·孝南月考）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为 ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系 .（直接写出结果）
【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1） 过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2） 过P作PE∥AB，交AC于E， 推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出 ∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。
17．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.2.1 平行线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021八上·金华期中）下列命题中，①在同一平面内，若 a⊥b ， ，则 ；②相等的角是对顶角；③能被2整除的数也能被4整除；④两点之间线段最短.真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中正确的是（ ）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
3．（2022七下·环江期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
4．（2020八上·淮南期末）已知直线 及直线 外一点 ，要求利用尺规作图过 点作直线 的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．左边作法正确，右边作法错误 D．右边作法正确，左边作法错误
5．（2020七上·南岗期中）下列说法正确的是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③ 是直线 外一点， 、 、 分别是直线 上的三点， ， ， ，则点 到直线 的距离一定是1；
④相等的角是对顶角；
⑤同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2019七上·哈尔滨月考）下列说法正确的是（ ）
①平面内，不相交的两条直线是平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④相等的角是对顶角；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019七下·兰州期中）如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
二、填空题
9．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
10．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是 ．
11．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
12．直线L同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，则A， B，C三点 ，理论根据是 ．
三、解答题
13．利用直尺或圆规画图（不写画法、保留作图痕迹，以答卷上的图为准）
（1）利用图a中的网格，过P点画直线AB的平行线；
（2）已知：如图b，线段a，b；请按下列步骤画图；
①画线段BC，使得BC=a﹣b；
②在直线BC外取一点A，使线段BA=a﹣b，画线段AB和射线AC．
14．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
四、作图题
15．如图，
方格纸上有点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线AO．
（2）过点B画直线AO的垂线，垂足为D．
（3）取线段AB的中点M，过点M画BD的平行线，交AO于点N．
五、综合题
16．（2019七下·孝南月考）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为 ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系 .（直接写出结果）
17．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故为真命题；
②相等的角不一定是对顶角，故为假命题；
③能被2整除的数不一定能被4整除，故为假命题；
④两点之间线段最短，故为真命题.
故答案为：B.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断①；根据相等的角可能为平行线所截的同位角可判断②；2能被2整除，但不能被4整除，据此判断③；根据线段的性质可判断④.
2．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、经过一点有一条直线与已知直线平行，不正确，故A不符合题意；
B、经过一点有无数条直线与已知直线平行，不正确，故B不符合题意；
C、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，故C不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，再对各选项逐一判断.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理及推论进行判断.
4．【答案】A
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F，
作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F，
作法2中，先作 的平分线，
∴
再以点D为圆心DA为半径作圆，交 的平分线于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即内错角相等，
连接 ，
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴两种作法都符合题意
故答案为：A.
【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线。
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同旁内角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①符合题意；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②不符合题意；
③直线外一点到直线上各点连结所有的线中，垂线段最短；故③错；
④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；故④不符合题意；
⑤两直线平行，同旁内角互补；但同旁内角不一定相等；故⑤错；
故答案为：A．
【分析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；垂线段最短；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；两直线平行，同旁内角互补，据此逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】①平面内，不相交的两条直线是平行线，说法符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法符合题意；
③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法不符合题意；
④相等的角不一定是对顶角，故说法不符合题意；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离可能是1，故说法不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行.
故答案为：D
【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据.
8．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】这一点与直线的位置关系不明确，因此可能在直线上或在直线外，故答案为：D。
【分析】平行公理的条件要记牢：过直线外一点。当这一点在直线上时，不能做平行线。
9．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
10．【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
11．【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
12．【答案】在一条直线上；直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】由已知过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，AB与BC又有一个公共点B,因此A， B，C三点共线。
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若出现两条直线，则它们为同一直线.
13．【答案】解：（1）如图a所示．
（2）请按下列步骤画图：
①画线段BC，使得BC=a﹣b；
②在直线BC外任取一点A，使线段BA=a﹣b，画直线AB和射线AC．
【知识点】作图-平行线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点即可；
（2）①画一条直线；用圆规以任意一点B为圆心截取a的长交直线于P点；再以P点为圆心截取b的长交线段于C点；则BC为所求线段；
②在直线BC外任取一点A，画直线AB和射线AC即可．
14．【答案】a与d平行，理由是平行具有传递性
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为a∥b，b∥c
所以a∥c,
又c∥d,
所以a∥d.
【分析】平行的传递性仍根据“平行于同一条直线的两条直线平行”。
15．【答案】（1）解：如图，直线AO就是所求的直线；
（2）解：如图，DB就是所求的直线AO的垂线；
（3）解：如图，MN就是所求的过AB中点且平行BD的直线.
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线，直线可以向两个方向无限延伸，作图即可；
（2）利用方格纸的特点及垂线的定义作图即可；
（3）利用方格纸的特点及平行线的定义作图即可.
16．【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1） 过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2） 过P作PE∥AB，交AC于E， 推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出 ∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
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