2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·南明期中）如图，已知直线a∥b，∠1＝105° ，则∠2等于 （ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行线的性质即可求解。
2．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠3=∠1=61°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-61°=119°.
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠3=∠1=61°，再利用平行线的性质可得∠3+∠2=180°，继而得解.
3．已知直线 m∥n．将一把含30°角的三角尺ABC按如图所示的方式放置(∠ABC=30°)，其中A、B两点分别落在直线m、n上．若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵m∥n，
∴∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，
∵∠1=20°，∠ABC=30°，∠BAC=90°，
∴∠2=180°-∠1-∠ABC-∠BAC=180°-20°-30°-90°=40°.
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，进而代入∠1、∠CAB、∠ABC的度数即可算出答案.
4．如果两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误，不符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，对顶角相等，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，可判断A、B、C选项；由对顶角相等可判断D选项.
5．（2020·莫旗模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2，又因为∠CAB＝90°即可求出∠ABC度数．
6．（2023·海南）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥m，
∵m∥n，
∴m∥n∥BD，
∴∠1=∠ABD=50°，∠1=∠CBD，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠1=∠CBD=90°-50°=40°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥m，利用已知易证m∥n∥BD，利用平行线的性质可证得∠1=∠ABD=50°，∠1=∠CBD，由此可求出∠1的度数.
7．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
8．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
二、填空题
9．如图，直线l1∥l2．若∠1=52°，则∠2的度数为
【答案】52°
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3是对顶角，且∠1=52°，
∴∠3=∠1=52°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=52°.
故答案为：52°.
【分析】先由对顶角相等得∠3=∠1=52°，再由二直线平行，同位角相等可得∠2=∠3=52°.
10．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
【答案】60
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ ∠2：∠3=1：2 ，
∴∠3=2∠2，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由邻补角及已知可求出∠2=60°，进而根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
11．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，则∠2= .
【答案】50°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∠1=65° ，
∴∠1=∠ABC=65°（两直线平行，同位角相等），
∵ BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°（角平分线定义），
∴∠3=180°-∠ABD=50°（邻补角定义），
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：50°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠ABC=65°，由角平分线定义得∠ABD=2∠ABC=130°，进而根据邻补角可求出∠3=50°，最后再根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠3=50°.
12．如图，若∠1+∠2=240°，b∥c，则∠3= .
【答案】60°
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=240°，
∴∠1=∠2=120°，
∵b∥c，
∴∠3=180°-∠2=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等求出∠2的度数，再由两直线平行，同旁内角互补求出∠3的度数即可.
13．（2023七上·哈尔滨期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线PC、DE、QG，
∴PC∥DE∥QG，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，
∵入射角与折射角的度数比为4：3 ，即∠ABP：∠DBC=4：3，∠HFQ：∠DFG=4：3，
∴∠DBC=∠ABP＝(90° x)，∠DFG=∠HFQ＝(90° y)，
∴∠BDF=(90° x)+(90° y)
=(180° x y)，
∴m＝135° (x+y)，
故答案为：135° (x+y)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质证明∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，再根据入射角与折射角的度数比为4：3 ，把∠DBC和∠DFG用含x和y的式子表示出来，而m=∠BDF=∠DBC+∠DFG．
三、解答题
14．如图，已知∠1=∠2=∠A．
（1）试说明∠1=∠3的理由．
（2）当∠ADG=80°时，求∠2的度数．
【答案】（1）解：∵ ∠1=∠A，
∴AC∥DE，
∴ ∠3=∠2，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠3；
（2）解：∵ ∠ADG=80° ，∠ADG+∠BDG=180°，
∴∠BDG=100°，
∴∠1=∠3=50°，
∵AC∥DE，
∴∠2=∠3=50°.
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由同位角相等，两直线平行，得AC∥DE，由两直线平行，同位角相等，得∠3=∠2，进而结合已知，由等量代换可得 ∠1=∠3；
（2）由邻补角可求出∠BDG=100°，再结合（1）得结论可求出∠3的度数，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠3=∠2=50°.
15．如图①．在四边形ABCD中．∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）试判断直线BE与DF的位置关系．并说明理由．
（2）如图②，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为H．试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：直线BE∥DF，理由如下：
∵ BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线 ，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=∠ADC+∠ABC=（∠ADC+∠ABC）=×180°=90°，
∵ ∠ADF与∠AFD互余 ，
∴ ∠ADF+∠AFD=90°，
∴ ∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF；
（2）解： ∠FBH=∠GBH ，理由如下：
∵BE∥DG，
∴∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠G=∠BFH，
∵BH⊥DG，
∴∠BHG=∠BHF=90°，
∴∠G+∠GBH=∠HFB+∠FBH=90°，
∴∠GBH=∠FBH.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）直线BE∥DF，理由如下：∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，进而结合已知可得∠ADF+∠ABE=90°，又知∠ADF+∠AFD=90°，从而由同角的余角相等得∠ABE=∠AFD，最后根据同位角相等，两直线平行，得BE∥DF；
（2） ∠FBH=∠GBH ，理由如下：由平行线的性质得∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，结合角平分线的定义可得∠G=∠BFH，进而根据直角三角形的量锐角互余及等角的余角相等可得∠GBH=∠FBH.
四、综合题
16．（2023七下·博罗期末）如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故的度数为
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1＋∠2=180°得出∠3＋∠2=180°，判断出BF∥DE，借助内错角相等，两直线平行和等量代换.
(2)由，可知∠BFA=90°，求∠AFG只需要知道∠1即可，而∠1＋2=180°，∠2=132°，从而可以计算.
17．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学七年级下册 5.3.1 平行线的性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·南明期中）如图，已知直线a∥b，∠1＝105° ，则∠2等于 （ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
2．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线 m∥n．将一把含30°角的三角尺ABC按如图所示的方式放置(∠ABC=30°)，其中A、B两点分别落在直线m、n上．若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．如果两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．对顶角相等
5．（2020·莫旗模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．（2023·海南）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
7．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
8．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
二、填空题
9．如图，直线l1∥l2．若∠1=52°，则∠2的度数为
10．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
11．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，则∠2= .
12．如图，若∠1+∠2=240°，b∥c，则∠3= .
13．（2023七上·哈尔滨期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为m、则m＝ ．（用含x，y的式子表示）
三、解答题
14．如图，已知∠1=∠2=∠A．
（1）试说明∠1=∠3的理由．
（2）当∠ADG=80°时，求∠2的度数．
15．如图①．在四边形ABCD中．∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）试判断直线BE与DF的位置关系．并说明理由．
（2）如图②，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为H．试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．
四、综合题
16．（2023七下·博罗期末）如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
17．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行线的性质即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠3=∠1=61°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-61°=119°.
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠3=∠1=61°，再利用平行线的性质可得∠3+∠2=180°，继而得解.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵m∥n，
∴∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，
∵∠1=20°，∠ABC=30°，∠BAC=90°，
∴∠2=180°-∠1-∠ABC-∠BAC=180°-20°-30°-90°=40°.
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，进而代入∠1、∠CAB、∠ABC的度数即可算出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误，不符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，对顶角相等，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，可判断A、B、C选项；由对顶角相等可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2，又因为∠CAB＝90°即可求出∠ABC度数．
6．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥m，
∵m∥n，
∴m∥n∥BD，
∴∠1=∠ABD=50°，∠1=∠CBD，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠1=∠CBD=90°-50°=40°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥m，利用已知易证m∥n∥BD，利用平行线的性质可证得∠1=∠ABD=50°，∠1=∠CBD，由此可求出∠1的度数.
7．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
9．【答案】52°
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3是对顶角，且∠1=52°，
∴∠3=∠1=52°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=52°.
故答案为：52°.
【分析】先由对顶角相等得∠3=∠1=52°，再由二直线平行，同位角相等可得∠2=∠3=52°.
10．【答案】60
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ ∠2：∠3=1：2 ，
∴∠3=2∠2，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由邻补角及已知可求出∠2=60°，进而根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
11．【答案】50°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∠1=65° ，
∴∠1=∠ABC=65°（两直线平行，同位角相等），
∵ BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°（角平分线定义），
∴∠3=180°-∠ABD=50°（邻补角定义），
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：50°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠ABC=65°，由角平分线定义得∠ABD=2∠ABC=130°，进而根据邻补角可求出∠3=50°，最后再根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠3=50°.
12．【答案】60°
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=240°，
∴∠1=∠2=120°，
∵b∥c，
∴∠3=180°-∠2=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等求出∠2的度数，再由两直线平行，同旁内角互补求出∠3的度数即可.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点B，D，F分别作水平线的垂线PC、DE、QG，
∴PC∥DE∥QG，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，
∵入射角与折射角的度数比为4：3 ，即∠ABP：∠DBC=4：3，∠HFQ：∠DFG=4：3，
∴∠DBC=∠ABP＝(90° x)，∠DFG=∠HFQ＝(90° y)，
∴∠BDF=(90° x)+(90° y)
=(180° x y)，
∴m＝135° (x+y)，
故答案为：135° (x+y)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质证明∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+∠DFG，再根据入射角与折射角的度数比为4：3 ，把∠DBC和∠DFG用含x和y的式子表示出来，而m=∠BDF=∠DBC+∠DFG．
14．【答案】（1）解：∵ ∠1=∠A，
∴AC∥DE，
∴ ∠3=∠2，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠3；
（2）解：∵ ∠ADG=80° ，∠ADG+∠BDG=180°，
∴∠BDG=100°，
∴∠1=∠3=50°，
∵AC∥DE，
∴∠2=∠3=50°.
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由同位角相等，两直线平行，得AC∥DE，由两直线平行，同位角相等，得∠3=∠2，进而结合已知，由等量代换可得 ∠1=∠3；
（2）由邻补角可求出∠BDG=100°，再结合（1）得结论可求出∠3的度数，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠3=∠2=50°.
15．【答案】（1）解：直线BE∥DF，理由如下：
∵ BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线 ，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=∠ADC+∠ABC=（∠ADC+∠ABC）=×180°=90°，
∵ ∠ADF与∠AFD互余 ，
∴ ∠ADF+∠AFD=90°，
∴ ∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF；
（2）解： ∠FBH=∠GBH ，理由如下：
∵BE∥DG，
∴∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠G=∠BFH，
∵BH⊥DG，
∴∠BHG=∠BHF=90°，
∴∠G+∠GBH=∠HFB+∠FBH=90°，
∴∠GBH=∠FBH.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）直线BE∥DF，理由如下：∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，进而结合已知可得∠ADF+∠ABE=90°，又知∠ADF+∠AFD=90°，从而由同角的余角相等得∠ABE=∠AFD，最后根据同位角相等，两直线平行，得BE∥DF；
（2） ∠FBH=∠GBH ，理由如下：由平行线的性质得∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，结合角平分线的定义可得∠G=∠BFH，进而根据直角三角形的量锐角互余及等角的余角相等可得∠GBH=∠FBH.
16．【答案】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故的度数为
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1＋∠2=180°得出∠3＋∠2=180°，判断出BF∥DE，借助内错角相等，两直线平行和等量代换.
(2)由，可知∠BFA=90°，求∠AFG只需要知道∠1即可，而∠1＋2=180°，∠2=132°，从而可以计算.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
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